1、第四讲检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1用数学归纳法证明当nN+时,1+2+22+25n-1是31的倍数时,当n=1时原式为()A.1B.1+2C.1+2+3+4D.1+2+22+23+24解析：当n=1时,应为1+2+251-1=1+2+22+23+24.答案：D2从一楼到二楼的楼梯共有n级台阶,每步只能跨上1级或2级,走完这n级台阶共有f(n)种走法,则下面的猜想正确的是()A.f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n3)B.f(n)=2f(n-1)(n2)C.f(n)=2f(n-1
2、)-1(n2)D.f(n)=f(n-1)f(n-2)(n3)解析：分别取n=1,2,3,4验证,得f(n)=n,n=1,2,f(n-1)+f(n-2),n3.答案：A3用数学归纳法证明：cos +cos 3+cos(2n-1)=sin2n2sin(sin 0,nN+),在验证当n=1时,等式右边的式子是()A.sin B.sin 2C.cos D.cos2答案：C4利用数学归纳法证明：“35(2n-1)24(2n-2)0,n1.n的最小值n0=2,此时,原不等式为3212-1n+2(nN+),假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标是.解析：注意不等式两边含变量“n”的式子,
3、因此当n=k+1时,应该是含“n”的式子发生变化,所以n=k+1时,应为122+132+1(k+1)2+1(k+2)212-1(k+1)+2.答案：122+132+142+1(k+2)212-1k+3三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)求数列:113,135,157,1(2n-1)(2n+1),的前n项和Sn.解:S1=113=13=121+1;S2=113+135=25=222+1;S3=113+135+157=37=323+1;由以上计算可猜想数列的前n项和Sn=113+135+157+1(2n-1)(2n+1)=n2n+1.下面用数
4、学归纳法证明此等式对任何nN+都成立.证明：(1)当n=1时,左边=113=13,右边=121+1=13,等式成立.(2)假设当n=k(kN+,k1)时,等式成立,即113+135+1(2k-1)(2k+1)=k2k+1.则当n=k+1时,113+135+1(2k-1)(2k+1)+12(k+1)-12(k+1)+1=k2k+1+12(k+1)-12(k+1)+1=k2k+1+1(2k+1)(2k+3)=2k2+3k+1(2k+1)(2k+3)=k+12k+3=k+12(k+1)+1,故当n=k+1时,等式成立,即Sn=113+135+1(2n-1)(2n+1)=n2n+1.根据(1)(2)知
5、,等式对于任何nN+都成立.17(8分)设xn是由x1=2,xn+1=xn2+1xn(nN+)定义的数列,求证:xn2xk21xk=2,xn2显然成立.下面用数学归纳法证明xn2+1n.(1)当n=1时,x1=22+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k1)时,不等式成立,即xk2+1k,则当n=k+1时,xk+1=xk2+1xk.由归纳假设,知xk2+1k,则xk22,1xk22.xk+1=xk2+1xk22+12k+22=2+12k2+1k+1,即xk+12+1k+1.当n=k+1时,不等式xn2+1n成立.由(1)(2)可知,xnk+2,k+4k+2,2k+2k+2,(2k+2)!(k+
6、2)k(k+2)!.上面不等式对k1都成立,2!4!6!(2k)!(2k+2)!(k+1)!k(2k+2)!(k+1)!k(k+2)k(k+2)!=(k+2)!k(k+2)!=(k+2)!k+1.当n=k+1时,不等式成立.由(1)(2)知,所证不等式对一切nN+都成立.19(10分)若不等式1n+1+1n+2+1n+3+13n+1a24对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明你的结论.证明：当n=1时,11+1+11+2+131+1a24,即2624a24,a2524.(1)当n=1时,已证.(2)假设当n=k(kN+,k1)时,1k+1+1k+2+13k+12524.则当n=k+1
7、时,有1(k+1)+1+1(k+1)+2+13k+1+13k+2+13k+3+13(k+1)+1=1k+1+1k+2+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4-1k+12524+13k+2+13k+4-23(k+1).13k+2+13k+4=6(k+1)9k2+18k+86(k+1)9k2+18k+9=23(k+1),13k+2+13k+4-23(k+1)0.1(k+1)+1+1(k+1)+2+13(k+1)+12524也成立.由(1)(2)可知,对一切nN+,都有1n+1+1n+2+13n+12524,故a的最大值为25.20(10分)已知点列An(xn,0),x1=0,x2=a(a0
8、),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,An是线段An-2An-1的中点.(1)写出xn与xn-1,xn-2(n3)之间的关系;(2)记an=xn+1-xn,求an.解: (1)当n3时,xn=xn-1+xn-22.(2)a1=x2-x1=a,a2=x3-x2=x2+x12-x2=-a2.a3=x4-x3=x2+x32-x3=14a.猜想an=-12n-1a(nN+).下面证明猜想.当n=1时,猜想成立.假设当n=k时,猜想成立,即ak=-12k-1a.那么当n=k+1时,ak+1=xk+2-xk+1=xk+1+xk2-xk+1=-12ak=-12ka=-12k+1-1a,即当n=k+1时猜想也成立.由可知,对nN+总有an=-12n-1a.