1、高考资源网（） 您身边的高考专家导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1. （2013辽宁高考理科12）设函数满足则x0时,f(x)（ ）有极大值，无极小值 有极小值，无极大值既有极大值又有极小值 既无极大值也无极小值【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。【解析】选D.由题意知，由得,当时,即,则当时,故在(0,+)上单调递增,既无极大值也无极小值.2. （2013新课标高考文科12）与（2013新课标高考理科11）相同已知函数 ，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用在处的
2、切线为制定参数的标准.【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当时，故.当时，由于上任意点的切线斜率都要大于，所以，综上.3. （2013新课标全国高考文科11）与(2013新课标全国高考理科T10)相同设已知函数，下列结论中错误的是（ ）A.，B.函数的图象是中心对称图形C.若是的极小值点，则在区间单调递减D.若是的极值点，则【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x0R,使f(x0)=0,A正确.B项,假设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为(m,n),按向量将函数的图象平移,则所得函数y=f(x+m)-n
3、是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x2+m3+am2+bm+c-n=0.上式对xR恒成立,故3m+a=0,得m=-,n=m3+am2+bm+c=f ,所以函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B正确.C项,由于=3x2+2ax+b是二次函数,f(x)有极小值点x0,必定有一个极大值点x1,若x1x0,则f(x)在区间(-,x0)上不单调递减,C错误.D项,若x0是极值点,则一定有.故选C.4.（2013安徽高考文科10）已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数是 ( )A.3 B.4 C. 5 D
4、.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A。因为，函数的两个极值点为，所以，所以是方程的两根，所以解方程得，由上述可知函数f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x1x2,如图, 数形结合可知f(x)=x1有两个不同实根,f(x)=x2有一个实根,所以不同实根的个数为3.5.（2013安徽高考理科10）若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是 ( )A.3 B.4 C. 5 D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得
5、出f(x)=x1或f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选A。因为，函数的两个极值点为，所以 ，所以是方程的两根，所以解方程得，不妨设 由题意知函数f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又f(x1)=x10, 单调递增,因此g(x)= 至多有一个零点,不符合题意,应舍去.当a0时,令=0,解得x= 因为,函数g(x)单调递增;时，函数g(x)单调递减.所以x=是函数g(x)的极大值点,则g0,即ln+1-1=-ln(2a)0,所以ln(2a)0,所以02a1,即0a因为0x1x2,所以f(x1)=lnx1+1-2ax1=0,f(
6、x2)=lnx2+1-2ax2=0.则f(x1)=x1(lnx1-ax1)=x1(2ax1-1-ax1)=x1(ax1-1)17. （2013天津高考文科8）设函数. 若实数a, b满足, 则 （ ）A. B. C. D. 【解题指南】先由确定a,b的大小，再结合的单调性进行判断.【解析】选A. 因为所以在其定义域内是单调递增的，由知又因为，故在上也是单调递增的，由 知，所以，因此。8.(2013浙江高考理科T8)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则()A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k
7、=2时,f(x)在x=1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值【解题指南】当k=1,2时,分别验证f(1)=0是否成立,根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点.【解析】选C.当k=1时,f(x)=ex(x-1)+ex-1,此时f(1)0,故排除A,B;当k=2时,f(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2),此时f(1)=0,在x=1附近左侧,f(x)0,所以x=1是f(x)的极小值点.9.(2013浙江高考文科T8)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的图象是()【解题指南】根据导数的性质来判断函数的性质.
8、【解析】选B.因为f(x)0(x(-1,1),所以f(x)在(-1,1)为增函数,又x(-1,0)时,f(x)为增函数,x(0,1)时,f(x)为减函数,所以选B. 10. （2013大纲版全国卷高考文科10）已知曲线（ ）A. B. C. D.【解题指南】先对函数求导，将x=-1代入到导函数中即可求出的值.【解析】选D.由题意可知，点在曲线上，因为，则，解得二、填空题11. （2013广东高考文科12）若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识,可先求导.【解析】对y=ax2-lnx求导得,而x轴的斜率为0
9、,所以在点(1,a)处切线的斜率为,解得.【答案】.12. （2013新课标高考理科16）若函数的图像关于直线对称，则的最大值为_.【解题指南】首先利用数的图像关于直线对称求出的值，然后利用导数判断函数的单调性，这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解.【解析】因为函数的图像关于直线对称，所以，得，又，而，.得即，解得，.故，则令，即，则或或.当变化时，的变化情况如下表：故的最大值为.【答案】16三、解答题13. （2013大纲版全国卷高考文科21）已知函数（I）求；（II）若【解析】（I）当时，.令，得，.当时，在是增函数；当时，在是减函数；当时，在是增函数.（II）由得.当，时，所以在是
10、增函数，于是当时，.综上，的取值范围是.14. （2013江苏高考数学科20）设函数，其中为实数。（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。【解题指南】(1)先对f(x)=lnx-ax求导,利用条件f(x)在(1,+)上是单调减函数求出a的范围,再利用g(x)在(1,+)上有最小值求出a的范围,两者取交集.(2)注意函数方程不等式间的相互转化.【解析】(1)令,考虑到f(x)的定义域为(0,+),故a0,进而解得xa-1,即f(x)在(a-1,+)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于f(x)在
11、(1,+)上是单调减函数,故(1,+)(a-1,+),从而a-11,即a1.令g(x)=ex-a=0,得x=lna.当xlna时, lna时, 0.又g(x)在(1,+)上有最小值,所以lna1,即ae.综上,有a(e,+).(2)当a0时,g(x)必为单调增函数;当a0时,令=ex-a0,解得alna,因为g(x)在(-1,+)上是单调增函数,类似(1)有lna-1,即00,得f(x)存在唯一的零点.(ii)当a0时,由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)0,且函数f(x)在ea,1上的图象不间断,所以f(x)在(ea,1)上存在零点.另外,当x0时, ,故f(x)在(0,+)上是单调增
12、函数,所以f(x)只有一个零点.(iii)当0ae-1时,令f(x)=-a=0,解得x=a-1.当0x0,当xa-1时, 0,即0ae-1时,f(x)有两个零点.实际上,对于0ae-1,由于f(e-1)=-1-ae-10,且函数f(x)在e-1,a-1上的图象连续,所以f(x)在(e-1,a-1)上存在零点.另外,当x(0,a-1)时,f(x)=0,故f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以f(x)在(0,a-1)上只有一个零点.下面考虑f(x)在(a-1,+)上的情况,先证f()=a(a-2-)e时,exx2.设h(x)=ex-x2,则=ex-2x,再设 =ex-2x,则=ex-2.当x
13、1时, =ex-2e-20,所以在(1,+)上是单调增函数.故当x2时, =ex-2x =e2-40,从而h(x)在(2,+)上是单调增函数,进而当xe时,h(x)=ex-x2h(e)=ee-e20.即当xe时,exx2.当0ae时，f()=a(a-2-)0,且函数f(x)在a-1, 上的图象连续,所以f(x)在(a-1, )上存在零点.又当xa-1时,f(x)= 0,故f(x)在(a-1,+)上是单调减函数,所以f(x)在(a-1,+)上只有一个零点.综合(i),(ii),(iii)可知,当a0或a=e-1时,f(x)的零点个数为1,当0ae-1时,f(x)的零点个数为2. 15. （201
14、3湖南高考理科22）已知，函数.(1)记f(x)在区间0,4上的最大值为g(a),求g(a)的表达式.(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.【解题指南】(1)首先是去掉绝对值符号,然后利用导数求出函数的单调区间,再求出f(x)在区间0,4上的最大值为g(a).(2)首先要根据函数的单调性讨论出a取什么范围时可能存在两点,在该两点处的切线相互垂直,然后利用两互相垂直的直线斜率之积等于-1去讨论求解.【解析】（1）当时，；当时，.因此，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增. ，则在上单调递减
15、，.若，则在上单调递减，在上单调递增，所以 g(a)=maxf(0),f(4).而，故当时；当时，.综上所述，（2）由（1）知，当时，在上单调递减，故不满足要求.当时， 在上单调递减，在上单调递增.若存在，使曲线在，两点处的切线互相垂直，则，且，即，亦即，由，得x1+2a(2a,3a),.故(*)成立等价于集合A=x|2ax3a与集合B=的交集非空.因为，所以当且仅当02a1,即0a0。（）求l的长度(注:区间(,)的长度定义为-)；（）给定常数k （0，1），当1-ka1+k时，求l长度的最小值。【解题指南】（1）求出方程的两个根；（2）利用导数求函数的最小值。【解析】（1）因为方程ax-(
16、1+a2)x2=0(a0)有两个实根故f(x)0的解集为x|x1xx2，因此区间，区间长度为。（2） 设则，令，由于0k0),所以f(1)=1,f(1)=-1,所以y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f(x)= ,x0可知:当a0时,f(x)0,函数f(x)为(0,+)上的增函数,函数f(x)无极值;当a0时,由f(x)=0,解得x=a;因为x(0,a)时,f(x)0,所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上:当a0时,函数f(x)无极值,当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a
17、,无极大值. 21.(2013福建高考理科T20)已知函数的周期为,图象的一个对称中心为,将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象.(1)求函数f(x)与g(x)的解析式.(2)是否存在,使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数,若不存在,说明理由.(3)求实数a与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在内恰有2 013个零点.【解析】(1)由函数f(x)=sin(x+)的周期为,0,得=2,又曲线y=f(x)的一个对称中心为,(0,),故,得=,所以
18、f(x)=cos 2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos x的图象,再将y=cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=sin x.(2)当x时, sinx,0cos2xcos2xsinxcos2x.问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin xcos 2x在内是否有解,设G(x)=sin x+sinxcos 2x-2cos 2x,x,则G(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x).因为x,所以G(x)0,G(x)在内单调递增.又，.且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在内存在唯一零点x
19、0,即存在唯一的满足题意.(3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x,令F(x)=asin x+cos 2x=0,当sin x=0,即x=k(kZ)时,cos 2x=1,从而x=k(kZ)不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等价于关于x的方程,xk(kZ),现研究x(0,)(,2)时方程解的情况,令,x(0,)(,2),则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x)在x(0,)(,2)的交点情况, ,令h(x)=0,得或.当x变化时,h(x)和h(x)变化情况如下表当x0且x趋近于0时,h(x)趋向于-,当x且x趋近于时,h(x)趋向于+,当x1时,直线y=a与曲线y=h(x)
20、在(0,)内无交点,在(,2)内有2个交点;当a-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)内有2个交点,在(,2)内无交点;当-1a1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)内有2个交点,在(,2)内有2个交点,由函数h(x)的周期性,可知当a1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,n)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在(0,n)内恰有2013个交点;当a=1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,)(,2)内有3个交点,由周期性,2 013=3671,所以n=6712=1 342.综上,当a=1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x
21、)在(0,n)内恰有2 013个零点. 22.（2013福建高考文科22）已知函数（,为自然对数的底数）.（I）若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;（II）求函数的极值;（III）当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.【解题指南】对函数求导，根据导数即切线斜率，知切线斜率为0，欲求极值，先求单调性，要注意对参数a进行讨论。【解析】方法一：（）由，得又因为曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得（），当时，为R上的增函数，所以函数无极值当时，令，得，；，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值综上，当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（）当时，令，则直
22、线：与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数解假设，此时，又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故又时，知方程在上没有实数解所以的最大值为方法二：（）（）同解法一（）当时，直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：（*）在上没有实数解当时，方程（*）可化为，在上没有实数解当时，方程（*）化为令，则有令，得，当变化时，的变化情况如下表：当时，同时当趋于时，趋于，从而的取值范围为所以当时，方程（*）无实数解，解得的取值范围是综上，得的最大值为23.（2013广东高考理科21）设函数（）.（2） 当时，求函数的单调区间；（
23、3） 当时，求函数在上的最大值.【解题指南】本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程中，应用好分类讨论思想.【解析】（1）当时，求导可得，令可得，则当时，；当时，；当时，；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是；（2）对求导可得，因为，所以，令可得，显然而.则当时，；当时，；所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.令,则,又当k=1时，所以在上递增,所以,从而,所以所以当时,；当时,；所以令,则,令,则所以在上递减,而所以存在使得,且当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减.因为,所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.综上,函数在上的最大值.24.（2013广东高考文科2
24、1）设函数 (1) 当时,求函数的单调区间；(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值【解题指南】本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程中，应用好分类讨论思想.【解析】对函数求导得.(1)当时，由可知,在上单调递增.（2）方法一：当时，其图像开口向上，对称轴 ，且过点 （i）当，即时，在上单调递增，从而当时， 取得最小值，当时，取得最大值.（ii）当，即时，令解得，注意到，所以.因为，所以的最小值；因为，所以的最大值；综上所述，当时，的最小值,最大值.方法二：当时，对，都有，故；，故.又，所以，.25. （2013湖北高考理科T22）设是正整数，为正有理数。（）求函数=的最小
25、值；（）证明：r0, 讨论曲线yf (x) 与曲线 公共点的个数. (3) 设a 0，m 0 时， 曲线yf (x) 与曲线 的公共点个数即方程 根的个数。由，则 h(x)在h(x). 所以对曲线yf (x) 与曲线 公共点的个数，讨论如下：当m 时,有0个公共点；当m= 时,有1个公共点；当m 时有2个公共点.(3) 令。，且。所以.30.（2013新课标全国高考理科21）已知函数f(x)=ex-ln(x+m),(1)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)0.【解题指南】(1)求导，然后将代入导函数，求得，讨论分析导函数的符号，得单调性.(2)
26、求的最小值，证明最小值即可.【解析】(1)因为，是的极值点，所以，解得所以函数，其定义域为，因为设则，所以在上是增函数，又因为，所以当时，即，当时，所以在上是减函数，在上是增函数.(2)当，时，故只需证明当时，.当时，函数在单调递增.由，故在上有唯一实根，且.当时，；当时，从而当时，取得最小值.由得 故.综上，当时，.31. （2013新课标全国高考文科21）已知函数。（1）求的极小值和极大值； （2）当曲线的切线的斜率为负数时，求在轴上截距的取值范围。【解题指南】（1）求导函数，令求极值点，列表求极值.(2)设切线，表示出切线的方程，令得在轴上的截距，利用函数知识求得截距的取值范围.【解析】
27、(1) ,令得或.列表如下0（0,2）200减函数极小值增函数极大值减函数函数的极小值为，极大值为.(2)设切点为，则切线的斜率为此时切线的方程为令，得.，由已知和（1）得 ，则当t(0,+)时,h(t)的取值范围为；当t(-,-2)时,h(t)的取值范围是(-,-3),所以当x0(-,0)(2,+)时,x的取值范围是(-,0),综上,在x轴上的截距的取值范围是(-,0).32. （2013辽宁高考文科21）证明：当时，；若不等式对恒成立，求实数的取值范围。【解题指南】构造函数，利用函数的单调性证明不等式；利用已知的不等式恰当地放缩，将复杂的不等式转化为简单的不等式【解析】记，则当时，则在上是
28、增函数，所以；当时，则在上是减函数，所以故当时，即；记，则当时，所以在上是减函数，则即，综上，当时，；由可知，当时，所以当时，不等式恒成立下面证明，当时，不等式不恒成立由可知，则当时，所以存在（例如取中较小者）满足即当时，不等式不恒成立综上，实数的取值范围为33.（2013辽宁高考理科21）已知函数.当时，求证：；若恒成立，求实数的取值范围。【解题指南】由于欲证不等式不便于直接证明，因而可以采用间接证明的方法分析法；【解析】证明：要证时，只需证记则当时，因此在上为增函数，故所以，；要证时，只需证记则当时，因此在上为增函数，故所以，综上可知， ，即由知，则有设，则记，则当时，从而在上为减函数，于
29、是当时，故在上为减函数，所以从而所以时，在上恒成立下面证明当时，在上不恒成立。由知，则有记则由前所述，当时，故在上为减函数，于是即因为当时，所以存在使得此时即当时，在上不恒成立。综上，实数的取值范围为34.（2013新课标高考理科21）已知函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y4x+2（）求a，b，c，d的值（）若x2时，f(x)kgf(x)，求k的取值范围。【解题指南】（）根据曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0，2)可将P(0，2)分别代入到yf(x)和曲线yg(x)上，再利用在点P处有相同的切线y
30、4x+2，对曲线yf(x)和曲线yg(x)进行求导，列出关于的方程组求解.（）构造函数，然后求导，判断函数的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】（）由已知得，.而，.故，.从而，.（）由（）知，.设，则.由题设可得，得.令，即，得，.（）若，则，从而当时，当时，即在单调递减，在单调递增，故在上有最小值为.故当时，恒成立，即.（）若当，则，当时，即在上单调递增，而,故当且仅当时，恒成立，即.（）若，则.从而当时，不可能恒成立.综上，的取值范围为.35.（2013新课标高考文科20）已知函数，曲线在点处切线方程为（）求，的值（）讨论的单调性，并求的极大值【解题指南】（）对函数求导，利用
31、点处切线方程为知，求得，的值；（）由（）确定函数解析式，并对求导，根据导函数判断函数的单调性，根据函数的单调性求出极值.【解析】（）.由已知得，.故，从而，（）由（）知，.令，得或.从而当时，；当时，；故在，单调递增，在单调递减.当时，函数取得极大值，极大值为36.（2013四川高考理科21）已知函数其中是实数设，为该函数图象上的两点，且（）指出函数的单调区间；（）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；（）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围【解题指南】在求解过程中，首先需要把握函数的解析式及定义域，结合各段函数的特征确定其单调区间，在后续的求解过程中，需要首先求解函数的图象
32、在点处的切线的斜率，结合已知求解的最小值，在第（）问中，应着重分析函数的图象在点处的切线重合得到的信息.【解析】()函数f(x)的单调递减区间为(,1), 单调递增区间为(1,0),(0,+). ()由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,所以当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有=1.当x0时,=2x+2因为x1x20,所以(2x1+2)(2x2+2)=1所以2x1+20.因此x2x1=(2x1+2)+ 2x2+2=1,当且仅当(2x1+2)= 2x2+2=1即x1=,x2=时等号成立.所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,求x2x1的最小值为1. ()
33、当x1x2x10时, , 所以x10x2.当x10时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2)处的切线方程为yx2=(xx2),即y=x+x21.两切线重合的充要条件是 由及x10x2知1x10.由得a= x12+1=x12(2x1+2)1.令h(x1)=x12(2x1+2)1(1x10),则h(x1)=2x1h(0)=21,所以a21,又当x1(1,0)且趋近于1时, h(x1)无限增大,所以a的取值范围是(21,+).故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,a的取值范围是(21,+). 37.（2013四川高考文科21）已知函数，其中是实数。设，为该函数图象上的两点，且.（）指出函数
34、的单调区间；（）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，证明：；（）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围。【解题指南】在求解过程中，首先需要把握函数的解析式及定义域，结合各段函数的特征确定其单调区间，在后续的求解过程中，需要首先求解函数的图象在点处的切线的斜率，结合已知证明，在第（）问中，应着重分析函数的图象在点处的切线重合得到的信息.【解析】()函数f(x)的单调递减区间为(,1), 单调递增区间为(1,0),(0,+). ()由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有=1.当x0时,对函数f(x)求导，得=2x+2因为x1x2
35、0,所以( 2x1+2)(2x2+2)=1，所以2x1+20.因此x2x1=(2x1+2)+ 2x2+2=1,当且仅当(2x1+2)= 2x2+2=1，即x1=且x2=时等号成立.所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时, 有. () 当x1x2x10时, , 故x10x2.当x10时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2)处的切线方程为yx2=(xx2),即y=x+x21.两切线重合的充要条件是 由及x10x2知,02.由得,a=lnx2+-1=-ln+-1.令t=,则0t2,且a=t2-t-lnt.设h(t)=t2-t-lnt(0t2),则h(t)=t-1-=0,所以h(t)
36、(0th(2)=-ln2-1,所以a-ln2-1.而当t(0,2)且t趋近于0时,h(t)无限增大.所以a的取值范围是(-ln2-1,+).故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-ln2-1,+).38. （2013天津高考文科20）设, 已知函数 () 证明在区间(1,1)内单调递减, 在区间(1, + )内单调递增; () 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明. 【解题指南】() 利用导数分段证明在区间(1,0)内单调递减, 在区间(0,1)内单调递减，在区间(1, + )内单调递增，且在x=0处不间断，进而得出结论.()由函数的单调性及切线平行得出的关系，通过
37、构造函数及换元法转化为求最小值问题求解.【证明】() 设函数由从而当时，所以在区间内单调递减.由所以当0x1时,f2(x)1时,f2(x)0.即函数f2(x)在区间0,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.综合，及，可知函数在区间(-1,1)内单调递减，在区间(1, + )内单调递增.()由()知在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增. 因为曲线在点处的切线相互平行,从而互不相等，且f(x1)=f(x2)=f(x3).不妨设 由可得解得从而设则由解得所以 设则因为，所以故即39. （2013天津高考理科20）已知函数. (1) 求函数f(x)的单调区间; (2) 证明: 对
38、任意的t0, 存在唯一的s, 使. (3) 设(2)中所确定的s关于t的函数为, 证明: 当时, 有.【解题指南】(1) 求出函数的导数，利用导数确定函数f(x)的单调区间.(2) 利用(1)的结论，首先确定t0时，对应函数的定义域为，然后根据函数f(x)的单调性证明.(3) 承接(2)通过换元法及函数的单调性进行证明.【解析】(1)函数的定义域为.令得当x变化时，的变化情况如下表：0极小值所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是.(2)当时, 设,令,.由(1)知, 在区间内单调递增. 故存在唯一的, 使成立. (3)因为, 由(2)知 ,且,从而其中要使成立,只需当te2时,若s=g(t)
39、e,则由f(s)的单调性知,t=f(s)f(e)=e2,矛盾.所以se,即u1,从而ln u0成立.另一方面，令令得当时，当时，故对，因此成立.综上，当时, 有.40.(2013浙江高考理科T22)已知aR,函数f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)当x0,2时,求|f(x)|的最大值.【解题指南】(1)先确定f(x),再求切线斜率f(1),从而写出切线方程.(2)当x0,2时,要分类讨论a取不同的值时,f(x)的单调性即f(x)0或f(x)0.【解析】(1)由题意f(x)=3x2-6x+3a,故f(1)=3a-3,又f(1)=
40、1,所以所求切线方程为y=(3a-3)x-3a+4.(2)由于f(x)=3(x-1)2+3(a-1),0x2,故当a0时,有f(x)0,此时f(x)在0,2上单调递减,故|f(x)|max=max|f(0)|,|f(2)|=3-3a;当a1时,有f(x)0,此时f(x)在0,2上单调递增,故|f(x)|max=max|f(0)|,|f(2)|=3a-1;当0a1时,设，,则0x1x21,求f(x)在闭区间0,|2a|上的最小值.【解题指南】(1)先求f(x),再求f(2),从而易求切线方程.(2)对a进行讨论,分析f(x)在闭区间0,|2a|上的单调性,从而求其最小值.【解析】(1)当a=1时
41、,f(x)=6x2-12x+6,所以f(2)=6,又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值.f(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a),令f(x)=0,得到x1=1,x2=a,当a1时,单调递增极大值单调递减极小值单调递增4a3比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得g(a)=当时，单调递减极小值单调递增得，综上所述，在闭区间上的最小值42. （2013重庆高考理科17）设，其中，曲线在点（1，）处的切线与轴相交于点（0,6）（）确定的值；（）求函数的单调区间与极值【解题指南】直接根据曲线在（1，）
42、处的切线过点（0,6）求出的值,直接求导得出函数的单调区间与极值.【解析】（）因为,所以令得,所以曲线在点（1，）处的切线方程为,因为点在切线上,所以,得（）由（）知,令,解得当或时, ,故在上为增函数;当时, ,故在上为减函数.由此可知在处取得极大值,在处取得极小值.43. （2013重庆高考文科20）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）（）将表示成的函数，并求该函数的定义域；（）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大【解题指南】直接根据题意可列出函数的解析式并能直接写出定义域,通过求导研究函数的单调性进而求出函数的最值.【解析】（）因为蓄水池侧面的总成本为元,底面的总成本为元,所以蓄水池的总成本为元.又据题意,所以,从而因又由可得,故函数的定义域为.（）因故令,解得(因不在定义域内,舍去).当时,故在上为增函数, 当时,故在上为减函数，由此可知, 在处取得最大值,此时即当时,该蓄水池的体积最大.关闭Word文档返回原板块。- 57 - 版权所有高考资源网
