1、直线与平面垂直的判定基础巩固一、选择题1下列命题中，正确的有()如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内A2个 B3个C4个 D5个答案C解析正确，中当这无数条直线都平行时，结论不成立2一条直线和平面所成角为，那么的取值范围是()A(0，90) B0，90C(0，90 D0，180答案B解析由线面角的定义知B正确3在正方体ABCDA1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的面
2、的个数是()A1 B2C3 D6答案B解析仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直4直线a与平面所成的角为50，直线ba，则直线b与平面所成的角等于()A40 B50C90 D150答案B解析根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与所成的角也是50.5(2015江西新余一中高一月考)给出下列三个命题：一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直其中正确的个数是()A0 B1C2 D3答案C解析中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面
3、垂直；中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；根据射影定义知正确故选C6.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的是()APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45答案D解析设AB长为1，由PA2AB得PA2，又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，又PA平面ABC，所以PAAD，所以PAD为直角三角形PAAD，PDA45，PD与平面ABC所成的角为45，故选D二、填空题7空间四边形ABCD的四条边相等，则对角线AC与BD的位置关系为_.答案垂直解析取AC中点E，连BE、DE.由ABBC
4、得ACBE.同理ACDE，所以AC面BED因此，ACBD8等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面内，若AC与所成的角为30，则斜边上的中线CM与所成的角为_.答案45解析如图，设C在平面内的射影为O点，连结AO，MO，则CAO30，CMO就是CM与所成的角设ACBC1，则AB，CM，CO.sinCMO，CMO45.三、解答题9.如图，在三棱锥ABCD中，CACB，DADB作BECD，E为垂足，作AHBE于H.求证：AH平面BCD分析要证AH平面BCD，只需证AH垂直于平面BCD内两条相交直线即可当条件中有线段相等时，证明线线垂直可以考虑等腰三角形的性质证明取AB的中点F，连接CF、DF.CACB
5、，DADB，CFAB，DFABCFDFF，AB平面CDF.CD平面CDF，ABCD又CDBE，ABBEB，CD平面ABE.AH平面ABE，CDAH.AHBE，BECDE，AH平面BCD点评垂直关系的转化和平行关系的转化是立体几何的重点，要证线面垂直，可证线线垂直，要证线线垂直，可证线面垂直关键是在平面内找出(或作出)与已知直线垂直的直线，利用等腰三角形的性质是解决线线垂直的一种常用方法10.如图在三棱锥PABC中，PAPBPC13，ABC90，AB8，BC6，M为AC的中点(1)求证：PM平面ABC；(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值解析(1)证明：PAPC，M为AC的中点，PMAC
6、又ABC90，AB8，BC6，AMMCMBAC5.在PMB中，PB13，MB5.PM12.PB2MB2PM2，PMMB由可知PM平面ABC(2)解：PM平面ABC，MB为BP在平面ABC内的射影，PBM为BP与底面ABC所成的角在RtPMB中tanPBM.能力提升一、选择题1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE垂直的是()AACBBDCA1D1DA1A答案B解析BDAC，BDA1A，ACA1AA，BD平面ACC1A1.又CE平面ACC1A1，BDCE.2在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD
7、与平面BB1C1C所成角的大小是()A30 B45C60 D90答案C解析如图，取BC的中点E，连接AE，则AE平面BCC1B1.故ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角设各棱长为a，则AEa，DEa.tanADE.ADE60.3如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH平面ABC于H，则垂足H是ABC的()A外心 B内心C垂心 D重心答案C解析PCPA，PCPB，PAPBP，PC平面PAB又AB平面PAB，ABPC又ABPH，PHPCP，AB平面PCH.又CH平面PCH，ABCH.同理BCAH，ACBH.H为ABC的垂心4如图，ABCDA1B1C1D1为正
8、方体，下面结论错误的是()ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1D1D异面直线AD与CB1所成的角为60答案D解析ADBC，BCB1为异面直线AD与CB1所成的角又B1BC为等腰直角三角形，故BCB145.即异面直线AD与CB1所成的角为45.二、填空题5已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PCBD，则平行四边形ABCD一定是_.答案菱形解析由于PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD又PCBD，且PC平面PAC，PA平面PAC，PCPAP，所以BD平面PAC又AC平面PAC，所以BDAC又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形6(2013山东)已知
9、三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为_.答案 分析作出PA与平面ABC所成的角，再求解即可解析设三棱柱的高为h，则()2h，解得h.设三棱柱中底面ABC的中心为Q，则PQ，AQ1.在RtAPQ中，PAQ为直线PA与平面ABC所成的角，且tanPAQ，所以PAQ.三、解答题7如图所示，在矩形ABCD中，AB3，BC3，沿对角线BD将BCD折起，使点C移到C点，且C点在平面ABD上的射影O恰在AB上(1)求证：BC平面ACD；(2)求直线AB与平面BCD所成角的正弦值解析(1)证明：点C在平面ABD上
10、的射影O在AB上，CO平面ABD，CODA又DAAB，ABCOO，DA平面ABC，DABC.又BCCD，BCCDDACDD，BC平面ACD(2)如图所示，过A作AECD，垂足为E.BC平面ACD，BCAE.又BCCDC，AE平面BCD连接BE，则BE是AB在平面BCD上的射影，故ABE就是直线AB与平面BCD所成的角DAAB，DABC，DA平面ABC，DAAC.在RtACB中，AC3.在RtBCD中，CDCD3.在RtCAD中，由面积关系，得AE.在RtAEB中，sinABE，即直线AB与平面BCD所成角的正弦值为.8(2015江西月考)如下图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平
11、面ABCD，PB、PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1、，AP2，E、F依次是PB、PC的中点(1)求证：PB平面AEFD；(2)求直线EC与平面PAD所成角的正弦值解析(1)证明：PB、PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1、，AP2，且PA平面ABCD，AB2，AD4.PA平面ABCD，底面ABCD是矩形，AD平面PAB，ADPBE是PB的中点，APAB，AEPB又AE，AD平面AEFD，AEADA，PB平面AEFD(2)PA平面ABCD，CDPA，又CDAD，PAADA，CD平面PAD，取PA的中点G，CD的中点H，连接EG、GH、GD，则EGABCD且EGAB1，又CHCDAB1，四边形EGHC是平行四边形，ECGH，HGD为直线EC与平面PAD所成的角在RtGDH中，易求GH3，sinHGD，直线EC与平面PAD所成角的正弦值为.