1、开卷速查规范特训课时作业实效精炼开卷速查(10)函数的奇偶性与周期性一、选择题1函数f(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数解析：由得1x1，且x0.函数f(x)的定义域为(1,0)(0,1)f(x)，f(x)f(x)f(x)是奇函数答案：A22014唐山市期末f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x3ln(1x)，则当x0时，f(x)()Ax3ln(1x) Bx3ln(1x)Cx3ln(1x) Dx3ln(1x)解析：当x0时，x0，f(x)f(x)(x)3ln(1x)x3ln(1x)，故选C.答案：C3下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为
2、()Aycos2x，xRBylog2|x|，xR且x0Cy，xRDyx31，xR解析：选项A中函数ycos2x在区间上单调递减，不满足题意；选项C中的函数为奇函数；选项D中的函数为非奇非偶函数，故选B项答案：B4若函数f(x)为奇函数，则a等于()A.B.C.D1解析：f(x)f(x)，(2a1)x0，a.答案：A5已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)等于()A2 B2 C98 D98解析：f(x4)f(x)，f(x)是周期为4的函数，f(7)f(241)f(1)，又f(x)在R上是奇函数，f(x)f(x)，f(1)f(1)，而当x
3、(0,2)时，f(x)2x2，f(1)2122，f(7)f(1)f(1)2，故选A.答案：A6设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)等于()A3 B1C1 D3解析：f(x)是奇函数，当x0时，f(x)2x2x，f(1)f(1)2(1)2(1)3.答案：A7已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 013)f(2 015)的值为()A1 B1C0 D无法计算解析：由题意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)
4、，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期为4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 013)f(2 015)0.答案：C8设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T3，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围是()Aa1或a Ba1C1a Da解析：函数f(x)为奇函数，则f(1)f(1)由f(1)f(1)1，得f(1)1；函数的最小正周期T3，则f(1)f(2)，由1，解得1a.答案：C9若函数f(x)、g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)g(x)ex，则有()Af(2)f(3)g(0)Bg(0)f(3)
5、f(2)Cf(2)g(0)f(3)Dg(0)f(2)f(3)解析：由题意，得解得故g(0)1，f(x)为R上的增函数，0f(2)f(3)，故g(0)f(2)f(3)答案：D10若偶函数yf(x)对任意实数x都有f(x1)f(x)，且在0,1上单调递减，则()AfffBfffCfffDfff解析：由f(x1)f(x)，知f(x)是周期函数，且最小正周期为2.故ffff，fff，ffff.又因为，所以fff.答案：B二、填空题11已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1，若g(x)f(x)2，则g(1)_.解析：令h(x)f(x)x2，h(1)f(1)12.h(1)f(1)12，f(1)3，g(1
6、)f(1)21.答案：112设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(1m)f(m)，则实数m的取值范围是_解析：f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(|x|)不等式f(1m)f(m)f(|1m|)f(|m|)又当x0,2时，f(x)是减函数，解得1m.答案：1m13设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)_.解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，因此f(x)f(x)0.当x0时，可得f(0)0，可得b1，此时f(x)2x2x1，因此f(1)3.又f(1)f(1)，所以f(1)3.答案：314已知定义在R上的函数yf(x)满足条
7、件ff(x)，且函数yf为奇函数，给出以下四个命题：函数f(x)是周期函数；函数f(x)的图像关于点对称；函数f(x)为R上的偶函数；函数f(x)为R上的单调函数其中真命题的序号为_解析：由f(x)f(x3)f(x)为周期函数，且T3，为真命题；又yf关于(0,0)对称，yf向左平移个单位得yf(x)的图像，则yf(x)的图像关于点对称，为真命题；又yf为奇函数，ff，fff(x)，ff(x)，f(x)f(x3)ff(x)，f(x)为偶函数，不可能为R上的单调函数所以为真命题，为假命题答案：三、解答题15已知函数f(x)x2(x0，常数aR)(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若
8、函数f(x)在x2，)上为增函数，求a的取值范围解析：(1)当a0时，f(x)x2，对任意的x(，0)(0，)，f(x)(x)2x2f(x)，f(x)为偶函数当a0时，f(x)x2(a0，x0)，取x1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1)函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)方法一：要使函数f(x)在x2，)上为增函数，等价于f(x)0在x2，)上恒成立，即f(x)2x0在x2，)上恒成立故a2x3在x2，)上恒成立a(2x3)min16.a的取值范围是(，16方法二：设2x1x2，则f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a要使函数f
9、(x)在x2，)上为增函数，必须f(x1)f(x2)0恒成立x1x20，x1x20，即ax1x2(x1x2)恒成立，又x1x24，x1x24，x1x2(x1x2)16.a的取值范围是(，16答案：(1)a0时，f(x)为偶函数，a0时，f(x)为非奇非偶函数，理由略；(2)(，1616已知f(x)(a0)是定义在R上的函数，那么是否存在实数a，使得f(x)为偶函数？如果存在，求出a的值，并讨论f(x)的单调性；如果不存在，说明理由解析：假设存在实数a(a0)，使得f(x)为偶函数，由f(x)f(x)得.exex0，(exex)0，a0，即a1.而a0，a1，f(x)exex.任取x1x2，且x
10、10 ，x20，f(x)在(0，)上是增函数f(x)为偶函数，f(x)在(，0)上是减函数答案：存在a1使得f(x)为偶函数，此时f(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数创新试题教师备选教学积累资源共享1已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)解析：将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图像，如图，观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减答案
11、：C2已知函数f(x)|xa|xa|(a0)，h(x)则f(x)，h(x)的奇偶性依次为()A偶函数，奇函数B奇函数，偶函数C偶函数，偶函数 D奇函数，奇函数解析：f(x)|xa|xa|xa|xa|f(x)，故f(x)为奇函数画出h(x)的图像可观察到它关于原点对称或当x0时，x0，则h(x)x2x(x2x)h(x)，当x0时x0，则h(x)x2x(x2x)h(x)x0时，h(0)0，故h(x)为奇函数答案：D3已知函数f(x)满足f(x)f(x)，且当x时，f(x)exsinx，则()Af(1)f(2)f()3Bf(2)f(3)f(1)Cf(3)f(2)f(1) Df(3)f(1)f(2)解
12、析：由f(x)f(x)，得函数f(x)的图像关于直线x对称，又当x时，f(x)excosx0恒成立，所以f(x)在上为增函数，f(2f(2)，f(3)f(3)，且0312，所以f(3)f(1)f(2)，即f(3)f(1)f(2)答案：D4设f(x)是奇函数，且在(0，)内是增函数，又f(3)0，则xf(x)0的解集是()Ax|3x0，或x3Bx|x3，或0x3Cx|x3，或x3Dx|3x0，或0x3解析：由xf(x)0，得或而f(3)0，f(3)0，即或所以xf(x)0的解集是x|3x0，或0x3答案：D5已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)g(x)x，则f(1)
13、、g(0)、g(1)之间的大小关系是_解析：在f(x)g(x)x中，用x替换x，得f(x)g(x)2x，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此得f(x)g(x)2x.于是解得f(x)，g(x)，于是f(1)，g(0)1，g(1)，故f(1)g(0)g(1)答案：f(1)g(0)g(1)6关于yf(x)，给出下列五个命题：若f(1x)f(1x)，则yf(x)是周期函数；若f(1x)f(1x)，则yf(x)为奇函数；若函数yf(x1)的图像关于x1对称，则yf(x)为偶函数；函数yf(1x)与函数yf(1x)的图像关于直线x1对称；若f
14、(1x)f(1x)，则yf(x)的图像关于点(1,0)对称填写所有正确命题的序号_解析：由f(1x)f(1x)可知，函数周期为2，正确；由f(1x)f(1x)可知，yf(x)的对称中心为(1,0)，错；yf(x1)向左平移1个单位得yf(x)，故yf(x)关于y轴对称，正确；两个函数对称时，令1x1x得x0，故应关于y轴对称，错；由f(1x)f(1x)得yf(x)关于x1对称，错，故正确的应是.答案：7已知f(x)是偶函数，且f(x)在0，)上是增函数，如果f(ax1)f(x2)在x上恒成立，求实数a的取值范围解析：由于f(x)为偶函数，且在0，)上为增函数，则在(，0上为减函数，由f(ax1)f(x2)，则|ax1|x2|，又x，故|x2|2x，即x2ax12x.故x3ax1x,1a1在上恒成立由于min0，max2，故2a0.答案：2a08已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解析：(1)设x0，则x0，f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图像知1a3，故实数a的取值范围是(1,3答案：(1)2；(2)(1,3