1、第四章圆与方程4.3空间直角坐标系课前预习巧设计名师课堂一点通创新演练大冲关读教材填要点小问题大思维考点一考点二课堂强化课下检测4.3.1&4.3.2空间直角坐标系空间两点间的距离公式1空间直角坐标系定义以空间中两两且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标，x轴、y轴、z轴叫做通过每两个坐标轴的平面叫做，分别称为xOy平面、yOz平面、平面画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使xOy，yOz90垂直原点坐标轴坐标平面zOx135图示说明本书建立的坐标系都是直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴
2、的正方向，中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系右手xyz 2.空间中一点的坐标空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的，y叫做点M的，z叫做点M的横坐标纵坐标竖坐标1在给定的空间直角坐标系下，空间中某一点是否有唯一的实数组(x，y，z)与之对应？提示：是在给定的空间直角坐标系下，空间中任意一点都有唯一确定的实数组(x，y，z)与之对应；反过来，给定实数组(x，y，z)，在空间中也有唯一的点和它对应2空间直角坐标系中x轴、y轴、z轴及xOy平面、yOz平面、xOz平面上的点
3、的坐标各有什么特点？提示：点的位置点的坐标形式x轴上(a，0，0)y轴上(0，b，0)z轴上(0，0，c)xOy平面上(a，b，0)yOz平面上(0，b，c)xOz平面上(a，0，c)例1 如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|4，|AD|3，|AA1|5，N为棱CC1的中点，分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标在本例的条件下，求点C1关于坐标平面xOy及x轴对称点的坐标解 由本例知C1坐标为(4，3，5)，则因为C1CxOy平面于点C，延长到C，使|C1C|CC|，得C1与
4、C关于坐标平面xOy对称，且C(4，3，5)连结C1B，并延长到点B，使|C1B|BB|，则C1与B关于x轴对称，且B(4，3，5)1确定空间中点的坐标的常用方法:(1)垂面法：即找到点P在三条坐标轴上的投影方法是过点P作三个平面分别垂直x轴、y轴、z轴于A，B，C三点(A，B，C即为点P在三条坐标轴上的投影)，点A，B，C在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为a，b，c，则(a，b，c)就是点P的坐标 (2)垂线法：先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上的一点P1，由P1P的长度及与z轴正方向的异同确定竖坐标z，再在xOy平面上同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x、纵坐标y，最后
5、得出点P的坐标(x，y，z)(3)中点公式法：若所求点为已知线段的中点时，则可由中点坐标公式求得 2空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题，可以参照如下口诀记忆：“关于谁谁不变，其余的均相反”如关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数解：建立如图所示的空间直角坐标系，点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，2求点M(2，3，1)分别关于xOy平面，y轴和原点的对称点的坐标解：点M关于xOy平面的对称点是第三个分量变号，即(2，3，1)，关于y轴的
6、对称点是第一个和第三个分量变号，即(2，3，1)，关于原点的对称点是三个分量都变号，即(2，3，1).例2 如图所示，在长方体OABCO1A1B1C1中，|OA|2，|AB|3，|AA1|2，E是BC的中点，作ODAC于点D，求线段B1E的长度及顶点O1到点D的距离 自主解答 由已知的空间直角坐标系及长方体的棱长可得长方体的各个顶点的坐标分别为：O(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，3，0)，C(0，3，0)，O1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B1(2，3，2)，C1(0，3，2)E是BC的中点，点E的坐标为(1，3，0)，由两点间的距离公式得，利用空间两点间的距离公式求线段长度问
7、题的一般步骤为3在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)和B(1，0，3)，试问在y轴上是否存在点M，满足|MA|MB|?解：假设在y轴上存在点M，满足|MA|MB|.因为M在y轴上，可设M(0，y，0)，由|MA|MB|，如图，三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标错解分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为三棱柱各棱长均为2，所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，C1(0，2，2)错因对建立空间直角坐标系的两两垂直的条件理解不够，误以为ABAC，忽视了建立空间直角坐标系时，必须分别以从同一点引出并且两两垂直的三条直线为x，y，z轴建系正解 取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BOAC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系
