1、1.1.3导数的几何意义课时过关能力提升基础巩固1.曲线y=2x3在点A(1,2)处的切线的斜率等于()A.0B.2C.4D.6解析:因为y=2(1+x)3-213=6x+6(x)2+2(x)3,所以limx0=yx=limx02(x)2+6x+6=6.由导数的几何意义知,曲线y=2x3在点A处的切线的斜率等于6,故选D.答案:D2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f(xA)与f(xB)的大小关系是()A.f(xA)f(xB)B.f(xA)f(xB)C.f(xA)=f(xB)D.不能确定解析:由题图知f(x)在点A,B处的切线斜率kA,kB满足kAkB0.由导数的几何意义,得f(xA)f
2、(xB).答案:B3.已知曲线y=12x2-2上一点P1,-32,则曲线在点P处的切线的倾斜角为()A.30B.45C.135D.165解析:y=12x2-2,y=limx012(x+x)2-2-12x2-2x=limx012(x)2+xxx=limx0x+12x=x.y|x=1=1.曲线在点P1,-32处的切线的斜率为1,即切线的倾斜角为45.故选B.答案:B4.若曲线f(x)=x2在点P处的切线斜率等于2,则点P的坐标为()A.(-2,-8)B.(-1,-1)C.(1,1)D.-12,-18解析:设点P的坐标为(x0,y0),则k=f(x0)=limx0f(x0+x)-f(x0)x=lim
3、x0(x0+x)2-x02x=limx0(x+2x0)=2x0,即2x0=2.所以x0=1,此时y0=x02=12=1.故点P的坐标为(1,1).故选C.答案:C5.若函数f(x)在x=-2处的导数f(-2)=-1,则曲线f(x)在(-2,f(-2)处的切线的倾斜角等于.解析:因为切线的斜率k=f(-2)=-1,而tan 135=-1,所以切线的倾斜角=135.答案:1356.已知函数y=f(x),y=g(x),y=h(x)的图象如图所示:其对应导数的图象如图:则曲线y=f(x)对应图象是;曲线y=g(x)对应图象是;曲线y=h(x)对应图象是.(只填序号)解析:由导数的几何意义,知y=f(x
4、)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变,则曲线y=f(x)对应图象;y=g(x)上任一点处的切线斜率均小于零,且在起始部分斜率值趋近负无穷,故曲线y=g(x)对应图象;y=h(x)上任一点处的切线斜率都大于零,且先小后大,故曲线y=h(x)对应图象.答案:7.若曲线y=f(x)=2x2-4x+p与直线y=1相切,则 p=.解析:设切点坐标为(x0,1),f(x0)=limx02(x0+x)2-4(x0+x)+p-(2x02-4x0+p)x=limx02(x)2+(4x0-4)xx=limx0(2x+4x0-4)=4x0-4,由题意知4x0-4=0,x0=1,即切点坐标为(1,1).1=2-4
5、+p.p=3.答案:38.求证:函数f(x)=x+1x图象上各点处的切线的斜率小于1.证明f(x)=limx0f(x+x)-f(x)x=limx0x+x+1x+x-x+1xx=1-1x20)的图象在x=1处的切线为l,求切线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值.分析:先求出f(x)在x=1处的切线l的方程,再求得切线l与两坐标轴围成的三角形的面积,利用不等式求面积的最小值.解:y=(x+x)2a-1-x2a+1=2xx+(x)2a,yx=2x+xa.当x无限趋近于0时,yx趋近于2xa,即f(x)=2xa.f(1)=2a.又f(1)=1a-1,f(x)在x=1处的切线l的方程是y-1a+1=2a(x-1).令x=0,得y=-1a-1.令y=0,得x=a+12.切线l与两坐标轴围成的三角形的面积为S=12-1a-1a+12=14a+1a+214(2+2)=1.当且仅当a=1a,即a=1时,切线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小,且最小值为1.