1、20102014年高考真题备选题库第2章 函数、导数及其应用第9节 函数模型及其应用1.（2014湖南，5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A. B.C. D.1解析：设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1p)(1q)aa(1x)2，解得x1，故选D.答案：D2.（2014山东，5分）已知函数yf(x)(xR)对函数yg(x)(xI)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数yh(x)(xI)，yh(x)满足：对任意xI，两个点(x，h(x)，(x，g(x)关于点(x，f(x)对称若h(x)是g(x)关于f
2、(x)3xb的“对称函数”，且h(x)g(x)恒成立，则实数b的取值范围是_解析：函数g(x)的定义域是2,2，根据已知得f(x)，所以h(x)2f(x)g(x)6x2b.又h(x)g(x)恒成立，即6x2b 恒成立，即3xb恒成立令y3xb，y，则只要直线y3xb在半圆x2y24(y0)上方即可，由2，解得b2(舍去负值)，故实数b的取值范围是(2，)答案：(2，) 3（2013陕西，5分）在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为_(m)解析：本题主要考查构建函数模型，利用基本不等式求解应用问题的能力如图，过A作AHBC于H，交DE于F，易知
3、AFxFH40x.则Sx(40x)2，当且仅当40xx，即x20时取等号所以满足题意的边长x为20(m)答案：204（2013重庆，12分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解：本题主要考查导数在实际生活中的应用、导数与函数单调性的关系等基础知识，考查转化思想及分类讨
4、论思想(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元根据题意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)由h0，且r0可得0r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)a0，cb0.(1)记集合M(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且ab，则(a，b，c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为_；(2)若a，b，c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)x(，1)，f(x)0；xR，使ax，bx
5、，cx不能构成一个三角形的三条边长；若ABC为钝角三角形，则x(1,2)，使f(x)0.解析：本小题主要考查指数函数的性质、全称量词和存在量词的含义、零点存在性定理及推理论证能力(1)由题设f(x)0，ab2axcxx，又abc，abxx，x0，所以x0c1，又01,0，xxx1，即f(x)0，所以正确；由(1)可知正确；由ABC为钝角三角形，所以a2b2c2，所以f(2)c，所以1，所以f(1)0，由零点存在性定理可知正确答案：x|00，区间Ix|f(x)0(1)求I的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2)给定常数k(0,1)，当1ka1k时，求I长度的最小值解：本题考查含参数的一元二次
6、不等式的解法、导数的应用等，意在考查考生恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力(1)因为方程ax(1a2)x20(a0)有两个实根x10，x2，故f(x)0的解集为x|x1xx2因此区间I，I的长度为.(2)设d(a)，则d(a).令d(a)0，得a1.由于0k1，故当1ka0，d(a)单调递增；当1a1k时，d(a)0，d(a)单调递减所以当1ka1k时，d(a)的最小值必定在a1k或 a1k处取得而1，故d(1k)d(1k)因此当a1k时，d(a)在区间1k,1k上取得最小值.8（2011陕西，5分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10
7、米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_(米)解析：当放在最左侧坑时，路程和为2(01020190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2(1001020180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2(201001020170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2(908001020100)2000米答案：20009（2012湖南，13分）某企业接到生产3 000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件)已知每个工人每
8、天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k(k为正整数)(1)设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；(2)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案解：(1)设完成A，B，C三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)分别为T1(x)，T2(x)，T3(x)，由题设有T1(x)，T2(x)，T3(x)，其中x，kx,200(1k)x均为1到200之间的正整数(2)完成订单任务的时间为f(x
9、)maxT1(x)，T2(x)，T3(x)，其定义域为x|0x，xN*，易知，T1(x)，T2(x)为减函数，T3(x)为增函数注意到T2(x)T1(x)，于是当k2时，T1(x)T2(x)，此时f(x)maxT1(x)，T3(x)max，由函数T1(x)，T3(x)的单调性知，当时f(x)取得最小值，解得x.由于4445，而f(44)T1(44)，f(45)T3(45)，f(44)f(45)故当x44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为f(44).当k2时，T1(x)T2(x)，由于k为正整数，故k3，此时.记T(x)，(x)maxT1(x)，T(x)，易知T(x)是增函数，则f(x)maxT1(x)，T3(x)maxT1(x)，T(x)(x)max，由函数T1(x)，T(x)的单调性知，当时(x)取最小值，解得x.由于3637，而(36)T1(36)，(37)T(37).此时完成订单任务的最短时间大于.(3)当k2时，T1(x)T2(x)，由于k为正整数，故k1，此时f(x)maxT2(x)，T3(x)max，由函数T2(x)，T3(x)的单调性知，当时f(x)取最小值，解得x，类似(1)的讨论，此时完成订单任务的最短时间为，大于.综上所述，当k2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44,88,68.