1、课时跟踪检测(五十六)抛 物 线(分 A、B 卷，共 2 页)A 卷：夯基保分一、选择题1(2015广东七校联考)抛物线14x2y 的焦点坐标是()A(0,1)B.0，116 C.0，14 D(0,4)2(2015辽宁五校联考)已知 AB 是抛物线 y22x 的一条焦点弦，|AB|4，则 AB 中点 C的横坐标是()A2B.12C.32D.523已知抛物线 y22px(p0)，过其焦点且斜率为1 的直线交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 的中点的横坐标为 3，则该抛物线的准线方程为()Ax1Bx2Cx1Dx24(2014新课标全国卷)已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是
2、 C 上一点，|AF|54x0，则 x0()A1B2C4D85(2014新课标全国卷)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 FP 4 FQ，则|QF|()A.72B.52C3D26(2014新课标全国卷)设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，则|AB|()A.303B6C12D7 3二、填空题7(2015唐山模拟)过抛物线 C：y24x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，若 A到抛物线的准线的距离为 4，则|AB|_.8(2015陕西质检)
3、已知点 M(3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线 y22x 的焦点为 F，点 Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是_9(2015洛阳模拟)已知 AB 是抛物线 x24y 的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是 3，则弦 AB 所在的直线方程是_10(2015绵阳诊断)已知 A 是抛物线 y24x 上一点，F 是抛物线的焦点，直线 FA 交抛物线的准线于点 B(点 B 在 x 轴上方)，若|AB|2|AF|，则点 A 的坐标为_三、解答题11(2015唐山模拟)已知抛物线 E：x22py(p0)，直线 ykx2 与 E 交于 A，B 两点，且OA OB 2，其中 O 为原点(1)求抛
4、物线 E 的方程；(2)点 C 坐标为(0，2)，记直线 CA，CB 的斜率分别为 k1，k2，证明：k21k222k2 为定值12(2015昆明模拟)设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，MC，以 M 为圆心的圆 M 与 l 相切于点 Q，Q 的纵坐标为 3p，E(5,0)是圆 M 与 x 轴的不同于 F 的一个交点(1)求抛物线 C 与圆 M 的方程；(2)过 F 且斜率为43的直线 n 与 C 交于 A，B 两点，求ABQ 的面积B 卷：增分提能1(2015唐山二模)已知抛物线 E：y22px(p0)的准线与 x 轴交于点 M，过点 M 作圆 C：(x2)2y21 的
5、两条切线，切点为 A，B，|AB|4 23.(1)求抛物线 E 的方程；(2)过抛物线 E 上的点 N 作圆 C 的两条切线，切点分别为 P，Q，若 P，Q，O(O 为原点)三点共线，求点 N 的坐标2(2015长春三调)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线相交于 M，N 两点，且|MN|8.(1)求抛物线 C 的方程；(2)设直线 l 为抛物线 C 的切线，且 lMN，P 为 l 上一点，求 PM PN 的最小值3.(2015长春三校调研)在直角坐标系 xOy 中，点 M2，12，点 F 为抛物线 C：ymx2(m0)的焦点，线段 MF 恰
6、被抛物线 C 平分(1)求 m 的值；(2)过点 M 作直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，设直线 FA，FM，FB 的斜率分别为 k1，k2，k3，问 k1，k2，k3 能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线 l 的方程；若不能，请说明理由答案A 卷：夯基保分1选 A 由14x2yx24y，于是焦点坐标为(0,1)故选 A.2选 C 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2p4，又 p1，所以 x1x23，所以点 C 的横坐标是x1x2232.3选 C 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 yxp2，与抛物线方程联立得，yxp2，y22px，
7、消去 y 整理得：x23pxp24 0，可得 x1x23p.根据中点坐标公式，有3p2 3，p2，因此抛物线的准线方程为 x1.4选 A 由题意知抛物线的准线为 x14.因为|AF|54x0，根据抛物线的定义可得 x014|AF|54x0，解得 x01，故选 A.5.选 C 过点 Q 作 QQl 交 l 于点 Q，因为 FP 4 FQ，所以|PQ|PF|34，又焦点 F 到准线 l 的距离为 4，所以|QF|QQ|3.故选 C.6选 C 抛物线 C：y23x 的焦点为 F34，0，所以 AB 所在的直线方程为 y 33 x34，将 y 33 x34 代入 y23x，消去 y 整理得 x2212
8、 x 9160.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得 x1x2212，由抛物线的定义可得|AB|x1x2p212 3212，故选 C.7解析：设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，y24x，抛物线的准线为 x1，F(1,0)，又 A 到抛物线准线的距离为 4，xA14，xA3，xAxBp24 1，xB13，|AB|xAxBp3132163.答案：1638解析：抛物线的准线方程为 x12，当 MQx 轴时，|MQ|QF|取得最小值，此时点 Q 的纵坐标 y2，代入抛物线方程 y22x 得 Q 的横坐标 x2，则|QM|QF|23|212 52.答案：529解析：设 A(x
9、1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 xm(y1)，由抛物线的定义及题设可得，y1y26，直线与抛物线方程联立消去 x 可得 m2y2(2m24)ym20，则 y1y22m24m2，即 62m24m2，可得 m1 或 m1.故直线方程为 xy10 或 xy10.答案：xy10 或 xy1010解析：依题意，若点 A 位于 x 轴上方，过点 A 作抛物线的准线的垂线，垂足记为A1，则有|AB|2|AF|2|AA1|，BAA160，直线 AF 的倾斜角为 120.又点 F(1,0)，因此直线 AF 的方程为 y 3(x1)由y 3x1，y24xy0，得x13，y2 33.此时点 A
10、的坐标是13，2 33.若点 A 位于 x 轴下方，则此时点 F(1,0)是线段 AB 的中点，又点 B 的横坐标是1，故点 A 的横坐标是 21(1)3，相应的纵坐标是 y432 3，点 A 的坐标是()3，2 3.综上所述，点 A 的坐标是()3，2 3 或13，2 33.答案：()3，2 3 或13，2 3311解：(1)将 ykx2 代入 x22py，得 x22pkx4p0，其中 4p2k216p0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22pk，x1x24p.OA OB x1x2y1y2x1x2x212p x222p4p4.由已知，4p42，p12，所以抛物线 E 的方程
11、为 x2y.(2)证明：由(1)知，x1x2k，x1x22.k1y12x1 x212x1 x21x1x2x1x1x2，同理 k2x2x1，所以 k21k222k22(x1x2)22(x1x2)28x1x216.12解：(1)由抛物线的定义知，圆 M 经过焦点 Fp2，0，Qp2，3p，点 M 的纵坐标为 3p，又 MC，则 M3p2，3p，|MF|2p.由题意，M是线段 EF 的垂直平分线上的点，所以3p2 p252，解得 p2，故抛物线 C：y24x，圆 M：(x3)2(y2 3)216.(2)由题意知直线 n 的方程为 y43(x1)，由y24x，y43x1，解得x4，y4或x14，y1.
12、设 A(4,4)，B14，1，则|AB|254.点 Q(1,2 3)到直线 n：4x3y40 的距离d86 35，所以ABQ 的面积 S12|AB|d2015 34.B 卷：增分提能1解：(1)由已知得 Mp2，0，C(2,0)如图，设 AB 与 x 轴交于点 R，由圆的对称性可知，|AR|2 23.于是|CR|AC|2|AR|213.由AMCRAC 得|MC|AC|AC|RC|，|MC|3，即 2p23，p2.故抛物线 E 的方程为 y24x.(2)如图，设 N(s，t)P，Q 是 NC 为直径的圆 D 与圆 C 的两交点圆 D 方程为xs222yt22s22t24，即 x2y2(s2)xt
13、y2s0.又圆 C 方程为 x2y24x30.由得(s2)xty32s0.P，Q 两点坐标是方程和的解，也是方程的解，从而为直线 PQ 的方程因为直线 PQ 经过点 O，所以 32s0，s32.又点 N 在抛物线 E：y24x 上，所以点 N 的坐标为32，6 或32，6.2.解：(1)由题意可知 Fp2，0，则该直线方程为 yxp2，代入 y22px(p0)，得 x23pxp24 0.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有 x1x23p.|MN|8，x1x2p8，即 3pp8，解得 p2，抛物线的方程为 y24x.(2)设直线 l 的方程为 yxb，代入 y24x，得 x2(2b4)x
14、b20.直线 l 为抛物线 C 的切线，0，解得 b1.直线 l 的方程为 yx1.由(1)可知：x1x26，x1x21.设 P(m，m1)，则 PM(x1m，y1(m1)，PN(x2m，y2(m1)，PM PN(x1m)(x2m)y1(m1)y2(m1)x1x2m(x1x2)m2y1y2(m1)(y1y2)(m1)2.x1x26，x1x21，(y1y2)216x1x216，y1y24.y21y224(x1x2)，y1y24x1x2y1y24，PM PN 16mm244(m1)(m1)22(m24m3)2(m2)2714，当且仅当 m2 时，即点 P 的坐标为(2,3)时，PM PN 的最小值
15、为14.3解：(1)由题得抛物线 C 的焦点 F 的坐标为0，14m，线段 MF 的中点 N1，18m14 在抛物线 C 上，18m14m,8m22m10，m14m12舍去.(2)由(1)知抛物线 C：x24y，F(0,1)设直线 l 的方程为 y12k(x2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y12kx2，x24y得 x24kx8k20，16k24(8k2)0，k2 62或 k2 62.由根与系数的关系得x1x24k，x1x28k2，假设 k1，k2，k3 能成公差不为零的等差数列，则 k1k32k2.而 k1k3y11x1 y21x2 x2y1x1y2x2x1x1x2x2x214 x1x224 x2x1x1x2x1x24 1 x1x2x1x28k241 4k8k24k2k4k1，k212120 34，4k2k4k132，8k210k30，解得 k12或 k34(不合题意，舍去)直线 l 的方程为 y1212(x2)，即 x2y10.k1，k2，k3 能成公差不为零的等差数列，此时直线 l 的方程为 x2y10.