1、35与抛物线相关的热点问题1已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为_答案4或4解析设标准方程为x22py(p0)，由定义知P到准线的距离为4，故24，所以p4，则方程为x28y，代入P点坐标得m4.2若抛物线y28x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3,3)且与l相切的圆共有_个答案1解析由题意得F(2,0)，l：x2，线段MF的垂直平分线方程为y(x)，即x3y70，设圆的圆心坐标为(a，b)，则圆心在x3y70上，故a3b70，a73b，由题意得|a(2)|，即b28a8(73b)，即b224b560.又b0，故此方程只有一个根，于是
2、满足题意的圆只有一个3已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若PQF是边长为2的正三角形，则p的值是_答案2解析依题意得F(，0)，设P(，y1)，Q(，y2)(y1y2)由抛物线定义及PFQF，得，yy，y1y2.又PQ2，因此|y1|y2|1，点P(，y1)又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得PF2，由此解得p2.4(2014课标全国改编)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_答案解析由已知得焦点坐标为F(，0)，因此直线AB的方程为y(x)，即4x4y30.方法一联立抛物线方程化简得4y
3、212y90，故|yAyB|6.因此SOABOF|yAyB|6.方法二联立方程得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有ABxAxBp12，同时原点到直线AB的距离为h，因此SOABABh.5已知抛物线y28x的准线为l，点Q在圆C：x2y22x8y130上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则dPQ的最小值为_答案3解析如图所示，由题意，知抛物线y28x的焦点为F(2,0)，连结PF，则dPF.圆C的方程配方，得(x1)2(y4)24，圆心为C(1,4)，半径r2.dPQPFPQ，显然，PFPQFQ(当且仅当F，P，Q三点共线时取等号)而FQ为圆C上的动点Q到定点F的距离，显然当F，Q
4、，C三点共线时取得最小值，最小值为CFr2523.6过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若AF3，则AOB的面积为_答案解析如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又AF3，由抛物线定义知：点A到准线x1的距离为3，点A的横坐标为2.将x2代入y24x得y28，由图知点A的纵坐标y2，A(2,2)，直线AF的方程为y2(x1)联立直线与抛物线的方程解之得或由图知B，SAOBOF|yAyB|1|2|.7过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB，AFBF，则AF_.答案解析2，ABAFBF，AF0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A、
5、B两点，若ABF为等边三角形，则p_.答案6解析因为ABF为等边三角形，所以由题意知B，代入方程1得p6.11(2014大纲全国)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且QFPQ.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程解(1)设Q(x0,4)，代入y22px得x0.所以PQ，QFx0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x，得y24my40.设A(x
6、1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故设AB的中点为D(2m21,2m)，AB|y1y2|4(m21)又l的斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故设MN的中点为E(2m23，)，MN |y3y4|，由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于AEBEMN，从而AB2DE2MN2，即4(m21)2(2)2(2m)2，化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.12(2014湖北)在平面直角坐标系xOy中，点M到
7、点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2,1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围解(1)设点M(x，y)，依题意得MF|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x)故点M的轨迹C的方程为y2(2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x(x0)，C2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组可得ky24y4(2k1)0.(*1)当k0时，此时y1.把y1代入轨迹C的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹C恰好有一个公共点(，1)当k0时，方程(*1)根的判别式
8、为16(2k2k1)(*2)设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.(*3)()若由(*2)(*3)解得k.即当k(，1)(，)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点()若或由(*2)(*3)解得k1，或k0.即当k1，时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点当k，0)时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点故当k，0)1，时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点()若由(*1)(*2)解得1k或0k.即当k(1，)(0，)时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点综合可知，当k(，1)(，)0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k，0)1，时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k(1，)(0，)时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点
