1、湖南省师大附中2020届高三数学下学期模拟考试试题（三）理（含解析）一选择题1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简集合，再求.【详解】由题得.故选：D【点睛】(1)本题主要考查集合的化简与并集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)在化简集合N时，不要漏了x0,函数的问题一定要注意定义域优先的原则，否则容易出错.2. 设复数z满足=i，则|z|=（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】A【解析】试题分析：由题意得，所以，故选A.考点：复数的运算与复数的模.3. 设等差数列前项和为，若，则 （ ）A. 4B. 6C. 10D. 12【答案】C【解析
2、】由题意，所以，故选C点睛：解决等差数列的通项与前项和问题，基本方法是基本量法，即用首项和公差表示出已知并求出，然后写出通项公式与前项和公式，另一种方法就是应用等差数列的性质解题，可以减少计算量，增加正确率，节约时间，这是高考中尤其重要有用，象本题应用了以下性质：数列是等差数列，（1）正整数，时也成立；（2）；（3）等差数列中抽取一些项，如仍是等差数列4. 如图，当参数时，连续函数的图象分别对应曲线和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据图形可知，使用排除法排除C，D项，然后取特殊值，根据简单计算即可.【详解】由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在是连续的，可知参
3、数，即排除C，D项，又取，知对应函数值，由图可知，所以，即选B项.故选：B.【点睛】此题考查根据函数图象判断比较参数的大小关系，求参数范围，关键在于准确分析函数图象所反映的性质,属基础题.5. 若随机事件，互斥，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，知，由此能求出实数的取值范围【详解】随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且，即，解得，即故选：D【点睛】本题考查互斥事件的概率的应用，属于基础题解题时要认真审题，仔细解答6. 设、是双曲线：的两个焦点，是上一点，若，是的最小内角，且，则双曲线
4、的渐近线方程是（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设|PF1|PF2|，由已知条件求出|PF1|4a，|PF2|2a，e，进而求出b，由此能求出双曲线C：1的渐近线方程【详解】设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|2a，又|PF1|+|PF2|6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a则PF1F2是PF1F2的最小内角为30，| PF2|2| PF1|2+|F1F2|22| PF1|F1F2|cos30，（2a）2（4a）2+（2c）224a2c，同时除以a2，化简e22e+30，解得e，c，b，双曲线C：1的渐近线方程为y，即0故选B【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求
5、法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质7. 设，则、的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、三个数与和的大小关系，利用换底公式和不等式的基本性质可得出、的大小关系，进而可得出这三个数的大小关系.【详解】指数函数在上为减函数，则，即；对数函数在上为减函数，则；对数函数在上为增函数，则.因此，.故选：B.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.8. 我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八
6、尺，无深，袤七尺问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（）A. 40B. 43C. 46D. 47【答案】C【解析】【分析】画出几何体的直观图,利用三视图所给数据，结合梯形的面积公式,分别求解梯形的面积即可.【详解】由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面平面，底面梯形是等腰梯形，高为3 ,梯形的高为4 ,等腰梯形的高为，三个梯形的面积之和为,故选C.【点睛】本题考查空间几何体的三视图，求解表面积,属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是
7、高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.9. 某市政府决定派遣名干部（男女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在所有两组至少都是人的分组中减去名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、，又因为名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为.故选：C
8、.【点睛】本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.10. 设斜率为的直线与椭圆（）交于不同的两点，且这两个交点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，得，即，所以，故选C点睛：由椭圆的对称性可知，两个焦点关于原点对称，则直线是过原点的直线，且其交点投影恰好是椭圆焦点，由垂径的交点坐标为，则有，整理后同除以得，求出离心率11. 在长方体中，过点作平面与分别交于两点，若与平面所成的角为，则截面面积的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】过点A作，连接，首先证明平面平面，即可
9、得为与平面所成的角，进而可得，由基本不等式得，从而可求出截面面积的最小值.【详解】如图，过点A作，连接 平面，平面，所以平面平面，为与平面所成的角，在中，在中，由射影定理得，由基本不等式得，当且仅当，即E为MN中点时等号成立，截面面积的最小值为.故选：B【点睛】本题考查的是立体几何中面面垂直的证法、线面角及基本不等式，是一道较综合的题.12. 定义在上的函数，单调递增，若对任意，存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”.若，则下列四个命题：是在上的“追逐函数”；若是在上的“追逐函数”，则；是在上的“追逐函数”；当时，存在，使得是在上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（ ）A. B. C. D
10、. 【答案】B【解析】【分析】由题意，分析每一个选项，首先判断单调性，以及，再假设是“追逐函数”，利用题目已知的性质，看是否满足，然后确定答案.【详解】对于，可得，在是递增函数，若是在上的“追逐函数”；则存在，使得成立，即 ，此时当k=100时，不存在，故错误；对于，若是在上的“追逐函数”，此时，解得，当时，在是递增函数，若是“追逐函数”则，即，设函数 即，则存在，所以正确；对于，在是递增函数，若是在上的“追逐函数”；则存在，使得成立，即 ，当k=4时，就不存在，故错误；对于，当t=m=1时，就成立，验证如下：，在是递增函数，若是在上“追逐函数”；则存在，使得成立，即此时取 即，故存在存在，所
11、以正确；故选B【点睛】本题主要考查了对新定义的理解、应用，函数的性质等，易错点是对新定义的理解不到位而不能将其转化为两函数的关系，实际上对新定义问题的求解通常是将其与已经学过的知识相结合或将其表述进行合理转化，从而更加直观，属于难题.二填空题13. 已知向量，若，则_【答案】【解析】【分析】先根据向量的平行求出x的值，再根据向量的数量积计算即可【详解】解：，因为，所以，解得：，所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的平行和向量的数量积，属于基础题14. 若数列是等差数列，则数列也为等差数列，类比上述性质，相应地，若正项数列是等比数列，则数列 _也是等比数列.【答案】【解析】【分析】利用类比推理分
12、析，若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列【详解】由数列是等差数列，则当时，数列也是等差数列类比上述性质，若数列是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列故答案为【点睛】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）15. 二项式的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值,则展开式中项的系数是_【答案】【解析】【分析】先根据条件确定n值，再根据二项展开式通项公式求结果.【详解】因为仅有第六项的二项式系数取得最大值,所以，因为，所以【点睛】本题考查二项式系数与二项展开式项的系数，考
13、查基本分析与求解能力，属基本题.16. 已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】使用等价转化，原问题等价于在有零点，通过的符号判断函数的单调性并计算值域，值域包含0，然后简单计算即可.【详解】原问题等价于在有零点，而，知在单调递减，在单调递增，又，所以可判断，因而的值域为，又有零点，由得.故答案为：【点睛】本题主要考查根据函数零点所在区间求参数，考查了等价转化思想的应用，以及对分析能力和计算能力的考查.，属中档题.三解答题17. 在中，内角，的对边分别为，且.（1）若，求；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）
14、根据正弦定理以及两角和公式化简可得，然后使用正弦定理以及之间大小关系可得.（2）取的中点，依据题意可得，然后使用余弦定理可得，根据题意可得，然后解得，最后利用三角形面积公式可得结果.【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，即，又，所以，所以.又，所以由正弦定理得，解得，由，则，所以.（2）取的中点，连接，则，在中，所以.因为，即，所以有.联立得，所以，故面积为.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式，还考查了向量的减法，掌握正弦定理、余弦定理的使用，边角转化，化繁为简，属中档题.18. 已知四棱锥的底面为平行四边形，且平面，分别为，的中点，过作平面分别与线段，相交于点，且.（1）当时，
15、证明：平面平面；（2）是否存在实数，使得二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）推导出，从而平面，再求出平面，由此能证明平面平面.（2）方法一：连结，交于点，则平面，从而，推导出平面，平面，则为二面角的平面角，从而，过作于，则，从而平面，由此能求出结果方法二：以为原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，由，求得，进而求得平面的法向量为，平面的法向量，根据，计算即可求得结果.【详解】（1），分别为，中点，由底面为平行四边形可知，.又平面，平面.，为的中点，.又平面，平面.由可知，平面平面.（2）方法一：连交于点
16、.，平面.又平面平面，在中，.又平面，且，平面.平面，为二面角的平面角.过作于，则，平面.设，为的中点，.在中，.，.，.方法二：在中，所以.以为原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，.又，设，则，即.设平面的法向量为.由（1）可知，所以，即.由，将代入得，取，则.显然平面的法向量.要使二面角为，则有，解得或.由图可知，要使二面角为，则在线段(为线段的中点)上，所以，所以.故当实数时，二面角为.【点睛】本题考查面面平行以及二面角，能够熟练使用空间向量是解决本题的关键，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题.19. 在平面直角坐标系中，过点的动圆恒与轴相切，为该圆的直径
17、，设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点且不过原点的直线与曲线交于点，为的中点，过点作轴的平行线交曲线于点，关于点的对称点为，除以外，线与是否有其它公共点？说明理由.【答案】（1）；（2）除点外直线与没有其他的公共点，理由见解析.【解析】【分析】（1）设圆的半径为，可计算点到直线的距离等于，根据抛物线的定义可知点的轨迹为以点为焦点的抛物线，写出其方程；（2）设点坐标为，再根据中点坐标公式写出点的坐标，用含的式子表示点坐标，然后利用点、点坐标求出点坐标，再根据两点式写出直线的方程并与抛物线方程联立，确定是否还有其它交点.【详解】（1）如图，过作轴的垂线，垂足为，交直线于，设动圆的圆心为
18、，半径为，则到轴的距离为，在梯形中，由中位线性质可得，又，所以，由抛物线的定义知，点是以为焦点，以直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）由可得在曲线上，(i)当的斜率存在时，设，则，的中点，即，在方程中，令，得，所以，设，由中点坐标公式可得，又，代入化简，所以，直线斜率为：，所以直线的方程为：，将代入化简可得：，将代入式整理可得，所以直线与抛物线相切，所以除点外，直线与没有其他的公共点.(ii)当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，代入抛物线的方程可得，所以除点外，直线与没有其他的公共点.综上所述，除点外直线与没有其他的公共点. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解及直线与抛物线的位置关系
19、综合问题，考查孩子的运算能力、分析问题、处理问题的能力，难度较大.解答时要合理设元，然后利用所设未知量表示直线的方程是解题的关键.20. 某陶瓷厂只生产甲、乙两种不同规格的瓷砖，甲种瓷砖的标准规格长宽为，乙种瓷砖的标准规格长宽为，根据长期的检测结果，两种规格瓷砖每片的重量都服从正态分布，重量在之外的瓷砖为废品，废品销毁不流入市场，其它重量的瓷砖为正品.（1）在该陶瓷厂生产的瓷砖中随机抽取片进行检测，求至少有件为废品的概率；（2）监管部门规定瓷砖长宽规格的“尺寸误差”的计算方式为：若瓷砖的实际长宽为、，标准长宽为、，则“尺寸误差”为，按行业生产标准，其中“一级品”、“二级品”、“合格品”的“尺寸
20、误差”的范围分别是、，(正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于的瓷砖)，现分别从甲、乙两种产品的正品中各随机抽取片，分别进行“尺寸误差”的检测，统计后，绘制其频率分布直方图如下：已知经销商经营甲种瓷砖每片“一级品”的利润率为，“二级品”的利润率为，“合格品”的利润率为，经销商经营乙种瓷砖每片“一级品”的利润率为，“二级品”的利润率为，“合格品”的利润率为，若视频率为概率.（i）若经销商在甲乙两种瓷砖上各投资万元，和分别表示投资甲、乙两种瓷砖所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析经销商经销两种瓷砖的利弊；（ii）若经销商在甲乙两种瓷砖上总投资万元，则分别在甲、乙两种瓷砖上投资多少万元时，可使得投
21、资所获利润的方差和最小？附：若随机变量服从正态分布，则，.【答案】（1）；（2）（i）答案见解析；（ii）在经销甲瓷砖上投资万元，经销乙瓷砖上投资万元.【解析】【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）（i）根据题意得出随机变量、的可能取值以及对应的概率，可得出随机变量、的分布列，可求得随机变量、的数学期望和方差，结合两个随机变量的数学期望值和方差可得出结论；（ii）设经销商在经销甲瓷砖上投资万元，则在经销乙瓷砖上投资万元，为经销甲瓷砖的方差与经销乙瓷砖的方差的和，利用方差的性质可得出的表达式，进而利用二次函数的基本性质可得出使得最小时对应的值.
22、【详解】（1）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量在之内的概率为，则这片质量全都在之内(即没有废品)的概率为，则这片中至少有片是废品的概率为；（2）（i）由利润率和投额可得可为万元、万元、万元，可为万元、万元、万元，由直方图可得对应的频率为、和、.所以随机变量的分布列为：（万元）（万元），；随机变量的分布列为：（万元）（万元），经销商经销甲瓷砖的平均利润万元大于经销乙瓷砖的平均利润万元，但经销甲瓷砖的方差也远大于经销乙瓷砖的方差，所以经销甲瓷砖的平均利润大，相对不稳定，而经销乙瓷砖的平均利润小，但相对稳定；（ii）设经销商在经销甲瓷砖上投资万元，则在经销乙瓷砖上投资万元，为经销甲瓷砖的方差与经
23、销乙瓷砖的方差的和，则，当时，取最小值，故在经销甲瓷砖上投资万元，经销乙瓷砖上投资万元时，可使得投资所获利润的方差和最小.【点睛】本题考查利用正态分布原则求概率，同时也考查了简单随机变量及其分布列、数学期望与方差的计算，考查计算能力，属于中等题.21. 已知函数.（1）当时，证明：；（2）若时，函数单调递增，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过不等式放缩，原不等式证明转化为证明成立即可，通过构造函数，用求导的方法求最小值，即可证明.（2）原函数单调递增转化为恒成立问题，构造函数，用再次求导的方法和分类讨论的取值，求函数的最小值，进而证明不等式成立.【详解】
24、（1）当时，证明，即证，因为，当且仅当时等号成立，令，则，当时，有，单调递增；当时，有，单调递减，所以，又中等号不能同时成立，所以，即.（2）依题意在上恒成立，令，则，又令，则由知在上单调递增，所以当时，即，因此，当，时，单调递增；所以，符合题意；当时，不符合题意，舍去；当时，令，则，上单调递增，又因为，.所以在上存在唯一的，使得，当时，则在上单调递减，从而，于是在单调递减，所以，不符合题意，故舍去.综上，的取值范围为.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和分类讨论的数学思想，属于难题.22. 在直角坐标系中，直线：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为
25、极轴建立极坐标系，的极坐标方程为：.（1）求的极坐标方程和的普通方程；（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，又：与轴交点为，求的面积.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用直角坐标与极坐标转化公式求的极坐标方程和的普通方程；（2）联立与的极坐标方程可求出，利用点到直线距离公式求到直线的距离，可求出的面积.【详解】（1）直线：直线的极坐标方程为：，又的极坐标方程为：即的普通方程为：；（2）联立与的极坐标方程，设，则有，又直线的极坐标方程为，直线的一般方程为，即，又：与轴交点为，点到直线的距离为，.【点睛】本题考查极坐标方程与一般方程相互转化，联立极坐标方程求圆的弦长，考查运算求解能力，是基础题.23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得关于的方程恰有一个实数根，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据绝对值的几何意义，分，讨论求解.（2）画出函数的图象，根据关于的方程恰有一个实数根，转化为有解，进而由求解.【详解】（1）当时，得，解得，所以；当时，得，解得，所以；当时，得，解得，所以.综上，不等式的解集为.（2）因为，画出其图象如图所示：若关于的方程恰有一个实数根，则有解，又，所以.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.