1、 2020 年山东省高考数学卷真题试卷（含答案）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合 A=x|1x3，B=x|2x4，则 AB=Ax|2x3Bx|2x3Cx|1x4Dx|1xn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上B若 m=n0，则 C 是圆，其半径为nC若 mn0，则 C 是两条直线10下图是函数 y=sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)=Asin(3x）Bsin(2)3xCcos(26x）D5cos(2)6x11已知 a0，b0，且 a+b=1，则A2212abB122a b C22loglog2a
2、b D2ab12 信 息 熵 是 信 息 论 中 的 一 个 重 要 概 念.设 随 机 变 量 X 所 有 可 能 的 取 值 为 1,2,n，且1()0(1,2,),1niiiP Xipinp，定义 X 的信息熵21()logniiiH Xpp.A若 n=1，则 H(X)=0B若 n=2，则 H(X)随着1p 的增大而增大C若1(1,2,)ipinn，则 H(X)随着 n 的增大而增大D若 n=2m，随机变量 Y 所有可能的取值为1,2,m，且21()(1,2,)jmjP Yjppjm，则H(X)H(Y)三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13斜率为3 的直线过抛物
3、线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则 AB=_14将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前 n 项和为_15某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BCDG，垂足为 C，tanODC=35，BHDG，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2 16已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的棱长
4、均为 2，BAD=60以1D 为球心，5 为半径的球面与侧面 BCC1B1的交线长为_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）在3ac，sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角,A B C 的对边分别为,a b c，且sin3sinAB，6C，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18（12 分）已知公比大于1的等比数列na满足24320,8aaa（1）求na的通项公式；（2）记mb 为na在区间*(0,(
5、)m mN中的项的个数，求数列mb的前100 项和100S19（12 分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100 天空气中的PM 2.5 和2SO 浓度（单位：3g/m），得下表：2SOPM 2.50,50(50,150(150,4750,3532184(35,756812(75,1153710（1）估计事件“该市一天空气中 PM 2.5 浓度不超过 75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的 22列联表：2SOPM 2.50,150(150,4750,75(75,115（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握
6、认为该市一天空气中 PM 2.5 浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，2()P Kk0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.82820（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交线为l（1）证明：l平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值21（12分）已知函数1()elnlnxf xaxa（1）当ea 时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围2
7、2（12分）已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点A（2，1）（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值 参考答案一、选择题1C2D3C4B5C6B7A8D二、选择题9ACD10BC11ABD12AC三、填空题1316314232nn15 542 1622四、解答题17解：方案一：选条件由6C和余弦定理得222322abcab由sin3sinAB及正弦定理得3ab于是22223322 3bbcb，由此可得bc由3ac，解得3,1abc 因此，选条件时问题中的三角形存在，此时1c 方案二：选条件由6C和余弦定
8、理得222322abcab由sin3sinAB及正弦定理得3ab于是22223322 3bbcb，由此可得bc，6BC，23A由 sin3cA，所以2 3,6cba因此，选条件时问题中的三角形存在，此时2 3c 方案三：选条件 由6C和余弦定理得222322abcab由sin3sinAB及正弦定理得3ab于是22223322 3bbcb，由此可得bc由3cb，与bc矛盾因此，选条件时问题中的三角形不存在18解：（1）设na的公比为 q 由题设得31120a qa q，218a q 解得12q （舍去），2q 由题设得12a 所以na的通项公式为2nna（2）由题设及（1）知10b，且当122n
9、nm时，mbn所以10012345673233636465100()()()()Sbbbbbbbbbbbbb234501 2223 2425 26(10063)48019解：（1）根据抽查数据，该市 100 天的空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且2SO 浓度不超过 150 的天数为32186864,因此,该市一天空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且2SO 浓度不超过 150 的概率的估计值为 640.64100（2）根据抽查数据，可得 22列联表：2SOPM 2.50,150(150,4750,756416(75,1151010（3）根据（2）的列联表得22100(64 1016 1
10、0)7.48480207426K由于 7.4846.635，故有99%的把握认为该市一天空气中 PM 2.5 浓度与2SO 浓度有关 20解：（1）因为 PD 底面 ABCD，所以 PDAD又底面 ABCD 为正方形，所以 ADDC，因此 AD 底面 PDC 因为 ADBC，AD 平面 PBC，所以 AD平面 PBC 由已知得lAD因此l 平面 PDC（2）以 D 为坐标原点，DA 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz则(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1)DCBP，(0,1,0)DC，(1,1,1)PB 由（1）可设(,0,1)Q a，则(,
11、0,1)DQa设(,)x y zn是平面QCD 的法向量，则0,0,DQDC nn即0,0.axzy可取(1,0,)a n所以21cos,|3 1PBaPBPBa nnn设 PB 与平面QCD 所成角为，则223|1|32sin13311aaaa因为23261313aa，当且仅当1a 时等号成立，所以 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值为6321解：()f x 的定义域为(0,)，11()exfxax（1）当ea 时，()eln1xf xx，(1)e1f ，曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为(e1)(e1)(1)yx，即(e1)2yx直线(e1)2yx在 x 轴，y 轴
12、上的截距分别为2e1，2 因此所求三角形的面积为2e1（2）当 01a 时，(1)ln1faa 当1a 时，1()elnxf xx，11()exfxx当(0,1)x时，()0fx；当(1,)x 时，()0fx所以当1x 时，()f x 取得最小值，最小值为(1)1f，从而()1f x 当1a 时，11()elnlneln1xxf xaxax 综上，a 的取值范围是1,)22解：（1）由题设得22411ab，22212aba，解得26a，23b 所以 C 的方程为22163xy（2）设11(,)M x y，22(,)N x y若直线 MN 与 x 轴不垂直，设直线 MN 的方程为 ykxm，代入
13、22163xy 得222(12)4260kxkmxm于是2121222426,1212kmmxxx xkk 由 AMAN知0AM AN，故1212(2)(2)(1)(1)0 xxyy，可得221212(1)(2)()(1)40kx xkmkxxm将代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212mkmkkmkmkk整理得(231)(21)0kmkm因为(2,1)A不在直线 MN 上，所以 210km，故 2310km，1k 于是 MN 的方程为21()(1)33yk xk.所以直线 MN 过点21(,)33P.若直线 MN 与 x 轴垂直，可得11(,)N xy.由0AM AN得1111(2)(2)(1)(1)0 xxyy.又2211163xy，可得2113840 xx.解得12x（舍去），123x.此时直线 MN 过点21(,)33P.令 Q 为 AP 的中点，即4 1(,)3 3Q.若 D 与 P 不重合，则由题设知 AP 是 RtADP的斜边，故12 2|23DQAP.若 D 与 P 重合，则1|2DQAP.综上，存在点4 1(,)3 3Q，使得|DQ 为定值.