1、第22章 二次函数一、选择题1在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）A2xy+x2=1By2ax+2=0Cy+x22=0Dx2y2+4=02设等边三角形的边长为x（x0），面积为y，则y与x的函数关系式是（）Ay=x2By=Cy=Dy=3已知抛物线y=x28x+c的顶点在x轴上，则c等于（）A4B8C4D164若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c（）A开口向上，对称轴是y轴B开口向下，对称轴是y轴C开口向下，对称轴平行于y轴D开口向上，对称轴平行于y轴5一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（）ABCD6已知抛物线y=x
2、2+mx+n的顶点坐标是（1，3），则m和n的值分别是（）A2，4B2，4C2，4D2，07对于函数y=x2+2x2，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（）Ax1Bx0Cx0Dx18抛物线y=x2（m+2）x+3（m1）与x轴（）A一定有两个交点B只有一个交点C有两个或一个交点D没有交点9二次函数y=2x2+mx5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，则m的值为（）A3B3C3或3D以上都不对10对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2t）x+t总经过一个固定的点，这个点是（）A（1，0）B（1，0）C（1，3）D（1，3）二、填空题11抛物线y=2x+x2+
3、7的开口向 _，对称轴是 _，顶点是 _12若二次函数y=mx23x+2mm2的图象经过原点，则m=_13如果把抛物线y=2x21向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是_14对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是_15已知二次函数y=x26x+n的最小值为1，那么n的值是_16抛物线在y=x22x3在x轴上截得的线段长度是_17设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是_，自变量x的取值范围是_18设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x22x5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则ABC的面积是_1
4、9抛物线上有三点（2，3）、（2，8）、（1，3），此抛物线的解析式为_20已知一个二次函数与x轴相交于A、B，与y轴相交于C，使得ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是_三、解答题21已知抛物线的顶点坐标为M（1，2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式22把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合请求出a，b，c的值23二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交
5、点为C，当AMC的面积为ABC面积的倍时，求a的值24对于抛物线y=x2+bx+c，给出以下陈述：它的对称轴为x=2； 它与x轴有两个交点为A、B；APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）求、得以同时成立时，常数b、c的取值范围25分别写出函数y=x2+ax+3（1x1）在常数a满足下列条件时的最小值：（l）0a；（2）a2.3（提示：可以利用图象哦，最小值可用含有a的代数式表示）26已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6，（1）如图甲：在OA上选取一点D，将COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E求折痕CD 所在直线
6、的解析式；（2）如图乙：在OC上选取一点F，将AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G求折痕AF所在直线的解析式；再作GHAB交AF于点H，若抛物线过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF的公共点的个数（3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边上，记为K请你猜想：折痕IJ所在直线与第（2）题中的抛物线会有几个公共点；经过K作KLAB与IJ相交于L，则点L是否必定在抛物线上将以上两项猜想在（l）的情形下分别进行验证第22章 二次函数参考答案一、选择题1在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）A2xy+x2=1By2ax+2=0Cy+
7、x22=0Dx2y2+4=0【解答】解：A、2xy+x2=1当x0时，可化为y=的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；B、y2ax+2=0可化为y2=ax2不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；C、y+x22=0可化为y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确；D、x2y2+4=0可化为y2=x2+4的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误故选C2设等边三角形的边长为x（x0），面积为y，则y与x的函数关系式是（）Ay=x2By=Cy=Dy=【解答】解：作出BC边上的高ADABC是等边三角形，边长为x，CD=x，高为h=x，y=xh=x2故选：D3已知
8、抛物线y=x28x+c的顶点在x轴上，则c等于（）A4B8C4D16【解答】解：根据题意，得=0，解得c=16故选D4若直线y=ax+b不经过二、四象限，则抛物线y=ax2+bx+c（）A开口向上，对称轴是y轴B开口向下，对称轴是y轴C开口向下，对称轴平行于y轴D开口向上，对称轴平行于y轴【解答】解：直线y=ax+b不经过二、四象限，a0，b=0，则抛物线y=ax2+bx+c开口方向向上，对称轴x=0故选A5一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（）ABCD【解答】解：A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开
9、口向上，错误；B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a0，b0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=0，错误；C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a0，b0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，对称轴x=0，正确D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a0，b0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，错误；故选C6已知抛物线y=x2+mx+n的顶点坐标是（1，3），则m和n的值分别是（）A2，4B2，4C2，4D2，0【解答】解：根据顶点坐标公式，得横坐标为： =1，解得m=2；纵坐标为： =3，解得n=4故选B7对于函数y=x2+2x2
10、，使得y随x的增大而增大的x的取值范围是（）Ax1Bx0Cx0Dx1【解答】解：y=x2+2x2=（x1）21，a=10，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，当x1时，y随x的增大而增大，故只有选项C，D这两个范围符合要求，又因为C选项范围包括选项D的范围，故选：C8抛物线y=x2（m+2）x+3（m1）与x轴（）A一定有两个交点B只有一个交点C有两个或一个交点D没有交点【解答】解：根据题意，得=b24ac=（m+2）2413（m1）=（m4）2（1）当m=4时，=0，即与x轴有一个交点；（2）当m4时，0，即与x轴有两个交点；所以，原函数与x轴有一个交点或两个交点，故选C9二次函数y=2x2
11、+mx5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，则m的值为（）A3B3C3或3D以上都不对【解答】解：二次函数y=2x2+mx5的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），且x12+x22=，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=2（）=，解得：m=3，故选：C10对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2t）x+t总经过一个固定的点，这个点是（）A（1，0）B（1，0）C（1，3）D（1，3）【解答】解：把y=x2+（2t）x+t变形得到（1x）t=yx22x，对于任何的实数t，抛物线y=x2+（2t）x+t总经过一个固定的点，1x=0且yx22x=0，
12、x=1，y=3，即这个固定的点的坐标为（1，3）故选D二、填空题11抛物线y=2x+x2+7的开口向 上，对称轴是 x=1，顶点是 （1，6）【解答】解：y=x22x+7=（x1）2+6，二次项系数a=10，抛物线开口向上，顶点坐标为（1，6），对称轴为直线x=1故答案为：上，x=1，（1，6）12若二次函数y=mx23x+2mm2的图象经过原点，则m=2【解答】解：由于二次函数y=mx23x+2mm2的图象经过原点，代入（0，0）得：2mm2=0，解得：m=2，m=0；又m0，m=2故答案为：213如果把抛物线y=2x21向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是y=2（
13、x+1）2+3【解答】解：原抛物线的顶点为（0，1），向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为（1，3）；可设新抛物线的解析式为y=2（xh）2+k，代入得：y=2（x+1）2+314对于二次函数y=ax2，已知当x由1增加到2时，函数值减少4，则常数a的值是【解答】解：当x=1时，y=ax2=a；当x=2时，y=ax2=4a，所以a4a=4，解得a=故答案为：15已知二次函数y=x26x+n的最小值为1，那么n的值是10【解答】解：原式可化为：y=（x3）29+n，函数的最小值是1，9+n=1，n=10故答案为：1016抛物线在y=x22x3在x轴上截得的线段长度是4【解
14、答】解：设抛物线与x轴的交点为：（x1，0），（x2，0），x1+x2=2，x1x2=3，|x1x2|=4，抛物线在y=x22x3在x轴上截得的线段长度是4故答案为：417设矩形窗户的周长为6m，则窗户面积S（m2）与窗户宽x（m）之间的函数关系式是S=x2+3x，自变量x的取值范围是0x3【解答】解：由题意可得：S=x（3x）=x2+3x自变量x的取值范围是：0x3故答案为：S=x2+3x，0x318设A、B、C三点依次分别是抛物线y=x22x5与y轴的交点以及与x轴的两个交点，则ABC的面积是5【解答】解：令x=0，则y=5，即A（0，5）；设B（b，0），C（c，0）令y=0，则x22x
15、5=0，则b+c=2，bc=5，则|bc|=2，则ABC的面积是5=5故答案为519抛物线上有三点（2，3）、（2，8）、（1，3），此抛物线的解析式为y=x2x+【解答】解：设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把点（2，3）、（2，8）、（1，3）代入得，解得所以此抛物线的解析式为y=x2x+，故答案为：y=x2x+20已知一个二次函数与x轴相交于A、B，与y轴相交于C，使得ABC为直角三角形，这样的函数有许多，其中一个是y=x2+3【解答】解：如图所示：当抛物线过点A（3，0），B（3，0），C（0，3），则设抛物线解析式为：y=ax2+3，故0=9a+3，解得：a=，即抛物线解析式
16、为：y=x2+3故答案为：y=x2+3三、解答题21已知抛物线的顶点坐标为M（1，2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式【解答】解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，2），设此二次函数的解析式为y=a（x1）22，把点（2，3）代入解析式，得：a2=3，即a=5，此函数的解析式为y=5（x1）2222把抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物线y=2x2+4x+1重合请求出a，b，c的值【解答】解：将y=2x2+4x+1 整理得y=2x2+4x+1=2（x+1）21因为抛物线y=ax2+bx+c 向左平移2个单位，再向下平移1个单位得y=2x2+4x
17、+1=2（x+1）21，所以将y=2x2+4x+1=2（x+1）21向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得y=ax2+bx+c，故y=ax2+bx+c=2（x+12）1+1=2（x1）=2x24x+2，所以a=2，b=4，c=223二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当AMC的面积为ABC面积的倍时，求a的值【解答】解：（1）由图象可知：a0图象过点（0，1），所以c=1，图象过点（1，0），则a+b+1=0当x=1时，应有y0，
18、则ab+10将a+b+1=0代入，可得a+（a+1）+10，解得a1所以，实数a的取值范围为1a0；（2）此时函数y=ax2（a+1）x+1，M点纵坐标为： =，图象与x轴交点坐标为：ax2（a+1）x+1=0，解得；x 1=1，x 2=，则AC=1=，要使SAMC=SABC=可求得a=24对于抛物线y=x2+bx+c，给出以下陈述：它的对称轴为x=2； 它与x轴有两个交点为A、B；APB的面积不小于27（P为抛物线的顶点）求、得以同时成立时，常数b、c的取值范围【解答】解：抛物线y=x2+bx+c=（x+）2+，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，=2，则b=4，P点的纵坐标是=c4，
19、又它与x轴有两个交点为A、B，=b24ac=164c0，且AB=2解得 c4，又APB的面积不小于27，2|c16|27，即|c16|27由解得 c5综上所述，b的值是4，c的取值范围是c525分别写出函数y=x2+ax+3（1x1）在常数a满足下列条件时的最小值：（l）0a；（2）a2.3（提示：可以利用图象哦，最小值可用含有a的代数式表示）【解答】解：对称轴x=，（1）当0a时，即0，当x=时有最小值，最小值y=（）2+a（）+3=3，（2）当a2.3即1.1，在1x1范围内，y随x的增大而增大，当x=1时，y最小，最小值y=（1）2+a（1）+3=4a26已知OABC是一张放在平面直角坐
20、标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6，（1）如图甲：在OA上选取一点D，将COD沿CD翻折，使点O落在BC边上，记为E求折痕CD 所在直线的解析式；（2）如图乙：在OC上选取一点F，将AOF沿AF翻折，使点O落在BC边，记为G求折痕AF所在直线的解析式；再作GHAB交AF于点H，若抛物线过点H，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF的公共点的个数（3）如图丙：一般地，在以OA、OC上选取适当的点I、J，使纸片沿IJ翻折后，点O落在BC边上，记为K请你猜想：折痕IJ所在直线与第（2）题中的抛物线会有几个公共点；经过K作KLAB与IJ相交于L，则点L是否必定
21、在抛物线上将以上两项猜想在（l）的情形下分别进行验证【解答】解：（1）由折法知：四边形ODEC是正方形，OD=OC=6，D（6，0），C（0，6），设直线CD的解析式为y=kx+b，则，解得，直线CD的解析式为y=x+6（2）在直角ABG中，因AG=AO=10，故BG=8，CG=2，设OF=m，则FG=m，CF=6m，在直角CFG中，m2=（6m）2+22，解得m=，则F（0，），设直线AF为y=kx+，将A（10，0）代入，得k=，AF所在直线的解析式为：y=x+GHAB，且G（2，6），可设H（2，yF），由于H在直线AF上，把H（2，yF）代入直线AF：yF=2+=，H（2，），又H在抛
22、物线上， =22+h，解得h=3，抛物线的解析式为y=x2+3，将直线y=x+，代入到抛物线y=x2+3，得x2+x=0，=4（）（）=0，直线AF与抛物线只有一个公共点（3）可以猜想以下两个结论：折痕IJ所在直线与抛物线y=x2+3只有一个公共点；经过K作KLAB与IJ相交于L，则点L一定在抛物线y=x2+3上验证，在图甲的特殊情况中，I即为D，J即为C，G即为E，K也是E，KL即为ED，L就是D，将折痕CD：y=x+6代入y=x2+3中，得x2+x3=0，=14（）（3）=0，折痕CD所在的直线与抛物线y=x2+3只有一个公共点验证，在图甲的特殊情况中，I就是C，J就是D，那么L就是D（6，0），当x=6时，y=62+3=0，点L在这条抛物线上