1、专训全章热门考点整合应用名师点金：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了本章热门考点可概括为：两个概念，一个解法，两个关系，一个应用，三种思想 两个概念一元二次方程的定义1当m取何值时，方程(m1)xm212mx30是关于x的一元二次方程？一元二次方程的根2(中考兰州)若一元二次方程ax2bx2 0150有一根为x1，则ab_3若关于x的一元二次方程ax2bxc0有一根为1，且a2，求的值 一个解法一元二次方程的解法4用配方
2、法解方程x22x10时，配方后所得的方程为()A(x1)20 B(x1)20C(x1)22 D(x1)225一元二次方程x22x30的解是()Ax11，x23 Bx11，x23Cx11，x23 Dx11，x236选择适当的方法解下列方程：(1)(x1)22x(x1)0；(2)x26x60；(3)6 000(1x)24 860；(4)(10x)(50x)800；(5)(中考山西)(2x1)2x(3x2)7. 两个关系一元二次方程的根的判别法7(中考河北)若关于x的方程x22xa0不存在实数根，则a的取值范围是()Aa1 Ba1 Ca1 Da1 8在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中
3、a5，若关于x的方程x2(b2)x(6b)0有两个相等的实数根，求ABC的周长一元二次方程根与系数的关系9已知，是关于x的一元二次方程x2(2m3)xm20的两个不相等的实数根，且满足1，则m的值是()A3 B1C3或1 D3或110(中考南充)已知关于x的一元二次方程(x1)(x4)p2，p为实数(1)求证：方程有两个不相等的实数根(2)p为何值时，方程有整数解(直接写出三个，不需说明理由)11设x1，x2是关于x的一元二次方程x22axa24a20的两个实数根，当a为何值时，x12x22有最小值？最小值是多少？ 一个应用一元二次方程的应用12(中考湖州)随着某市养老机构(养老机构指社会福利
4、院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加(1)该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个，求该市这两年(从2013年底到2015年底)拥有的养老床位数的年平均增长率；(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位)，双人间(2个养老床位)，三人间(3个养老床位)，因实际需要，单人间房间数在10至30之间(包括10和30)，且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t.若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；求该养老中心建成后最多提供养老
5、床位多少个？最少提供养老床位多少个？13小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由 三种思想整体思想14已知xa是2x2x20的一个根，求代数式2a4a32a22a1的值转化思想15解方程：232.分类讨论思想16已知关于x的方程x2x40.(1)求证：无论k取什么实数，这个方程总有实数根(2)若等腰三角形ABC的一边长a4，另两边的长b，c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长答案1解：当m
6、212且m10时，方程(m1)xm212mx30是关于x的一元二次方程由m212，得m21，所以m1.由m10，得m1，所以只能取m1.所以当m1时，方程(m1)xm212mx30是关于x的一元二次方程点拨：要准确理解一元二次方程的概念，需从次数和系数两方面考虑22 015点拨：把x1代入方程中得到ab2 0150，即ab2 015.3解：a2，c40且4c0，即c4，则a2.又1是一元二次方程ax2bxc0的根，abc0，bac242.原式0.4D5.A6解：(1)(x1)22x(x1)0， (x1)(x12x) 0， (x1)(3x1) 0，x11，x2.(2)x26x60，a1，b6，c
7、6，b24ac(6)241(6)60.x3，x13，x23.(3)6 000(1x)24 860， (1x)2 0.81， 1x 0.9，x11.9，x20.1.(4)(10x)(50x)800， x240x300 0，x110，x230.(5)(2x1)2x(3x2)7， 4x24x1 3x22x7， x26x8 0，x12，x24.7B8解：关于x的方程x2(b2)x(6b)0有两个相等的实数根，(b2)24(6b)0，b12，b210(舍去)当a为腰长时，ABC周长为55212.当b为腰长时，225，不能构成三角形ABC的周长为12.9A10(1)证明：化简方程，得x25x4p20.(5
8、)24(4p2)94p2.p为实数，则p20，94p20.即0，方程有两个不相等的实数根(2)解：当p为0，2，2时，方程有整数解(答案不唯一)点拨：(1)先将一元二次方程化为一般形式，由题意得，一元二次方程根的判别式b24ac(5)241(4p2)94p2，易得，94p20，从而得证(2)一元二次方程的解为x，若方程有整数解，则94p2必须是完全平方数，故当p0、2、2时，94p2分别对应9、25、25，此时方程的解分别为整数11解：方程有两个实数根，(2a)24(a24a2)0，a.又x1x22a，x1x2a24a2，x12x22(x1x2)22x1x22(a2)24.a，且2(a2)20
9、，当a时，x12x22的值最小此时x12x2224，即最小值为.点拨：本题中考虑0从而确定a的取值范围这一过程易被忽略12解：(1)设该市这两年(从2013年底到2015年底)拥有的养老床位数的年平均增长率为x，由题意可列出方程：2(1x)22.88.解得x10.220%，x22.2(不合题意，舍去)答：该市这两年拥有的养老床位数的年平均增长率为20%.(2)因为规划建造单人间的房间数为t(10t30)，则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为1003t，由题意得：t4t3(1003t)200.解得t25.答：t的值是25.设该养老中心建成后能提供养老床位y个，由题意得：yt4t3(100
10、3t)4t300(10t30)，k40，y随t的增大而减小当t10时，y有最大值为300410260，当t30时，y有最小值为300430180.答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个，最少提供养老床位180个13解：(1)设剪成的较短的一段为x cm，则较长的一段为(40x) cm，由题意，得58，解得x112，x228.当x12时，较长的一段为401228(cm)，当x28时，较长的一段为402812(cm)28cm(舍去)较短的一段为12 cm，较长的一段为28 cm.(2)小峰的说法正确理由如下：设剪成的较短的一段为m cm，则较长的一段就为(40m) cm，由题意得48，变形为
11、m240m4160.(40)24416640，原方程无实数解，小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.14解：xa是2x2x20的一个根，2a2a20，即2a2a2.原式a2(2a2a)2a22a12a22a22a12(2a2a)15.15解：设2x1y，则原方程可变形为y23y2.解得y11，y22.当y1时，有2x11，所以x0；当y2时，有2x12，所以x.所以原方程的解为x10，x2.点拨：利用换元法将复杂的一元二次方程转化为简单的一元二次方程来求解16(1)证明：(2k1)2444k212k9(2k3)2.无论k取什么实数，均有(2k3)20，无论k取什么实数，原方程总有实数根(2)解：ABC是等腰三角形，有两条边长相等，若bc，b，c是所给方程的两个根，(2k3)20，即k.此时方程为x24x40，bc2.又a4，bca，不符合三角形的三边关系定理，不存在这种情况若b、c中有一值与a相等，不妨设ba4.b是所给方程的根，424(2k1)40.k，此时方程为x26x80，b4，c2.ab4，c2，符合三角形的三边关系定理，ABC的周长为abc44210.点拨：涉及等腰三角形的问题时，在没有指明底或腰的情况下，要先分类讨论再求解，同时对所求得的解进行检验，取舍，即所得的解还必须满足三角形的三边关系定理，不满足的解应舍去