1、24抛物线24.1抛物线的标准方程学习目标1.运用抛物线的定义推导标准方程.2.掌握抛物线的标准方程.3.会求抛物线的标准方程知识链接1抛物线定义中的定点F若在定直线l上，动点轨迹还是抛物线吗？答：不是是过定点F且与l垂直的直线2函数y的图象是抛物线吗？答：不是由于y2x的图象是抛物线，且由y2x得y，所以y的图象是抛物线的一部分预习导引1抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)(，0)xy22px(p0)(，0)xx22py(p0
2、)(0，)yx22py(p0)(0，)y要点一求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(2,0)；(2)准线为y1；(3)过点A(2,3)；(4)焦点到准线的距离为.解(1)焦点在x轴的负半轴上，且2，p4，抛物线标准方程为y28x.(2)焦点在y轴正半轴上，且1，p2，抛物线标准方程为x24y.(3)由题意，抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0)，将点A(2,3)代入，得32m2或22n3，m或n.所求抛物线方程为y2x或x2y.(4)焦点到准线的距离为，p.所求抛物线方程为y25x或y25x或x25y或x25y.规律方法求抛物线方程，通常用待定系
3、数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0)跟踪演练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1) 过点(3，4)；(2) 焦点在直线x3y150上解(1)方法一点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px (p0)或x22p1y (p10)把点(3，4)分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，即2p，2p1.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.方法二点(3，4)在第四象限，抛物线的方程可设为y2
4、ax (a0)或x2by (b0)把点(3，4)分别代入，可得a，b.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(2)令x0得y5；令y0得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0)所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.要点二抛物线定义的应用例2如图，已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PAPF的最小值，并求此时P点坐标解如图，作PQl于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求PAPF的最小值的问题可转化为求PAd的最小值的问题将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l：x的距
5、离为d，由定义知PAPFPAd.由图可知，当PAl时，PAd最小，最小值为.即PAPF的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2.点P坐标为(2,2)规律方法抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等跟踪演练2已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为_答案解析如图，由抛物线定义知PAPQPAPF，则所求距离之和的最小值转化为求PAPF的最小值，则当A、P、F三点共线时，P
6、APF取得最小值又A(0,2)，F(，0)，(PAPF)minAF.要点三抛物线的实际应用例3喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5m，且与OA所在的直线相距4m，水流落在以O为圆心，半径为9m的圆上，则管柱OA的长是多少？解如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x22py(p0)，因为点C(5，5)在抛物线上，所以252p(5)，因此2p5，所以抛物线的方程为x25y，点A(4，y0)在抛物线上，所以165y0，即y0，所以OA的长为51.8 (m)所以管柱OA的长为1.8m.规律方法在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标
7、轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用跟踪演练3某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽8m，一木船宽4m，高2m，载货的木船露在水面上的部分为0.75m，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系(如图)设抛物线的方程是x22py(p0)，由题意知A(4，5)在抛物线上，故：162p(5)p，则抛物线的方程是x2y(4x4)，设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于B、B时，木船开始不能通航设B(2，y)，22yy.0.752.故当水面上涨到与抛物线
8、形的拱顶相距2m时，木船开始不能通航1已知抛物线的准线方程为x7，则抛物线的标准方程为_答案y228x解析抛物线开口向右，方程为y22px (p0)的形式，又7，所以2p28，方程为y228x.2已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线1上，则抛物线方程为_答案y28x解析由题意知抛物线的焦点为双曲线1的顶点，即为(2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y28x或y28x.3已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_答案2解析如图所示，动点P到l2：x1的距离可转化为P、F间的距离，由图可知，距离和的最小值，即F到
9、直线l1的距离d2.4抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是_答案解析抛物线方程化为x2y，准线为y，由于点M到焦点距离为1，所以M到准线距离也为1，所以M点的纵坐标等于1.1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上2确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx (m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my (m0).一、基础达标1抛物线y28x的焦点坐标是_答案(2,0)解析y28
10、x，p4，焦点坐标为(2,0)2若动点P与定点F(1,1)和直线l：3xy40的距离相等，则动点P的轨迹是_答案直线解析设动点P的坐标为(x，y)则.整理，得x29y24x12y6xy40，即(x3y2)20，x3y20.所以动点P的轨迹为直线3已知抛物线y22px (p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为_答案2解析抛物线y22px的准线方程为x，它与圆相切，所以必有1，p2.4抛物线方程为7x4y20，则焦点坐标为_答案(，0)解析方程化为y2x，抛物线开口向左，2p，故焦点坐标为(，0)5动点到点(3,0)的距离比它到直线x2的距离大1，则动点的轨迹是_答案抛物线解析已知条件
11、可等价于“动点到点(3,0)的距离等于它到直线x3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线6已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AFBF3，则线段AB的中点到y轴的距离为_答案解析AFBFxAxB3，xAxB.线段AB的中点到y轴的距离为.7已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x3相切，求动圆圆心M的轨迹方程解方法一设动点M(x，y)，设M与直线l：x3的切点为N，则MAMN，即动点M到定点A和定直线l：x3的距离相等，点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x3为准线，3，p6.圆心M的轨迹方程是y212x.方法二设动点M(x，y)，则点M的轨
12、迹是集合PM|MAMN，即|x3|，化简，得y212x.圆心M的轨迹方程为y212x.二、能力提升8以双曲线1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_答案y216x解析双曲线的方程为1，右顶点为(4,0)设抛物线的标准方程为y22px (p0)，则4，即p8，抛物线的标准方程为y216x.9已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若0，则k等于_答案2解析由抛物线C：y28x得焦点(2,0)，由题意可知：斜率k0，设直线AB为myx2，其中m.联立得到y28my160，0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y28m，y1y216.又(x12
13、，y12)，(x22，y22)，所以(x12)(x22)(y12)(y22)(my14)(my24)(y12)(y22)(m21)y1y2(4m2)(y1y2)2016(m21)(4m2)8m204(2m1)2.由4(2m1)20，解得m.所以k2.10设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么PF_.答案8解析如图所示，直线AF的方程为y(x2)，与准线方程x2联立得A(2,4)设P(x0,4)，代入抛物线y28x，得8x048，x06，PFx028.11已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y22x上移动，M为AB的中点，求M点到
14、y轴的最短距离解如图所示，抛物线y22x的准线为l：x，过A、B、M分别作AA、BB、MM垂直于l，垂足分别为A、B、M.由抛物线定义知AAFA，BBFB.又M为AB中点，由梯形中位线定理得MM(AABB)(FAFB)AB3，则M到y轴的距离d1 (当且仅当AB过抛物线的焦点时取“”)，所以dmin1，即M点到y轴的最短距离为1.12一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过的a的最小整数值解以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的坐标为，如图所示设隧道所在抛物线方程为x2my，则2m，ma.即抛物线方程
15、为x2ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82ay，即y.欲使卡车通过隧道，应有y3，即3.a0，a12.21.a应取13.三、探究与创新13已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且AFBF8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程解设抛物线的方程为y22px (p0)，则其准线为x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AFBF8，x1x28，即x1x28p.Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上，QAQB，即，又y2px1，y2px2，(x1x2)(x1x2122p)0.AB与x轴不垂直，x1x2.故x1x2122p8p122p0，即p4.从而抛物线方程为y28x.
