1、福建省福州市2020届高三数学第三次质量检测（线下二模）试题 理本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至3页，第卷4至6页满分150分注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致2. 第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小
2、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知纯虚数满足，则实数等于ABCD2. 已知集合，则ABCD3. 执行右面的程序框图，则输出的A1B2C3D44. 某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为A0.495%B0.940 5%C0.999 5%D0.99%5. 函数的图象大致为 ABCD6. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次四人测试成绩对应的条形图如下：以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确的是A平均数相同B中位数相同C众数不完全相同D丁的方差最大7. 已知角的终边在直线上，则ABC
3、D8. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成玩该游戏时，需要将数字（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有这三个数字，则不同的填法有A12种B24种C72种D216种9. 已知函数图象上相邻两条对称轴的距离为，把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则ABCD10. 已知椭圆（）的焦距为2，右顶点为过原点与轴不重合的直线交于两点，线段的中点为，若直线经过的右焦点，则的方程为ABCD11. 已知函数，给出下列四个结论：曲线在处的切线方程为；恰有2个零点；既有最
4、大值，又有最小值；若且，则其中所有正确结论的序号是ABCD12. 三棱锥中，顶点在底面的投影为的内心，三个侧面的面积分别为12,16,20，且底面面积为24，则三棱锥的内切球的表面积为ABCD第卷注意事项：用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13. 已知向量，若，则实数14. 正方体中，为中点，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为15. 在中，内角的对边分别为，若，则的取值范围为16. 已知梯形满足，以为焦点的双曲线经过两点若，则的离心率为三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程
5、或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. （本小题满分12分）已知数列和的前项和分别为,，且（1）若数列为等差数列，求；（2）若，证明：数列和均为等比数列18. （本小题满分12分）如图，在多面体中，平面平面，（1）求平面与平面所成二面角的正弦值；（2）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行19. （本小题满分12分）已知抛物线，直线（）与交于两点，为的中点，为坐标原点（1）求直线斜率的最大值；（2）若点在直线上，且为等边三角形，求点的坐标20. （本小题满分12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2
6、）设函数有两个极值点（），若恒成立，求实数的取值范围21. （本小题满分12分）某省年开始将全面实施新高考方案在门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为,共个等级，各等级人数所占比例分别为、和，并按给定的公式进行转换赋分该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：原始分9190898887858382转换分10099979594918886人数11212111现从这10名学
7、生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于分的人数为，求的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分服从正态分布若，令，则，请解决下列问题：若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）现随机抽取了该省名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求取得最大值时的值附：若，则,.（二）选考题：共10分请考生在第22，23两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22. （本小题满分10分）选修44：
8、坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线（1）求的普通方程；（2）设为圆上任意一点，求的最大值23. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知，（1）当时，求证：；（2）求的最小值2020年福州市高中毕业班质量检测数学（理科）参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确
9、解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题5分，满分60分1A2D3C4A5B6D7A8A9D10C11B12C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13141516三、解答题：本大题共6小题，共70分17【命题意图】本小题考查等差数列、等比数列等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想；考查数学运算、逻辑推理等学科素养；体现基础性满分12分【解答】（1）由，得，又，解得.1分因为数列为等差数列，所
10、以该数列的公差为2，2分所以4分（2）当时，因为，所以，即，5分同理可得：6分则，所以（），7分又，所以，所以（），8分所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列.9分因为，所以（），10分又，所以（），11分所以数列是以为首项，为公比的等比数列12分18【命题意图】本小题考查直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质，二面角等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性满分12分【解析】解法一：（1）因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面.1分作交于，则三条直线两两
11、垂直以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示2分因为，所以，3分设平面的法向量为，因为，所以所以令，所以，4分由轴平面知为平面的一个法向量,5分所以，6分所以与平面所成二面角的正弦值为7分（2）因为是棱的中点，由（1）可得.假设棱上存在点，使得，8分设，所以，9分因为，所以，10分所以这个方程组无解，11分所以假设不成立，所以对于棱上任意一点，与都不平行.12分解法二：（1）如图，在平面内，过点作的垂线，垂足为；在平面内，过作的垂线，交的延长线于点连接因为，所以平面1分因为，平面，平面，所以平面，2分设平面平面，则，故平面3分所以为平面与平面所成二面角的平面角4分因为，所
12、以，在中，5分又，所以在中，6分所以，所以与平面所成二面角的正弦值为7分（2）假设棱上存在点，使得，显然与点不同，8分所以四点共面，记该平面为，所以，9分又，所以，所以就是点确定的平面，10分这与为四棱锥相矛盾，所以假设不成立，所以对于棱上任意一点，与都不平行.12分解法三：（1）同解法一7分（2）假设棱上存在点，使得8分连接，取的中点，在中，因为分别为的中点，所以.9分因为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，所以与重合.10分又点在线段上，所以，又，所以是与的交点，即就是，11分 而与相交，所以与相矛盾，所以假设不成立，所以对于棱上任意一点，与都不平行12分19【命题意图】本题考查抛
13、物线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分12分【解析】解法一：（1）设，由，消去得，1分且.2分所以因为为的中点，所以的坐标为，即,3分又因为，所以,5分（当且仅当，即等号成立.）所以的斜率的最大值为6分（2）由（1）知，8分由得，9分因为为等边三角形，所以，10分所以，所以，所以，解得又，所以，11分则，直线的方程为，即，所以时，所以所求的点的坐标为12分解法二：（1）设，因为为的中点，且直线，所以1分由得所以所以即.2分所以即，3分又因为，所以,5分（当且仅当，即等号成立.）所以
14、的斜率的最大值为6分（2）由，消去得，所以且.7分，8分由（1）知，的中点的坐标为，所以线段的垂直平分线方程为：.令，得线段的垂直平分线与直线交点坐标为所以9分因为为等边三角形，所以，10分所以，所以，所以，解得因为所以，11分则，直线的方程为，即，所以时，所以所求的点的坐标为12分20【命题意图】本题考查函数和导数及其应用、不等式等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力与创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化、特殊与一般思想等思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性、创新性满分12分.【解析】（1）因为，所以1分令，当即
15、时，即，所以函数单调递增区间为2分当即或时，.若，则，所以，即，所以函数单调递增区间为3分若，则，由，即得或；由，即得所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为5分综上，当时，函数单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为6分（2）由（1）得，若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根，由（1）知则，故，8分要使恒成立，只需恒成立因为10分令，则，当时，为减函数，所以.11分由题意，要使恒成立，只需满足所以实数的取值范围12分21【命题意图】本题主要考查超几何分布、二项分布、正态分布的概念等基础知识；考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识；考查概率与统计思想；考查数学建模、数据分
16、析、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与应用性【解答】（1）随机变量的所有可能的取值为，1分根据条件得，3分则随机变量的分布列为数学期望4分（2）设该划线分为，由得，令，则，5分依题意，即，因为当时，所以，6分所以，故，取7分由讨论及参考数据得，即每个学生生物统考成绩不低于分的事件概率约为，8分故，.9分由即10分解得，又，所以，11分所以当时取得最大值.12分22【命题意图】本题主要考查参数方程、曲线与方程等基础知识；考查运算求解能力、逻辑推理能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性满分10分【解答】解法一：（1）消去参数得的普通方程为，1分消
17、去参数得的普通方程为2分联立消去得，4分所以的普通方程为（）5分（2）依题意，圆心的坐标为，半径6分由（1）可知，的参数方程为（为参数，且），7分设（），则，8分当时，取得最大值，9分又，当且仅当三点共线，且在线段上时，等号成立所以10分解法二：（1）消去参数得的普通方程为，1分消去参数得的普通方程为2分由得故的轨迹的参数方程为（为参数），4分所以的普通方程为（）5分（2）同解法一10分23【命题意图】本题主要考查不等式的证明、基本不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性【解答】解法一：（1）依题意，当时，且，则1分3分4分，故原不等式成立5分（2）6分，7分因为，所以，8分当且仅当，即时等号成立，9分所以的最小值为510分解法二：（1）依题意，当时，且，则1分3分，4分所以5分（2）同解法一10分