1、第二章 函数、导数及其应用第一节函数及其表示2019考纲考题考情1函数与映射的概念函数映射定义建立在两个非空数集A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应建立在两个非空集合A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应记法yf(x)，xAf：AB2.函数的三要素函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数yf(x)，xA，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做值域。3函数的表示法表示函数的常用方法：解析法、列表法
2、、图象法。4分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。1一种优先意识函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则。2两个关注点(1)分段函数是一个函数。(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集。3直线xa(a是常数)与函数yf(x)的图象有0个或1个交点。 一、走进教材1(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数yx1是相等函数的是()Ay()2By1Cy1Dy1解析对于A，函数y()2的定义域为x|x1，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对
3、于B，定义域和对应法则都相同，是相等函数；对于C，函数y1的定义域为x|x0，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应法则不同，不是相等函数。故选B。答案B2(必修1P25B组T1改编)函数yf(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_。答案3,02,31,51,2)(4,5二、走近高考3(2018江苏高考)函数f(x)的定义域为_。解析要使函数f(x)有意义，则log2x10，即x2，则函数f(x)的定义域是2，)。答案2，)4(2017山东高考)设f(x)若f(a)f(a1)，则f()A2B4C6D8解析
4、当0a1，f(a)，f(a1)2(a11)2a，因为f(a)f(a1)，所以2a，解得a或a0(舍去)。所以ff(4)2(41)6。当a1时，a12，所以f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a，所以2(a1)2a，无解。综上f6。故选C。解析：由f(x)的解析式可知其图象为：f(x)的定义域为(0，)，f(x)在(0,1)上单调递增，在1，)上单调递增。由f(a)f(a1)可知，自变量a和a1不可能同在单调区间(0,1)上，自变量a和a1也不可能同在单调区间1，)上，因此自变量a和a1必须分别分布在两个不同的区间上。又aa1，所以a(0,1)且a11，)。因此有f(a)且f(a1)2(
5、a11)2a。因为f(a)f(a1)，所以2a，又a(0,1)，解得a。所以ff(4)2(41)6。故选C。答案C三、走出误区微提醒：对函数概念理解不透彻；对分段函数解不等式时忘记范围；换元法求解析式，反解忽视范围。5已知集合Px|0x4，Qy|0y2，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是_。(填序号)f：xyx；f：xyx；f：xyx；f：xy。解析对于，因为当x4时，y4Q，所以不是函数。答案6设函数f(x)则使得f(x)1的自变量x的取值范围为_。解析因为f(x)是分段函数，所以f(x)1应分段求解。当x1时，f(x)1(x1)21x2或x0，所以x2或0x1。当x1时，f(x)141
6、，即3，所以1x10。综上所述，x2或0x10，即x(，20,10。答案(，20,107已知f()x1，则f(x)_。解析令t，则t0，xt2，所以f(t)t21(t0)，即f(x)x21(x0)。答案x21(x0)考点一 函数的定义域【例1】(1)(2019河南、河北两省重点高中联考)函数f(x)ln(x4)的定义域为_。(2)已知函数yf(x)的定义域为8,1，则函数g(x)的定义域是_。解析(1)要使函数f(x)有意义，需有解得4x1，即函数f(x)的定义域为(4,1。(2)由题意得82x11，解得x0，由x20，解得x2，故函数的定义域是(2,0。答案(1)(4,1(2)(2,01求给
7、定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍。2求抽象函数的定义域：若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出yf(g(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域。 【变式训练】(1)函数f(x)ln的定义域为()A(，42，) B(4,0)(0,1)C4,0)(0,1) D4,0)(0,1(2)若函数yf(x)的定义域是0,2 018，则函数g(x)的定义域是()A1,2 017B1,1)(1,2 017C0,2 018D1,1)(1,2 018(3)若函数y的定义域为R，则
8、实数a的取值范围是()A BC D解析(1)由解得4x0或0x1，故函数f(x)的定义域为4,0)(0,1)。故选C。(2)使函数f(x1)有意义，则0x12 018，解得1x2 017，故函数f(x1)的定义域为1，2 017。所以函数g(x)有意义的条件是解得1x1或10恒成立，得a0或解得0a。答案(1)C(2)B(3)D考点二 求函数的解析式【例2】(1)已知二次函数f(x)满足f(2x1)4x26x5，则f(x)_。(2)已知f(x)满足2f(x)f3x，则f(x)_。(3)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)。若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_。
9、解析(1)令2x1t(tR)，则x，所以f(t)4265t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR)。解法一(配凑法)：因为f(2x1)4x26x5(2x1)210x4(2x1)25(2x1)9，所以f(x)x25x9。解法二(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)ax2bxc(a0)，则f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a2b)xabc。因为f(2x1)4x26x5，所以解得所以f(x)x25x9。(2)因为2f(x)f3x，所以将x用替换，得2ff(x)，由解得f(x)2x(x0)，即f(x)的解析式是f(x)2x(x0)。(3)(转换法)当1x0时，
10、则0x11，故f(x1)(x1)(1x1)x(x1)，又f(x1)2f(x)，所以1x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg(x1)。答案(1)x2x(xR)(2)lg(x1)考点三 分段函数微点小专题方向1：分段函数求值【例3】(2018江苏高考)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x)则f(f(15)的值为_。解析因为函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，所以函数f(x)的最小正周期是4。因为在区间(2,2上，f(x)所以f(f(15)f(f(1)fcos。答案根据分段函数解析式求函数值。首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入
11、求解，同时也要注意函数的奇偶性、周期性的应用。 方向2：求参数或自变量的值【例4】设函数f(x)若f(f(a)2，则a_。解析当a0时，f(a)a20，f(f(a)(a22a2)22，此方程无解。故a。答案此类问题有以下两种解法1解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可。2如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解。 【题点对应练】1(方向1)已知函数f(x)则f(f(1)()AB2C4D11解析因为f(1)1223，所以f(f(1)f(3)34。故选C。答案C2(方向2)已知函数f
12、(x)若f(a)3，则f(a2)()AB3C或3D或3解析当a0时，若f(a)3，则log2aa3，解得a2(满足a0)；当a0时，若f(a)3，则4a213，解得a3，不满足a0，所以舍去。于是，可得a2。故f(a2)f(0)421。故选A。答案A考点四 函数新定义问题【例5】(2019洛阳高三统考)若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)xR，都有f(x)f(x)0；(2)x1，x2R，且x1x2，都有0。f(x)sinx；f(x)2x3；f(x)1x；f(x)ln(x)。以上四个函数中，“优美函数”的个数是()A0 B1 C2 D3解析由条件(1)，得f(x)
13、是R上的奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调递减函数。对于，f(x)sinx在R上不单调，故不是“优美函数”；对于，f(x)2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于，f(x)1x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”。故选B。答案B所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现过或尚未介绍的一类函数。函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题。常见形式有：讨论新函数的性质；利用新函数进行运算；判断新函数的
14、图象；利用新概念判断命题真假等。 【变式训练】若函数yf(x)的图象上存在不同的两点M，N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数yf(x)的一对“和谐点对”。已知函数f(x)则此函数的“和谐点对”有()A1对B2对C3对D4对解析作出函数f(x)的图象如图所示，f(x)的“和谐点对”数可转化为yex(x0)和yx24x(x1的x的取值范围是_。解析根据分段函数的性质分情况讨论，当x0时，则f(x)fx1x11，解得0时，根据指数函数的图象和性质以及一次函数的性质与图象可得，f(x)f1恒成立，所以x的取值范围是。答案5(配合例5使用)数学上称函数ykxb(k，bR，k0)为线性函数。对于非线性
15、可导函数f(x)，在点x0附近一点x的函数值f(x)，可以用如下方法求其近似代替值：f(x)f(x0)f(x0)(xx0)。利用这一方法，m的近似代替值()A大于mB小于mC等于mD与m的大小关系无法确定解析依题意，取f(x)，则f(x)，所以(xx0)。令x4.001，x04，所以20.001。因为240.00124.001，所以m的近似代替值大于m。答案A换元法求函数值函数求值问题涉及很多方面：1分段函数求值问题，关键在于准确确定与自变量对应的函数解析式。2利用函数性质求值的关键在于利用函数的奇偶性、周期性或对称性等将自变量转化到已知区间内求解。3对于自变量之间存在某种特殊关系的函数求值问
16、题，要注意与自变量对应的函数值之间关系的建立。这里我们重点研究换元法求函数值，请看下面例子：【典例】设xR，若函数f(x)为单调递增函数，且对任意实数x，都有f(f(x)ex)e1(e是自然对数的底数)，则f(ln2)的值等于()A1B2C3D4【解析】因为f(x)为单调递增函数，且对任意实数x，都有f(f(x)ex)e1，所以f(x)ex必然是一个常数，设f(x)ext(t为常数)，则f(x)ext，故f(t)ett。由已知可得f(t)e1，所以ette1。又函数yexx在R上是单调递增的，显然t1，所以f(x)ex1，故f(ln2)eln213。故选C。【答案】C先利用换元法，根据已知求出函数f(x)的解析式，然后代入求值。 【变式训练】设定义在R上的函数f(x)满足f(tan2x)，则f f f f f(0)f(2)f(3)f(2 016)f(2 017)_。解析设ttan2x，则，所以f(t)。故f(t)f 0。所以f f f f f(0)f(2)f(3)f(2 016)f(2 017)f(0)1。答案1