1、开卷速查规范特训课时作业实效精炼开卷速查(35)数列的综合应用一、选择题1已知等差数列an中，a7，则tan(a6a7a8)等于()ABC1D1解析：由等差中项的性质得a6a7a83a7，故tan(a6a7a8)tan1.答案：C2已知等差数列an的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则()A2 B3C5 D6解析：a2，a4，a8成等比数列，aa2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)，a1d，3.答案：B3正项等比数列an中，存在两项am，an(m，nN*)使得4a1，且a7a62a5，则的最小值是()A. B1C. D.解析：根据题意，a7a62a5，q2q2，解得
2、q1或q2.an0，q0，q2.由4a1，即aqmn216a得mn6.而1，故选B.答案：B4数列an的通项ann2，其前n项和为Sn，则S30为()A470 B490C495 D510解析：ann2cos，a112，a222，a332，a442，S30(122223242522622822922302)(3k2)2(3k1)22(3k)2(18k5)470.答案：B5设函数f(x)(x3)3x1，an是公差不为0的等差数列，f(a1)f(a2)f(a7)14，则a1a2a7()A0 B7 C14 D21解析：由f(a1)f(a2)f(a7)14知，(a13)3(a23)3(a73)3(a1a
3、2a7)714.an是公差不为0的等差数列，(a13)3(a23)3(a73)37(a43)0.(a13)3(a73)3(a13)(a73)(a13)2(a73)2(a13)(a73)2(a43)2(a43)，令2M10，同理(a23)2(a63)32(a43)(a43)M2，(a33)3(a53)32(a43)(a43)M3，(a43)3(a43)(a43)2，其中M20，M30，(a13)3(a23)3(a73)37(a43)(a43)M1(a43)M2(a43)M3(a43)(a43)27(a43)(a43)M1M2M3(a43)270，M1M2M3(a43)270恒成立，a430，a4
4、3，而a1a2a77a421.故选D.答案：D6一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至前一次高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过的路程为(结果精确到1米)()A199米 B200米C300米 D100米解析：从球落下到球第一次着地时经过了100米，从球第一次着地到球第二次着地时共经过了2100米，因此从球落下到球第10次着地时共经过的路程为100100100300(米)答案：C7据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是()A10秒
5、钟 B13秒钟C15秒钟 D20秒钟解析：设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，an则数列an是首项a12，公差d2的等差数列，由求和公式有na1240，即2nn(n1)240，解得n15. 答案：C8已知数列an满足an1an12an，n2，点O是平面上不在l上的任意一点，l上有不重合的三点A、B、C，又知a2a2 009，则S2 010()A1 004 B2 010 C2 009 D1 005解析：如图所示，设，则a2a2 009()故(a21)(a2 009).又A、B、C三点不重合，a2a2 0091.又an1an12an，n2，an为等差数列S2 0101 005. 答案：D9
6、抛物线y(n2n)x2(2n1)x1与x轴交点分别为An，Bn(nN*)，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|A2B2|A2 010B2 010|的值是()A. B.C. D.解析：令y0，则(n2n)x2(2n1)x10.设两根分别为x1，x2，则x1x2，x1x2.解得x1，x2|AnBn|，|A1B1|A2B2|AnBn|1.|A1B1|A2B2|A2 010B2 010|. 答案：B10已知数列an，bn满足a11，且an，an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点，则b10等于()A24 B32 C48 D64解析：依题意有anan12n，所以an1an22n1，两式相除
7、，得2，所以a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，成等比数列而a11，a22，所以a1022432，a1112532.又因为anan1bn，所以b10a10a1164. 答案：D二、填空题11设关于x的不等式x2x2nx(nN*)的解集中整数的个数为an，数列an的前n项和为Sn，则S100的值为_解析：由x2x2nx(nN*)，得0x2n1，因此知an2n.故S10010 100.答案：10 10012植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值
8、为_米解析：当放在最左侧坑时，路程和为2(01020190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2(1001020180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2(201001020170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2(908001020100)2 000米答案：2 00013已知数列an满足3an1an4且a19，其前n项之和为Sn，则满足不等式|Snn6|的最小整数n为_解析：由递推式变形得3(an11)(an1)，则an18n1，所以|Snn6|a11a21an16|6n250，所以满足条件的最小整数n是7.答案：714在各项
9、均为正数的数列an中，Sn为前n项和，na(n1)aanan1且a3，则tanS4_.解析：由na(n1)aanan1.可得(anan1)(nan1nanan)0.数列an各项都为正数，anan10，nan1nanan0.，.各式相乘，得.a3，an.S4a1a2a3a4.tanS4tantan. 答案：三、解答题152013江西正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN*，都有Tn.解析：(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正项数列，所
10、以Sn0，Snn2n.于是a1S12，n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项an2n.(2)证明：由于an2n，bn，则bn.Tn.答案：(1)an2n；(2)证明略162013广东设数列an的前n项和为Sn.已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，则()ASn为递减数列BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列解析：an1an，数列an为常数列，ana1，记a1a.又bn1，an1，bn1c
11、n1an.b1c12a，数列bn1cn1为常数列，即bn1cn12a.在系列AnBnCn中，BnCnana，AnBnAnCnbn1cn12a.Bn、Cn为定点，An是以Bn、Cn为焦点2a为长轴长的椭圆上的动点设An(xn，yn)，则由椭圆的第二定义知，bncn(exna)(aexn)2exn.另一方面，bn1cn1(bncn)，xn1xn，即x为无穷递缩等比数列由1，知y是无穷递增等比数列又Sna|yn|，Sn为递增数列，故选B.答案：B32013安徽设函数fn(x)1x(xR，nN*)证明：(1)对每个nN*，存在唯一的xn，满足fn(xn)0；(2)对任意pN*，由(1)中xn构成的数列
12、xn满足0xnxnp.证明：(1)对每个nN*，当x0时，fn(x)10.故fn(x)在(0，)内单调递增由于f1(1)0，当n2时，fn(1)0，故fn(1)0.又fn1 kn10，所以存在唯一的xn，满足fn(xn)0.(2)当x0时，fn1(x)fn(x)fn(x)，故fn1(xn)fn(xn)fn1(xn1)0.由fn1(x)在(0，)内单调递增知，xn1xn，故xn为单调递减数列，从而对任意n，pN*，xnpxn.对任意pN*，由于fn(xn)1xn0，fnp(xnp)1xnp0.式减去式并移项，利用0xnpxn1，得xnxnp .因此，对任意pN*，都有0xnxnp.42013天津已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明Sn(nN*)解析：(1)设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.又a1，所以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)证明：Sn1n，Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.故对于nN*，有Sn.