1、23.2 双曲线的几何性质学习目标 1.了解双曲线的几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质知识链接类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的哪些几何性质？答：(1)范围：xa 或 xa；(2)对称性：双曲线关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的；(3)顶点：双曲线有两个顶点 A1(a,0)，A2(a,0)预习导引1双曲线的几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形 性质范围xa 或 xaya 或 ya 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶
2、点坐标A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线ybaxyabx 离心率eca，e(1，)2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是 yx.要点一 已知双曲线的标准方程求其几何性质例 1 求双曲线 9y216x2144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程解 把方程 9y216x2144 化为标准方程y242x2321.由此可知，实半轴长 a4，虚半轴长 b3；c a2b2 42325，焦点坐标是(0，5)，(0,5)；离心率 eca54；渐近线方程为 y43x.规律方法 讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双
3、曲线两种形式的特点得到几何性质跟踪演练 1 求双曲线 x23y2120 的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率解 将方程 x23y2120 化为标准方程y24x2121，a24，b212，a2，b2 3，c a2b2 164.双曲线的实轴长 2a4，虚轴长 2b4 3.焦点坐标为 F1(0，4)，F2(0,4)，顶点坐标为 A1(0，2)，A2(0,2)，渐近线方程为 y 33 x，离心率 e2.要点二 根据双曲线的几何性质求标准方程例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为 y12x，且经过点 A(2，3)解
4、(1)依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c13，又ca135，a5，b c2a212，故其标准方程为y252 x21221.(2)方法一 双曲线的渐近线方程为 y12x，若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则ba12.A(2，3)在双曲线上，4a2 9b21.由联立，无解若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2x2b21(a0，b0)，则ab12.A(2，3)在双曲线上，9a2 4b21.由联立，解得 a28，b232.所求双曲线的标准方程为y28x2321.方法二 由双曲线的渐近线方程为 y12x，可设双曲线方程为x222y2(0
5、)，A(2，3)在双曲线上，2222(3)2，即 8.所求双曲线的标准方程为y28x2321.规律方法 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为 mx2ny21(mn0)，从而直接求得若已知双曲线的渐近线方程为 ybax，还可以将方程设为x2a2y2b2(0)，避免讨论焦点的位置跟踪演练 2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：(1)双曲线过点(3,9 2)，离心率 e 103；(2)过点 P(2，1)，渐近线方程是 y3x.解(1)e2109，得c2a2109，
6、设 a29k，则 c210k，b2c2a2k(k0)于是，设所求双曲线方程为x29ky2k 1，或y29kx2k 1，把(3,9 2)代入，得 k161 与 k0 矛盾，无解；把(3,9 2)代入，得 k9，故所求双曲线方程为y281x291.(2)方法一 首先确定所求双曲线的标准类型，可在图中判断一下点 P(2，1)在渐近线 y3x 的上方还是下方如图所示，x2 与 y3x 交点为 Q(2，6)，P(2，1)在 Q(2，6)的上方，所以焦点在 x 轴上设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)依题意，得ba3，4a21b21，解得a2359，b235.所求双曲线方程为x2359y2351
7、.方法二 由渐近线方程 y3x，可设所求双曲线方程为 x2y29(0)，(*)将点 P(2，1)代入(*)，得 359，所求双曲线方程为x2359y2351.要点三 直线与双曲线的位置关系例 3 直线 l 在双曲线x23y221 上截得的弦长为 4，其斜率为 2，求 l 的方程解 设直线 l 的方程为 y2xm，由y2xmx23y221得 10 x212mx3(m22)0.(*)设直线 l 与双曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由根与系数的关系，得 x1x265m，x1x2 310(m22)又 y12x1m，y22x2m，y1y22(x1x2)，AB2(x1x2)2(y1y2)
8、25(x1x2)25(x1x2)24x1x253625m24 310(m22)AB4，365 m26(m22)16.3m270，m 2103.由(*)式得 24m2240，把 m 2103代入上式，得 0，m 的值为 2103.所求 l 的方程为 y2x 2103.规律方法 直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于 x 或 y的一元二次方程要注意根与系数的关系，根的判别式的应用若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解跟踪演练 3 设双曲线 C：x2a2y21(a0)与直线 l：xy1 相交于两个不同的点 A、B.(1)求实数 a
9、的取值范围；(2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，若PA 512PB，求 a 的值解(1)将 yx1 代入双曲线方程x2a2y21(a0)得(1a2)x22a2x2a20.依题意1a20，4a48a21a20，所以 0a0，解得 a1713.1双曲线x24y2121 的焦点到渐近线的距离为_答案 2 3解析 双曲线x24y2121 的一个焦点为 F(4,0)，其中一条渐近线方程为 y 3x，点 F 到 3xy0 的距离为4 32 2 3.2双曲线 mx2y21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 的值为_答案 14解析 由双曲线方程 mx2y21，知 m0，b0)的右支上到原点 O 和右焦
10、点 F 距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是_答案(2，)解析 由于到原点 O 和右焦点 F 距离相等的点在线段 OF 的垂直平分线上，其方程为 xc2.依题意，在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，所以直线 xc2与右支有两个交点，故应满足c2a，即ca2，得 e2.4已知双曲线 C：x2a2y2b21 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为_答案 x220y251解析 双曲线 C 的渐近线方程为x2a2y2b20 及点 P(2,1)在渐近线上，4a2 1b20，即 a24b2，又 a2b2c225，解得
11、b25，a220.1.渐近线是双曲线特有的性质两方程联系密切，把双曲线的标准方程x2a2y2b21(a0，b0)右边的常数 1 换为 0，就是渐近线方程反之由渐近线方程 axby0 变为 a2x2b2y2，再结合其他条件求得 就可得双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形一、基础达标1双曲线 2x2y28 的实轴长是_答案 4解析 2x2y28 可变形为x24y281，则 a24，a2,2a4.2双曲线 3x2y23 的渐近线方
12、程是_答案 y 3x解析 双曲线方程可化为标准形式：x21y231，a1，b 3，双曲线的渐近线方程为 y 3x.3已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为_答案 x24y2121解析 依题意焦点在 x 轴上，c4，ca2，a2.b2c2a212.故方程为x24y2121.4已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，则双曲线C的方程是_答案 x24y251解析 依题意得 c3，e32，所以 a2，从而 a24，b2c2a25.故方程为x24y251.5双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别是 F1、F2，过 F1 作倾斜角为
13、 30的直线，交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为_答案 3解析 如图，在 RtMF1F2 中，MF1F230.又 F1F22c，MF12ccos304 33 c，MF22ctan302 33 c.2aMF1MF22 33 c.eca 3.6已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 52，则 C 的渐近线方程为_答案 y12x解析 已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 52，故有a2b2a254，所以b2a214，解得ba12.故 C 的渐近线方程为 y12x.7根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)与双曲线x29y21
14、61 有共同的渐近线，且过点(3，2 3)；(2)F1、F2 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且F1PF260，SPF1F212 3，其离心率为 2.解(1)设所求双曲线方程为x29y216(0)，将点(3,2 3)代入得 14，所以双曲线方程为x29y21614，即4x29 y241.(2)设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)因为 F1F22c，而 eca2.由双曲线的定义，得|PF1PF2|2ac.由余弦定理，得(2c)2PF21PF222PF1PF2cosF1PF2(PF1PF2)22PF1PF2(1cos60)，化简，得 4c2c2PF1PF2.又 SPF1F212
15、PF1PF2sin6012 3.所以 PF1PF248.即 3c348，c216，得 a24，b212.故所求双曲线的方程为x24y2121.二、能力提升8已知圆 C 过双曲线x29y2161 的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_答案 163解析 由双曲线的几何性质，易知圆 C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆 C 的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4，4 73)或(4，4 73)易求得它到双曲线中心的距离为163.9双曲线x24y2k 1 的离心率 e(1,2)，则 k 的取值范围是_答案(12,0)解析 双曲线方程可变为x24 y2k1，则 a24，b
16、2k，c24k，eca 4k2，又e(1,2)，则 1 4k22，解得12k 2，即4m42.m4.11已知双曲线 3x2y23，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为 45，与双曲线交于 A、B 两点，试问 A、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的长解 双曲线方程可化为x21y231，c2a2b24，c2.F2(2,0)，又 l 的斜率为 1.直线 l 的方程为 yx2，代入双曲线方程，得 2x24x70.设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，x1x2720，b0)，a2b248，ba 33，解得a236，b212.双曲线的标准方程为x236y2121.当双曲线的焦点在 y 轴
17、上时，设双曲线方程为y2a2x2b21(a0，b0)，a2b248，ab 33，解得a212，b236.双曲线的标准方程为y212x2361.由可知，双曲线的标准方程为x236y2121 或y212x2361.三、探究与创新13给定双曲线 x2y221，过点 B(1,1)是否能作直线 m，使它与所给的双曲线交于两点 Q1 及Q2，且点 B 是线段 Q1Q2 的中点？这样的 m 如果存在，求出它的方程，如果不存在，请说明理由解 方法一 设存在直线 m 过 B 与双曲线交于 Q1、Q2，且 B 是 Q1Q2 的中点，当直线 m 的斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点；当直线 m 的斜率存在时，设
18、直线 m 的方程为y1k(x1)，由y1kx1，x2y221得(2k2)x2(2k22k)x(k22k3)0，设该方程的两根为 x1、x2，由根与系数的关系，得 x1x22k22kk22 2，解得 k2.当 k2 时，(2k22k)24(2k2)(k22k3)80，因此不存在满足题意的直线方法二 假设这样的直线 l 存在，设 Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有x1x221，y1y221.x1x22，y1y22，且2x21y212，2x22y222，两式相减，得(2x212x22)(y21y22)0，2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，2(x1x2)(y1y2)0.若直线 Q1Q2Ox，则线段 Q1Q2 的中点不可能是点 Q(1,1)，直线 Q1Q2 有斜率，于是 ky1y2x1x22.直线 Q1Q2 的方程为 y12(x1)，即 y2x1.由y2x1，2x2y22 得 2x2(2x1)22，即 2x24x30，16240.这就是说，直线 l 与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在