1、2020-2021学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1命题p：“”的否定p为（）ABCD2在长方体ABCDABCD中，（）ABCD3若ab0，则下列不正确的是（）ABCa+1b+1D4“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第六个单音的频率为（）AfBfCfDf5双曲线C：1的渐近线方程为（）AByxCDy2x6设ABC的内角A，B，C所对的边分别为
2、a、b、c，已知2ccosBbcosAacosB，则角B（）ABCD7已知an，bn均为等差数列，且a1+b11，a2+b23，则a2020+b2020（）A4043B4041C4039D40378方程|x|+2所表示的曲线大致形状为（）ABCD9设a0，b0，若a+b4，则的最小值为（）ABCD10设有穷数列an的前n项和为Sn，令Tn，称Tn为数列a1，a2，an的“凯森和”已知数列1，2，4，a的“凯森和”为6，则a（）A6B5C4D311已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2+2aba2+b2+6，若ABC的面积为，则tanC的值为（）ABC1D12已知圆1和焦点为
3、F的抛物线C2：y28x，点N是圆C1上一点，点M是抛物线C2上一点，则|MF|+|MN|的最小值为（）A1BC4D5二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知p：xm，q：1x3，若p是q的必要不充分条件，则m的值可能为 （填一个满足条件的值即可）14若实数x，y满足，则z2x+y的最大值为 15设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|等于C的半实轴长，则C的离心率为 16伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要某景区的部分道路如
4、图所示，AB30m，CD50m，ABCBCD45，要建设一条从点A到点D的空中长廊，则AD m三、解答题：包括必考题和选考题两部分，第17题第21题为必考题，每道试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生任选一题作答。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（一）必考题17在b2a2c2ac，2a+c2bcosC，4S这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线处，并作出解答在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，cABC的面积为S，且 _（1）求角B；（2）若a2，b2，求ABC的周长18已知等差数列an满足a34，a56，数列log2bn是以1为首项，公差为1的等差数列（1）求
5、an和bn；（2）若cnanbn，求数列cn的前n项和Tn19如图所示，四棱锥SABCD中，ABCD，ADDC，CD2AD2AB2SD4，SD平面ABCD（1）求证：BC平面SBD；（2）若点M是线段SC的中点，求平面MAB与平面SBD所成锐二面角的余弦值20已知椭圆（ab0）的离心率为，F为右焦点，B为C的上顶点，且|FB|2O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）设直线yx1与C相交于P，Q两点，求OPQ的面积21如图，河的两岸，分别有生活小区ABC和DEF，其中ABBC，EFDF，DFAB，C，E，F三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得AB3km，BC4km，DFkm，FE3km，
6、ECkm若以OA，OD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系xoy，则河岸DE可看成是曲线y（其中a，b为常数）的一部分，河岸AC可看成是直线ykx+m（其中k，m为常数）的一部分（1）求a，b，k，m的值；（2）现准备建一座桥MN，其中M，N分别在DE，AC上，且MNAC，设点M的横坐标为t请写出桥MN的长l关于t的函数关系式lf（t），并注明定义域；当t为何值时，l取得最小值？最小值是多少？选考题请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数
7、方程为（为参数）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）点Q为曲线C上的动点，求点Q到直线l的距离的最大值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x7|+|2x5|（1）求函数f（x）的最小值m；（2）在（1）的条件下，正数a，b满足a2+b2m，证明：a+b2ab参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1命题p：“”的否定p为（）ABCD解：根据命题否定的概念知，p为，sinx0cosx0，故选：C2在长方体ABCDABCD中，
8、（）ABCD解：故选：B3若ab0，则下列不正确的是（）ABCa+1b+1D【解答】对于A，ab0，0，即，故A正确；对于B，由均值不等式可知，当ab0时，故B正确；对于C，ab0，a+1b+1，故C正确；对于D，取a4，b1，而，故D不正确故选：D4“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第六个单音的频率为（）AfBfCfDf解：由题意知，十三个单音的频率构成等比数列an，a1f，q，
9、第六个单音的频率故选：B5双曲线C：1的渐近线方程为（）AByxCDy2x解：双曲线的渐近线方程为，即，故选：C6设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，已知2ccosBbcosAacosB，则角B（）ABCD解：因为2ccosBbcosAacosB，所以2sinCcosBsinBcosAsinAcosB，所以2sinCcosBsin（A+B）sinC，因为sinC0，所以cosB，因为B（0，），所以B故选：B7已知an，bn均为等差数列，且a1+b11，a2+b23，则a2020+b2020（）A4043B4041C4039D4037解：an，bn均为等差数列，且a1+b11，a
10、2+b23，数列an+bn是以1为首项，2为公差的等差数列，a2020+b20201+201924039故选：C8方程|x|+2所表示的曲线大致形状为（）ABCD解：方程|x|+2，表示的曲线关于x，y轴对称，只看第一象限，当x0，y0时，方程可变为，y（x2）2，x（0，2，且x0时，y4，只有D符合题意，故选：D9设a0，b0，若a+b4，则的最小值为（）ABCD解：a0，b0，a+b4，当且仅当，即时取等号，故选：A10设有穷数列an的前n项和为Sn，令Tn，称Tn为数列a1，a2，an的“凯森和”已知数列1，2，4，a的“凯森和”为6，则a（）A6B5C4D3解：由已知可得6，a6，故
11、选：A11已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2+2aba2+b2+6，若ABC的面积为，则tanC的值为（）ABC1D解：由题意c2a2+b22ab+6a2+b22abcosC，即2ab+62abcosC，即ab（1cosC）3，联立得，整理得，即，又0C，故选：B12已知圆1和焦点为F的抛物线C2：y28x，点N是圆C1上一点，点M是抛物线C2上一点，则|MF|+|MN|的最小值为（）A1BC4D5解：过点M作直线x2的垂线，垂足为H，则|MF|MH|MF|+|MN|MH|+|MC1|1，故M是过圆心向准线x2所作垂线与C2的交点，即；|MF|+|MN|的最小值为3+2
12、14故选：C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知p：xm，q：1x3，若p是q的必要不充分条件，则m的值可能为4（填一个满足条件的值即可）解：p是q的必要不充分条件，所以1，3（，m），则m3，故答案不唯一，只需填大于3的数即可故答案为：414若实数x，y满足，则z2x+y的最大值为6解：实数x，y满足的可行域为如图所示阴影部分，由解得A（2，2），把y2x+z，平移，当直线经过点A（2，2）时，z取最大值，最大值为z6故答案为：615设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|等于C的半实轴长，则C的离心率为解：不妨设双曲线，
13、焦点F（c，0），对称轴y0，由题设知，由，得a22b2，c22b2+b23b2，故答案为：16伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要某景区的部分道路如图所示，AB30m，CD50m，ABCBCD45，要建设一条从点A到点D的空中长廊，则AD40m解：由题可知ABCBCD45，所以ABCD由，则，所以，则故答案为：40三、解答题：包括必考题和选考题两部分，第17题第21题为必考题，每道试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生任选一题作答。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（一）必
14、考题17在b2a2c2ac，2a+c2bcosC，4S这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线处，并作出解答在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，cABC的面积为S，且 _（1）求角B；（2）若a2，b2，求ABC的周长解：（1）若选，因为b2a2c2ac，可得，又B（0，），可得若选，由2a+c2bccosC，由正弦定理可得：2sinA+sinC2sinBcosC，即2sin（B+C）+sinC2sinBcosC，整理得sinC（2cosB+1）0，而sinC0，可得，又B（0，），可得若选，由，得，即，又B（0，），可得（2）由余弦定理得b2a2+c22accosB，即，解得c
15、2或c4（舍去），可得ABC周长18已知等差数列an满足a34，a56，数列log2bn是以1为首项，公差为1的等差数列（1）求an和bn；（2）若cnanbn，求数列cn的前n项和Tn解：（1）依题意，2d642，d1，a12，an2+（n1）n+1，数列log2bn是以1为首项，公差为1的等差数列，log2bn1+（n1）n，即（2）由（1）得，得n2n+1，19如图所示，四棱锥SABCD中，ABCD，ADDC，CD2AD2AB2SD4，SD平面ABCD（1）求证：BC平面SBD；（2）若点M是线段SC的中点，求平面MAB与平面SBD所成锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：ABCD，ADD
16、C，ABAD2，又CD4，CD2BD2+BC2，故BCBD，又SD平面ABCD，BC平面ABCD，BCSD，SDBDD，BD平面SBD，SD平面SBD，BC平面SBD（2）如图，分别以的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），S（0，0，2），M（0，2，1），由（1）得平面SBD的一个法向量为，设n（x，y，z）为平面ABM 的一个法向量，由，得，不妨取，设平面SBD与平面ABM所成的角为，|cos|，即平面MAB与平面SBD所成锐二面角的余弦值为20已知椭圆（ab0）的离心率为，F为右焦点，B为C的上顶
17、点，且|FB|2O为坐标原点（1）求椭圆C的方程；（2）设直线yx1与C相交于P，Q两点，求OPQ的面积解：（1）由|FB|2得a2，又b2a2c21故C的方程为（2）解法1：联立直线与椭圆方程：，化简得5x28x0，x0或x，O到直线yx1的距离，解法2：联立直线与椭圆方程：，消去x得5y2+2y30，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，21如图，河的两岸，分别有生活小区ABC和DEF，其中ABBC，EFDF，DFAB，C，E，F三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得AB3km，BC4km，DFkm，FE3km，ECkm若以OA，OD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系xoy，则河
18、岸DE可看成是曲线y（其中a，b为常数）的一部分，河岸AC可看成是直线ykx+m（其中k，m为常数）的一部分（1）求a，b，k，m的值；（2）现准备建一座桥MN，其中M，N分别在DE，AC上，且MNAC，设点M的横坐标为t请写出桥MN的长l关于t的函数关系式lf（t），并注明定义域；当t为何值时，l取得最小值？最小值是多少？解：（1）由题意得：ODBC4，OBFC，D（0，），E（3，4），A（，0），C（，4），把D（0，），E（3，4）代入y得：，解得：a4，b7，把A（，0），C（，4）代入ykx+m得：，解得：k，m2；（2）由（1）得：M点在y上，M（t，），t0，3，桥MN的长l为
19、MN到直线yx2的距离，故lf（x）|4t+9|，t0，3；由得：f（t）|4t+9|4（t4）+7|，而t40，0，4（t4）+212，当且仅当4（t4）时即t“”成立，f（t）min|12+7|1选考题请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）点Q为曲线C上的动点，求点Q到直线l的距离的最大值解：
20、（1）曲线C的参数方程为（为参数）转换为曲线C的普通方程为，sincos6，将xcos，ysin代入上式，得直线l的直角坐标方程为xy+60（2）设曲线C上的点到直线xy+60的距离，当时，d取得最大值为选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x7|+|2x5|（1）求函数f（x）的最小值m；（2）在（1）的条件下，正数a，b满足a2+b2m，证明：a+b2ab解：（1）函数f（x）|2x7|+|2x5|2x7（2x5）|2，当（2x7）（2x5）0，即x时，f（x）取得最小值2；（2）方法一、正数a，b满足a2+b22，a2+b22ab，ab1，1，当且仅当ab取得等号，又，即，则，当且仅当ab取得等号，则，a+b2ab方法二、由a0，b0，要证a+b2ab，只要证（a+b）24a2b2，即证a2+b2+2ab4a2b2，由a2+b22，即为2+2ab4a2b2，即证2（ab）2ab10，即为（2ab+1）（ab1）0，由2ab+10，即证ab1，又2a2+b22ab，即ab1成立，故a+b2ab