1、第二节等 差 数 列2019考纲考题考情1等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为anan1d(常数)(nN*，n2)或an1and(常数)(nN*)。(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A。2等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d。(2)等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Snna1d或Sn。3等差数列
2、的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)。(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman。(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d。(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列。(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列。(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列。(7)S2n1(2n1)an。(8)若项数n为偶数，则S偶S奇；若项数n为奇数，则S奇S偶a中(中间项)。1用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“
3、从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。2等差数列的前n项和公式有两种表达形式，要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。3等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d。若公差d0，则为递增数列，若公差d0，则为递减数列。(2)前n项和：当公差d0时，Snna1dn2n是关于n的二次函数且常数项为0。 一、走进教材1(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列8，3,2，7，则该数列的第100项为_。解析依题意得，该数列的首项为8，公差为5，所以a1008995487。答案4872(必修5
4、P46A组T5改编)已知等差数列5,4，3，则前n项和Sn_。解析由题知公差d，所以Snna1d(75n5n2)。答案(75n5n2)二、走近高考3(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和。若3S3S2S4，a12，则a5()A12B10C10D12解析设等差数列an的公差为d，根据题中的条件可得322d42d，整理解得d3，所以a5a14d21210。故选B。解析：设等差数列an的公差为d，因为3S3S2S4，所以3S3S3a3S3a4，所以S3a4a3，所以3a1dd，因为a12，所以d3，所以a5a14d24(3)10。故选B。答案B4(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n
5、项和。若a4a524，S648，则an的公差为()A1B2C4D8解析设等差数列an的公差为d，依题意得解得故选C。解析：由等差数列的性质得S63(a3a4)48a3a416，又a4a524，得2d8，所以d4。故选C。答案C三、走出误区微提醒：错用公式致误；求前n项和最值的方法不当致误；错用性质致误。5已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100B99C98D97解析设等差数列an的公差为d，由已知，得所以所以a100a199d19998。答案C6在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_。解析由题意知d0且即解
6、得1d。答案7在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_。解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，所以a590，所以a2a82a5180。答案180考点一 等差数列的基本运算【例1】(1)(2018北京高考)设an是等差数列，且a13，a2a536，则an的通项公式为_。(2)九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题
7、中，甲得_钱()A B C. D.解析(1)设等差数列an的公差为d，a2a5a1da14d65d36，所以d6，所以an3(n1)66n3。(2)甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1，a2，a3，a4，a5，设公差为d，由题意知a1a2a3a4a5，即解得故甲得钱。故选C。答案(1)an6n3(2)C等差数列运算问题的通性通法1等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解。2等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。 【变式训练】(1)(
8、2019沈阳市质量监测)在等差数列an中，若Sn为前n项和，2a7a85，则S11的值是()A55 B11 C50 D60(2)已知等差数列an一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为()A B C1D.解析(1)设等差数列an的公差为d，由题意可得2(a16d)a17d5，得a15d5，则S1111a1d11(a15d)11555。故选A。解析：设等差数列an的公差为d，由2a7a85，得2(a6d)a62d5，得a65，所以S1111a655。故选A。(2)设等差数列an的公差为d，由题意得解得所以中间一项为a5a14d4。故选D。答案(1)A(2)D考点二 等差数列的判
9、定与证明【例2】已知数列an满足a1，an1(nN*)。(1)证明：数列是等差数列；(2)求an的通项公式。解(1)证明：因为an111，所以3，所以3，所以是首项为3，公差为3的等差数列。(2)由(1)得3n，所以an1。判断数列an是否为等差数列，通常有两种方法：定义法，证明anan1d(n2，d为常数)，用定义法证明等差数列时，常选用两个式子an1and或anan1d，但它们的意义不同，后者必须加上“n2”；等差中项法，证明2anan1an1(n2)。 【变式训练】(2019齐齐哈尔八中月考)已知数列an是等差数列，且a1，a2(a1a2)分别为方程x26x50的两个根。(1)求数列an
10、的前n项和Sn；(2)在(1)中，设bn，求证：当c时，数列bn是等差数列。解(1)因为a1，a2(a1a2)分别为方程x26x50的两个根，所以a11，a25，所以等差数列an的公差为4，所以Snn142n2n。(2)证明：当c时，bn2n，因为bn1bn2(n1)2n2，b12，所以bn是首项为2，公差为2的等差数列。考点三 等差数列的性质及应用【例3】(1)在等差数列an中，a5a64，则log2(2a12a22a10)()A10B20C40D2log25(2)设Sn是等差数列an的前n项和，若S6722，S1 34412，则S2 016()A22 B26 C30 D34解析(1)由等差
11、数列的性质知a1a10a2a9a3a8a4a7a5a64，则2a12a22a102a1a2a1025(a5a6)254，所以log2(2a12a22a10)log225420。(2)由等差数列的性质知，S672，S1 344S672，S2 016S1 344成等差数列，则2(S1 344S672)S672S2 016S1 344，即2(122)2S2 01612，解得S2 01630。答案(1)B(2)C1利用等差数列的性质“若mnpq(m，n，p，qN*)，则有amanapaq”，或者“常用结论”中的有关公式可以有效地简化计算。2在等差数列中Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等差数列，本例
12、(2)应用了这一个性质。 【变式训练】(1)在等差数列an中，若a3a5a7a9a1145，S33，那么a5()A4B5 C9D18(2)两等差数列an和bn的前n项和分别为Sn，Tn，且，则_。(3)一个正项等差数列前n项的和为3，前3n项的和为21，则前2n项的和为()A18 B12 C10 D6解析(1)由题意可得a3a5a7a9a115a745，S33a23，则a79，a21，则数列的公差d2，故a5a23d5。(2)因为数列an和bn均为等差数列，所以。(3)因为an是等差数列，所以Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，即2(S2nSn)Sn(S3nS2n)，因为Sn3，S3n2
13、1，所以2(S2n3)321S2n，解得S2n10。故选C。答案(1)B(2)(3)C考点四 等差数列的最值问题微点小专题方向1：等差数列前n项和的最值【例4】(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315。(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值。解(1)设an的公差为d，由题意得3a13d15。由a17得d2。所以an的通项公式为an2n9。(2)由(1)得Snn28n(n4)216。所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为16。求等差数列前n项和的最值，常用的方法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；利
14、用等差数到的前n项和SnAn2Bn(A，B为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值。 方向2：等差数列项的最值【例5】(2019安徽淮北一模)Sn是等差数列an的前n项和，S2 018S2 016，S2 017S2 018，则Sn0时n的最大值是()A2 017B2 018C4 033D4 034解析因为S2 018S2 016，S2 017S2 018，所以a2 018a2 0170。所以S4 0342 017(a2 018a2 017)0，可知Sn0时n的最大值是4 034。故选D。答案D本题借助等差数列的性质求出Sn0，则其前n项和取最小值时n的值为()A6B7C8D9解析由d0可得
15、等差数列an是递增数列，又|a6|a11|，所以a6a11，即a15da110d，所以a1，则a80，所以前8项和为前n项和的最小值。故选C。答案C2(方向2)设等差数列an满足a3a736，a4a6275，且anan1有最小值，则这个最小值为_。解析设等差数列an的公差为d，因为a3a736，所以a4a636，又a4a6275，联立，解得或当时，可得此时an7n17，a23，a34，易知当n2时，an0，所以a2a312为anan1的最小值；当时，可得此时an7n53，a74，a83，易知当n7时，an0，当n8时，an5时，an0。所以|a1|a2|a15|(a1a2a3a4)(a5a6a
16、15)20110130。答案1304(配合例4使用)等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A5B6 C7D8解析解法一：由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80。根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a70，a80,6Sna3an(nN*)，bn，若nN*，kTn恒成立，则k的最小值是()A B C49 D.解析已知6Sna3an(nN*)，6Sn1a3an1(nN*)，两式作差得6anaa3an3an1，即aa3an3an10，即(anan13)(anan1)0，由an0可得anan13，故数列an是等差数列，且6a1a3a1，解得a13，由等差数列的通项公式得到an3n(nN*)，故bn(nN*)，裂项求和可得Tn(nN*)，由条件kTn恒成立，因为Tn，所以k，即k的最小值为。答案B
