1、课时跟踪检测(十六)导数与函数的综合问题(分A、B卷，共2页)A卷：夯基保分1一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？2(2015山西四校联考)已知f(x)ln xxa1.(1)若存在x(0，)使得f(x)0成立，求a的取值范围；(2)求证：当x1时，在(1)的条件下，x2axaxln x成立3(2014四川高考)已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设g(x)是函
2、数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间0,1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点证明：e2an1，证明.答案A卷：夯基保分1解：设火车的速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40k203，k，则总费用f(x)(kx3400)aa(0x100)由f(x)0，得x20.当0x20时，f(x)0，f(x)单调递减；当20x100时，f(x)0，f(x)单调递增当x20时，f(x)取极小值也是最小值，即速度为20 km/h时，总费用最少2解：(1)原题即为存在x0使得ln xxa10，aln xx1，令g(x)ln xx1，则g(x)1.令g(x)0
3、，解得x1.当0x1时，g(x)0，g(x)为减函数，当x1时，g(x)0，g(x)为增函数，g(x)ming(1)0，ag(1)0.故a的取值范围是0，)(2)证明：原不等式可化为x2axxln xa0(x1，a0)令G(x)x2axxln xa，则G(1)0.由(1)可知xln x10，则G(x)xaln x1xln x10，G(x)在(1，)上单调递增，G(x)G(1)0成立，x2axxln xa0成立，即x2axax1nx成立3解：(1)由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，当x0,1时，g(x)12a，e2a当a时，g(x)0，所以g
4、(x)在0,1上单调递增，因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在0,1上单调递减，因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab；当a时，令g(x)0，得xln(2a)(0,1)所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增于是，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab.(2)证明：设x0为f(x)在
5、区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)f(x0)0可知f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负，故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点由(1)知，当a时，g(x)在0,1上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点当a时，g(x)在0,1上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点所以a.此时g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增因此x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有g(
6、0)1b0, g(1)e2ab0.由f(1)0有abe12，有g(0)ae20，g(1)1a0.解得e2a1.所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点时，e2a1.B卷：增分提能1解：(1)函数的定义域为R，f(x)，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0，f(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减(2)假设存在x1，x20,1，使得2(x1)(x2)成立，则2(x)min(x)max.(x)xf(x)tf(x)ex，(x).当t1时，(x)0，(x)在0,1上单调递减，2(1)(0)，即t31.当t0时，(x)0，(x)在0,1上单调递增，2(0)(1)，即t32e0.当0t1时
7、，若x0，t)，(x)0，(x)在0，t)上单调递减；若x(t,1，(x)0，(x)在(t,1上单调递增，所以2(t)max(0)，(1)，即2max，(*)由(1)知，g(t)2在0,1上单调递减，故22，而，所以不等式(*)无解综上所述，存在t(，32e)，使得命题成立2解：(1)因为f(x)xln xmx，所以f(x)1ln xm.由题意f(1)1ln 1m2，得m1.(2)g(x)(x0，x1)，所以g(x).设h(x)x1ln x，h(x)1.当x1时，h(x)10，h(x)是增函数，h(x)h(1)0，所以g(x)0，故g(x)在(1，)上为增函数；当0x1时，h(x)1h(1)0，所以g(x)0，故g(x)在(0,1)上为增函数；所以g(x)在区间(0,1)和(1，)上都是单调递增的(3)证明：由已知可知要证，即证ln nln m，即证ln mln n，即证，即证g(m)g(n)，又mn1(m，nN*)，由(2)知g(m)g(n)成立，所以.