1、准考证号_姓名_（在此卷上答题无效）三明市2020-2021学年第一学期普通高中期末质量检测高三数学试题（考试时间：2021年1月7日下午15:00-17:00 满分：150分）本试卷共5页.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效.3.考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并
2、交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.已知i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数（ ）A.B.C.D.3.中国清朝数学家李善兰在859年翻译代数学中首次将“function”译做“函数”，沿用至今.为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数.”这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式.已知函数由下装给出，则的值为（ ）123A.1B.2C.3D.44.某校的辩
3、论社由4名男生和5名女生组成，现从中选出5人组成代表队参加某项辩论比赛.要求代表队中至少一名男生，并且女生人数要比男多，那么组队的方法数为（ ）A.80B.81C.120D.1255.已知实数x，y满足，则的最大值为（ ）A.5B.6C.7D.86.若，则的图象可能是（ ）A.B.C.D.7.设非零向量，的夹角为.若，且，则等于（ ）A.30B.60C.120D.1508.已知在区间是单调函数，若，且.将曲线向右平移1个单位长度，得到曲线，则函数在区间上的零点个数为（ ）A.3B.4C.5D.6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全
4、部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.设m，n是两条直线，是两个平面，以下判断正确是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.2020年11月23日，中国脱贫攻坚战再传捷报，贵州省宣布紫云县、纳雍县、威宁县等9个县退出贫困县序列，至此，贵州全省66个贫困县全部实现脱贫摘帽，标志着全国832个贫困县全部脱贫摘帽.某研究性学习小组调査了某脱贫县的甲、乙两个家庭、对他们过去7年（2013年至2019年）的家庭收入情况分别进行统计，得到这两个家庭的年人均纯收入（单位：千元/人）数据，绘制折线图如下：表据上图信息，对于甲、乙两个家庭的年人均纯收入（以下分别简称“甲”、“乙”）情
5、况的判断，正确的是（ ）A.过去7年，“甲”的极差小于“乙”的极差B.过去7年，“甲”的平均值小于“乙”的平均值C.过去7年，“甲”的中位数小于“乙”的中位数D.过去7年，“甲”的年平均增长率小于“乙”的年平均增长率11.设F是抛物线的焦点，过F且斜为的直线与抛物线的一个交点为A.半径为的圆F交抛物线的准线于B，C两点，且B在C的上方，B关于点F的对称点为D.以下结论正确的是（ ）A.线段CD的长为8B.A，C，F三点共线C.为等边三角形D.四边形ABCD为矩形12.设其中表示不超过的最大整数.如，.以下结论正确的是（ ）A.是偶函数B.是周期函数C.的最小值是D.的最大值是三、填空题：本题共
6、4小题，每小题5分，共20分.13.已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数_.14.已知，且，则的最小为_.15.双曲线的一条渐近线的方程为，则该双曲线的离心率为_，若E上的点A满足，其中、分别是E的左，右点，则_.注：本小题第一空答对得2分，第二空答对得3分.16.已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条极都相切，则球O的体积为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若_，且，求B的大小.注：如果选择多个条
7、件分别解答，按笫一个解答计分18.（12分）设为数列的前n项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，设数列的前n项和为，证明：.19.（12分）某商场为了吸引顾客，举办了一场有奖摸球游戏，该游戏的规则是：将大小相同的4个白球和4个黑球装入不透明的箱子中搅拌均匀，每次从箱子中随机摸出3个球，记下这3个球的颜色后放回箱子再次授拌均匀.如果在一次游戏中摸到的白球个数比黑球多，则该次游戏得3分，否则得1分.假设在每次游戏中，每个球被模到的可能性都相等.解决以下问题：（1）设在一次摸球游戏中摸到的白球个数为，求的分布列及其数学期望；（2）如果顾客当天在该商场的逍费满一定金额可选择参与4次或5次游戏，当
8、完成所选择次数后的游戏的平均得分不小于2时即可获得一份奖品.若某顾客当天的消费金额满足条件，他应如何选择游戏次数才会有更大的获奖概率？说明理由.20.（12分）如图，在四棱中，平面平面ABCD.（1）求证：；（2）已知二面角的余弦值为.线段PC上是否存在点M，使得BM与平面PAC所成的角为30？证明你的结论.21.（12分）已知A是椭圆的一个顶点，分别是C的左，右焦点，是面积为的等边三角形.（1）求C的方程；（2）若过点的直线交C于不同的两点M，N，求的取值范围.22.（12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设，若有两个不同的极值点，且恒成立，求实数的取值范围.明市2020-2021
9、学年第一学期普通高中期末质量检测高三数学参考答案及评分细则评分说明：1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.C 2.A 3.C 4.A 5.D 6.D 7
10、.B 8.C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.CD 10.ACD 11.BCD 12.BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13. 14. 15.； 16.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.选择在中，根据正弦定理，即.所以由，得，因为，则，所以.则，即.又因为，即.所以，则.选择在中，因为，则，所以.所以由，得.根据正弦定理，所以，即.根据余弦定理，又因为，所以.选择由，得，即，在中，根据正弦定理，所以，因为，所以，即.所以.不妨设，由，得.由，得解得.所以.
11、因为，所以，所以.18.（1）由，得则当时，-得.所以，即.又因为，且，所以是公比为2的等比数列.所以.（2）由知，则.所以19.（1）依题意，的取值为0，1，2，3.因为，.，.所以的分布列为0123P.（2）依题意，在一次游戏中，得3分的概率为.设n次游戏中，得3分的次数为X，则.所以.若该顾客选择完成4次游戏，由，得，其获奖的概率为；若该顾客选择完成5次游戏，由，得，其获奖的概率为.因为，所以该顾客应选择完成4次游戏，会有更大的获奖概率.20.（1）因为，所以四边形ABCD是平行四边形，且.因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PBD，所以.因为，所以.所以，即.又因为，
12、所以平面ABCD.因为平面ABCD，所以.（2）设.以D为坐标原点，分别以DA，DB，DP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则，.所以，.设平面PAC的一个法向量为由，得，即.取，得，即.取为平面ACD的一个法向量.则.因为二面角的余弦值为.所以，解得，所以.假设这样的点M存在，设，其中.由，得.则.设BM与平面PAC所成的角为，则.因为，所以，解得.所以，存在这样的点M，即当时，BM与平面PAC所成的角为.21.（1）依题意，A是C短轴的端点.因为是面积为的等边三角形，所以.设，则，且.所以所以，即C的方程为.（2）当l的斜率存在时，设其方程为.联立，消去y得：.整理得：.由，即，得.设，.则，.则.同理.则.令，则，且，则.由，得.因为在单调递减，且，.则，所以.所以.当l的斜率不存在时，M，N即为C短轴端点，且都在P的下方.此时.综上，的取值范围是.22.（1）因为，所以.当时，因为，所以，此时的单调递增区间为.当时，令，得.当时，当时，.此时，的单调递增区间为，的单调递减区间为.（2）因为，所以.依题意，解得.因为，是的极值点，所以，则.所以，由，可得.因为，.所以等价于.令，则，因为，所以.所以在单调递增，且.所以，.所以的取值范围是.
