1、3.1.3空间向量基本定理课时目标1.掌握空间向量基本定理.2.能正确选择合适基底，并正确表示空间向量1空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得_由此可知，如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量组成的集合就是_这个集合可看作是由向量e1，e2，e3生成的，我们把_叫做空间的一个基底，_都叫做基向量空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底2正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是_，那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是_时，称这个基底为单位正交基底，通常用_表示3推论
2、设O，A，B，C是_的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得_一、填空题1若存在实数x、y、z，使xyz成立，则下列判断正确的是_(写出正确的序号)对于某些x、y、z的值，向量组，不能作为空间的一个基底；对于任意的x、y、z的值，向量组，都不能作为空间的一个基底；对于任意的x、y、z的值，向量组，都能作为空间的一个基底；根据已知条件，无法作出相应的判断2.设O-ABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且xyz，则(x，y，z)为_3在以下3个命题中，真命题的个数是_三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；若两个非零向量a，b
3、与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；若a，b是两个不共线向量，而cab(，R且0)，则a，b，c构成空间的一个基底4若a，b，c是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是_(写出符合要求的序号)a,2b,3c；ab，bc，ca；a2b,2b3c,3a9c；abc，b，c.5已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标是_6下列结论中，正确的是_(写出所有正确的序号)若a、b、c共面，则存在实数x，y，使axbyc；若a、b、c不共面，则不存在实数x，y，使axbyc；若a、b、c共面，b、c不共线，则存
4、在实数x，y，使axbyc；若axbyc，则a、b、c共面7.如图所示，空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上且OMMA，BNNC，则_.8命题：若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；若a与b共线，则存在惟一的实数，使ba.上述命题中的真命题的个数是_二、解答题9已知向量a，b，c是空间的一个基底，那么向量ab，bc，ca能构成空间的一个基底吗？为什么？10.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点（1）化简：；(2)设E是棱DD1上的点且，若xyz，试求x、y、z的值能力提升11.如图所示，已知平行六面体ABCDABC
5、D.求证：2.12.如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是ABC、OBC的重心，设a，b，c，试用向量a、b、c表示向量.1空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量2利用向量解决立体几何中的一些问题时，其一般思路是将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行运算，最后再将运算结果转化为要解决的问题31.3空间向量基本定理知识梳理1pxe1ye2ze3p|pxe1ye2ze3，x，y，zRe1，e2，e3e1，e2，e32两两互相垂直单位向量i，j，k3不共面x
6、yz作业设计1解析当，共面时，则，共面，故不能构成空间的一个基底2(，)解析因为()()()()，而xyz，所以x，y，z.32解析命题，是真命题，命题是假命题4解析3(a2b)3(2b3c)(3a9c)0，3a9c3(a2b)3(2b3c)，即三向量3a9c，a2b,2b3c共面5(12,14,10)解析设点A在基底a，b，c下对应的向量为p，则p8a6b4c8i8j6j6k4k4i12i14j10k，故点A在基底i，j，k下的坐标为(12,14,10)6解析要注意共面向量定理给出的一个充要条件所以第个命题正确但定理的应用又有一个前提：b、c是不共线向量，否则即使三个向量a、b、c共面，也不一定具有线性关系，故不正确，正确7abc809解假设ab，bc，ca共面，则存在实数、使得ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c为基底，a，b，c不共面此方程组无解ab，bc，ca不共面ab，bc，ca可以作为空间的一个基底10解(1)，().(2)()，x，y，z.11证明因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以，.所以()()()2()又因为，所以，故2.12解，()(bc)，()()a(bc)，(bc)a(bc)a，即a.