1、2016-2017学年辽宁省沈阳市皇姑区实验中学高三（上）10月段考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1若集合M=x|y=lg，N=x|x1，则 MRN=（）A（0，2B（0，2）C1，2）D（0，+）2设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是（）AB iCD i3曲线y=x2和曲线y2=x围成的图形面积是（）ABC1D4（1x）7展开式中系数最大的项为第（）项A4B5C7D85某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）Af（x）=x2Bf（x）=Cf（x）=exDf（x）=sinx6对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如表：x2
2、4568y2040607080若它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值为（）A0.5万元B0.5万元C1.5万元D2.5万元7已知f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b而言，命题“a+b0”是命题“f（a）+f（b）0”的（）条件A充分必要B充分非必要C必要非充分D既不充分也不必要8函数f（x）=2sin（x+）（w0，|）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A2B2+C1D1+9某篮球选手每次投篮命中的概率为，且各次投篮相互独立，设此选手投篮n次命中的概率为an（an为进球数与n之比），则事件“a6=且an其中n=1，2，3，4，5”发生的概率为（）ABCD
3、10函数y=的图象大致为（）ABCD11若对于任意的x0时均有（xa+2）（x2ax2）0，则实数a的值为（）A1B2C1D不存在12已知函数f（x）的导函数f（x），当x（0，）时，f（x）sin2xf（x）（1+cos2x）成立，下列不等式一定成立的是（）A f（）f（）B f（）f（）C f（）f（）Df（）f（）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知+=1且m，n均为正数，当m+n取得最小值时，mn值为14已知角的正弦值与余弦值均为负值，且cos（75+）=，则cos+sin（105）=15函数y=+2x的值域为16函数f（x）=，则函数的零点个数是三、解答题（本题共
4、5小题，共70分）17命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0；命题q：实数x满足x2x60或x2+2x80；若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围18已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x+a的最大值为1（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，若方程g（x）=m在x0，上有解，求实数m的取值范围19某手机专卖店针对iphone7手机推出分期付款方式，该店对最近购买iphone7手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果显示如表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数3525a10
5、b已知分3期付款的频率为，请以此100人为作为样本，以此来估计消费人群总体，并解决以下问题：（ I）从消费人群总体中随机抽取3人，求“这3人中（每人仅购买一部手机）恰好有1人分4期付款”的概率（ II）若销售一部iphone7手机，顾客分1期付款（即全款），其利润为1000元；分2期付款或3期付款，其利润为1500元；分4期付款或5期付款，其利润为2000元，用X表示销售一部iphone7手机的利润，求X的分布列及数学期望20如图，在ABC中，B=，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DEAC，E为垂足，（1）若BCD的面积为，求CD的长；（2）若ED=，求角A的大小21已知函数f（x）=e
6、x，g（x）=ln（x+a）（ I）若已知函数f（x）的图象与g（x）图象有一条通过坐标原点的公切线，求a的值；（ II）当a2时，证明：f（x）g（x）选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹（2）若直线的极坐标方程为sincos=，求直线被曲线C截得的弦长选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x2|+|xa|（1）当a=2时，求不等式f（x）4的解集；（2）不等式f（x）4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求实数a的取值范围2016-2017学年辽宁省沈阳市
7、皇姑区实验中学高三（上）10月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1若集合M=x|y=lg，N=x|x1，则 MRN=（）A（0，2B（0，2）C1，2）D（0，+）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】求出M的解集，求出N的补集，根据交集的定义求出即可【解答】解：集合M=x|y=lg=x|x（2x）0=（0，2），又N=x|x1，（CRN）=1，+），MRN=1，2），故选：C2设复数z=1+i（i是虚数单位），则复数z+的虚部是（）AB iCD i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可【解答】解：复数z=1
8、+i（i是虚数单位），则复数z+=1+i+=1+i+=复数z+的虚部是：故选：A3曲线y=x2和曲线y2=x围成的图形面积是（）ABC1D【考点】定积分【分析】求曲线y=x2和曲线y2=x围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1，然后求在区间0，1上的积分【解答】解：联立得x1=0，x2=1，所以曲线y=x2和曲线y2=x围成的图形面积S=故选A4（1x）7展开式中系数最大的项为第（）项A4B5C7D8【考点】二项式系数的性质【分析】写出展开式后观察特点，利用通项公式即可得出【解答】解：Tr+1=xr（1）r，0r7，系数最大时r必为偶数，通过比较知（1）4=35最大展开式中系数最大的
9、项为第5项故选：B5某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）Af（x）=x2Bf（x）=Cf（x）=exDf（x）=sinx【考点】选择结构【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件f（x）+f（x）=0，即函数f（x）为奇函数f（x）存在零点，即函数图象与x轴有交点逐一分析四个答案中给出的函数的性质，不难得到正确答案【解答】解：A：f（x）=x2、C：f（x）=ex，不是奇函数，故不满足条件又B：f（x）=的函数图象与x轴没有交点，故不满足条件而D：f（x）=sinx既是奇函数，而且函数图象与x也有交点，故D：f（x
10、）=sinx符合输出的条件故选D6对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如表：x24568y2040607080若它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值为（）A0.5万元B0.5万元C1.5万元D2.5万元【考点】线性回归方程【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可【解答】解：=5， =54这组数据的样本中心点是（5，54）把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+a54=10.55+a，a=1.5故选：C7已知f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b而言，命题“a+b0”是命题“f（a）+f（b）0”
11、的（）条件A充分必要B充分非必要C必要非充分D既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：f（x）定义域为R，f（x）+f（x）=x3+（x）3+log2（x+）+log2（x+）=0，则f（x）为奇函数，x0时，根据复合函数“同增异减”原则以及函数四则运算容易看出f（x）=x3+log2（x+），单调递增，又因为奇函数，因此f（x）在R单调递增，a+b0f（a）f（b）f（a）+f（b）0，故：命题“a+b0”可以推出命题“f（a）+f（b）0”若a=b=0，“f（a）+f（b）0”成立，但并不能推出“
12、a+b0”，故命题“a+b0”是命题“f（a）+f（b）0”的充分非必要条件，故选：B8函数f（x）=2sin（x+）（w0，|）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A2B2+C1D1+【考点】正弦函数的图象【分析】根据函数f（x）的部分图象，求出周期T与的值，再计算的值，写出f（x）的解析式，从而求出f（0）+f（）的值【解答】解：根据函数f（x）=2sin（x+）（w0，|）的部分图象，得T=（）=，又T=，=2；当x=时，函数f（x）取得最小值2，2（）+=+2k，kZ，解得=+2k，kZ，又|，=，f（x）=2sin（2x）；f（0）+f（）=2sin（）+2sin（2）=
13、2（）+2sin=2故选：A9某篮球选手每次投篮命中的概率为，且各次投篮相互独立，设此选手投篮n次命中的概率为an（an为进球数与n之比），则事件“a6=且an其中n=1，2，3，4，5”发生的概率为（）ABCD【考点】相互独立事件的概率乘法公式【分析】由题意知事件“，n=1，2，3，4，5”即前6次投篮的命中率，前5次的命中率都小于等于，分析可得第6次必须投中，前5次中有2次投中，且前5次投篮中可能为第2、4次，2、3次、3、4次，3、5次，4.5次投中5种看情况，有相互独立事件的概率公式结合互斥事件概率公式计算可得答案【解答】解：由题意知各次投篮相互独立，事件“，n=1，2，3，4，5”即
14、前6次投篮的命中率，前5次的命中率都小于等于，即第6次必须投中，前5次中有2次投中，又由an可得，前5次投篮中可能为第2、4次，2、3次、3、4次，3、5次，4.5次投中5种看情况，每种情况的概率均为=，则事件“，n=1，2，3，4，5”发生的概率为；故选C10函数y=的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象与图象变化【分析】欲判断图象大致图象，可从函数的定义域x|x0方面考虑，还可从函数的单调性（在函数当x0时函数为减函数）方面进行考虑即可【解答】解析：函数有意义，需使exex0，其定义域为x|x0，排除C，D，又因为，所以当x0时函数为减函数，故选A答案：A11若对于任意的x0时均有（x
15、a+2）（x2ax2）0，则实数a的值为（）A1B2C1D不存在【考点】全称命题【分析】构造两个函数，y=xa+2，y=x2ax2，由于x0，（xa+2）（x2ax2）0恒成立，所以两个函数图象在x轴交于（a2，0），所以（a2）2a（a2）2=0，解得a【解答】解：设y=xa+2，y=x2ax2，由于x0，（xa+2）（x2ax2）0恒成立，所以两个函数图象在x轴交于（a2，0），所以（a2）2a（a2）2=0，解得a=1；故选A12已知函数f（x）的导函数f（x），当x（0，）时，f（x）sin2xf（x）（1+cos2x）成立，下列不等式一定成立的是（）A f（）f（）B f（）f（）C
16、 f（）f（）Df（）f（）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】本题依据已知导数的特称，构造新函数g（x）=，根据g（x）=单调性进行判定，【解答】解：x（0，）时，f（x）sin2xf（x）（1+cos2x）成立，f（x）2sinxcosxf（x）2sin2x 成立f（x）sinxf（x）cosx0成立令g（x）=，g（x）=g（x）0在（0，）恒成立，g（x）在（0，）上是单调递减的，故（）f（）f（）故选B二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知+=1且m，n均为正数，当m+n取得最小值时，mn值为48【考点】基本不等式【分析】找出m+n的取等条件，进而求m，n的值，
17、问题得以解决【解答】解：（m+n）（+）=1+9+10+2=16，当且仅当n=3m时取等号，即m=4，n=12时等号，mn=48，故答案为：4814已知角的正弦值与余弦值均为负值，且cos（75+）=，则cos+sin（105）=【考点】运用诱导公式化简求值【分析】由题的范围，进而可求范围：k360+25575+k360+345，利用同角三角函数基本关系式可求sin（75+）的值，进而利用诱导公式即可化简求值得解【解答】解：角的正弦值与余弦值均为负值，由题知k360+180k360+270，kZ，故k360+25575+k360+345，cos（75+）=，sin（75+）=，cos+sin（
18、105）=cos（75+）sin（75+）=故答案为：15函数y=+2x的值域为4，【考点】函数的值域【分析】利用换元法，将原函数的值域转化为三角函数的值域问题，对三角函数式进行变形化简后，求出三角函数的值域，得到本题结论【解答】解：函数y=+2x，令：x=2cos，0，则函数y=+2x转化为：y=sin+4cos；化简得：y=sin（+），sin=，0，当=时，+故得y=sin（+）=sin=4当+=时，y取得最大值故得函数y=+2x的值域为4，；故答案为：4，；16函数f（x）=，则函数的零点个数是2【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】利用分段函数直接求解函数的零点即可【解答】解：由题
19、意可知4ex2=0，解得：x=ln0，是方程的根2log2x=0，解得，x=4是方程的根函数f（x）=，则函数的零点个数是：2故答案为：2三、解答题（本题共5小题，共70分）17命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0；命题q：实数x满足x2x60或x2+2x80；若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的应用【分析】利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围【解答】解：x24ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a0，则x24ax+3a20的解
20、集为（3a，a），故命题p成立有x（3a，a）；由x2x60得x2，3，由x2+2x80得x（，4）（2，+），故命题q成立有x（，4）2，+）若p是q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有（3a，a）（，4）或（3a，a）2，+），又a0，解得a4或；故a的范围是a4或18已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x+a的最大值为1（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，若方程g（x）=m在x0，上有解，求实数m的取值范围【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【
21、分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得函数f（x）的单调递增区间（2）利用y=Asin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得m的范围【解答】解：函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x+a=sin（2x+）+sin2x+a=cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a 的最大值为2+a=1，a=1令2k2x+2k+，求得kxk+，可得函数的增区间为k，k+，kZ（2）将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin2（x+）+1=2sin（2x+）1的图象，x0，2x+，当2x+=时
22、，g（x）取得最大值为1；当2x+=时，g（x）取得最小值3，故3m119某手机专卖店针对iphone7手机推出分期付款方式，该店对最近购买iphone7手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果显示如表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数3525a10b已知分3期付款的频率为，请以此100人为作为样本，以此来估计消费人群总体，并解决以下问题：（ I）从消费人群总体中随机抽取3人，求“这3人中（每人仅购买一部手机）恰好有1人分4期付款”的概率（ II）若销售一部iphone7手机，顾客分1期付款（即全款），其利润为1000元；分2期付款或3期付款，其利润为1500元
23、；分4期付款或5期付款，其利润为2000元，用X表示销售一部iphone7手机的利润，求X的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（ I）由题意可得：，解得a，b=100（35+25+a+10）利用“二项分布”概率计算公式即可得出（II）记分期付款的期数为，依题意得P（=1）=0.35，P（=2）=0.25，P（=3）=0.15，P（=4）=0.1，P（=5）=0.15，X的可能取值为1000元，1500元，2000元，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望【解答】解：（ I），解得a=15，b=100（35+25+15+10）=15设
24、“这3人中（每人仅购买一部手机）恰好有1人分4期付款”为事件M，P（M）=（ II）设分期付款期数为，则P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，P（=4）=，P（=5）=X可能取值为（单位：元）：1000，1500，2000P（X=1000）=，P（X=1500）=P（=2）+P（=3）=，P（X=2000）=P（=4）+P（=5）=X的分布列X100015002000PX的数学期望E（X）=1000+1500+2000=145020如图，在ABC中，B=，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DEAC，E为垂足，（1）若BCD的面积为，求CD的长；（2）若ED=，求角A的大小【考点】解三角
25、形【分析】（1）利用三角形的面积公式，求出BD，再用余弦定理求CD；（2）先求CD，在BCD中，由正弦定理可得，结合BDC=2A，即可得结论【解答】解：（1）BCD的面积为，BD=在BCD中，由余弦定理可得=；（2），CD=AD=在BCD中，由正弦定理可得BDC=2AcosA=，A=21已知函数f（x）=ex，g（x）=ln（x+a）（ I）若已知函数f（x）的图象与g（x）图象有一条通过坐标原点的公切线，求a的值；（ II）当a2时，证明：f（x）g（x）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（I）求出f（x）的导数，设切点为（m，em），求得切线的斜率和切点，可得切线的方程；再设y
26、=g（x）相切的切点为（x0，y0），求出导数和切线的斜率，解方程组可得a的值；（II）当a2时，f（x）g（x）即证exln（x+a）0，分别通过图象说明exx+1；ln（x+2）x+1，即可得证【解答】解：（I）函数f（x）=ex的导数为f（x）=ex，设切点为（m，em），f（m）=em=，解得m=1，则f（1）=e，f（1）=e，易得f（x）=ex过原点的公切线为y=ex，故y=ex为g（x）=ln（x+a）的切线，设切点为（x0，y0），则有：，解得a=；（II）证明：当a2时，f（x）g（x）即证exln（x+a）0，由y=ex和直线y=x+1的图象可得，exx+1；由y=ln（x
27、+2）和直线y=x+1的图象可得，ln（x+2）x+1，则exln（x+2）（x+1）（x+1）=0，可得exln（x+2）0，即exln（x+a），则f（x）g（x）选修4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹（2）若直线的极坐标方程为sincos=，求直线被曲线C截得的弦长【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）由sin2+cos2=1，能求出曲线C的普通方程，再由2=x2+y2，cos=x，sin=y，能求出曲线C的极坐标方程，由此得到曲线C是
28、以（3，1）为圆心，以为半径的圆（2）先求出直线的直角坐标为xy+1=0，再求出圆心C（3，1）到直线xy+1=0的距离d，由此能求出直线被曲线C截得的弦长【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），由sin2+cos2=1，得曲线C的普通方程为（x3）2+（y1）2=10，即x2+y2=6x+2y，由2=x2+y2，cos=x，sin=y，得曲线C的极坐标方程为2=6cos+2sin，即=6cos+2sin，它是以（3，1）为圆心，以为半径的圆（2）直线的极坐标方程为sincos=，sincos=1，直线的直角坐标为xy+1=0，曲线C是以（3，1）为圆心，以r=为半径的圆，圆心C（3，
29、1）到直线xy+1=0的距离d=，直线被曲线C截得的弦长|AB|=2=2=选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x2|+|xa|（1）当a=2时，求不等式f（x）4的解集；（2）不等式f（x）4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（2）通过讨论a的范围，求出满足条件的a的值即可【解答】解：（1）由题知：|x2|+|x2|4，|x2|2，x22或x22，故不等式的解集为x|x0或x4（2）由题意知，代入得，解得a2或a=2或a6，又|x2|+|xa|2a|当a2时，|2a|4，所以f（x）4恒成立，f（x）4解集为空集，不合题意；当a=2时，由（1）可知解集为（0，4），符合题意；当a2时，|2a|4，所以f（x）4恒成立，f（x）4解集为空集，不合题意；综上所述，当a=2时，不等式f（x）4的解集中的整数有且仅有1，2，32016年12月9日