1、专题四 第二讲一、选择题1(2018宣城调研)已知m, n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是()A若m， m， n，则mnB若， m， n，则mnC若， ， m，则mD若， m，则m解析由m，m，n，利用线面平行的判定与性质定理可得mn，A正确；由，m，n，利用线面、面面垂直的性质定理可得mn，B正确；由，m，利用线面、面面垂直的性质定理可得m，C正确；由，m，则m或m，可得D不正确故选D.答案D2(2017广州综合测试二)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为()A.B.C. D.解
2、析设AA1的中点为N，则MNBC1，连接MN，NB，BC1，MC1，则梯形MNBC1就是过C1，B，M正方体的截面，其面积为(2)，故选C.答案C3(2018甘肃省兰州市二模)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C，C1D与底面ABCD所成的角分别为60和45，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析如图所示：B1B平面ABCD，BCB1是B1C与底面所成角，BCB160.C1C底面ABCD，CDC1是C1D与底面所成的角，CDC145.连接A1D，A1C1，则A1DB1C.A1DC1或其补角为异面直线B1C与C1D所成的角不妨设BC1，则CB1DA12，BB
3、1CC1CD，C1D，A1C12.在等腰A1C1D中，cosA1DC1.故选A.答案A4(2018乌鲁木齐三模)如图，在多面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，ACGF，且ABC是边长为2的正三角形，四边形DEFG是边长为4的正方形，M，N分别为AD，BE的中点，则MN等于()A. B4C. D5解析如图，取BD的中点P，连接MP，NP，则MPAB，NPDE，MPAB1，NPDE2.又ACGF，ACNP.CAB60，MPN120，MN，故选A.答案A5(2018梅州质检)如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，AB1，M，N分别在AD1，B
4、C上移动，且始终保持MN平面DCC1D1，设BNx，MNy，则函数yf(x)的图象大致是()解析过M作MQDD1，交AD于点Q，连接QN.MN平面DCC1D1，MQ平面DCC1D1，MNMQM，平面MNQ平面DCC1D1，又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于直线QN和直线DC，NQDC，可得QNCDAB1，AQBNx，2，MQ2x.在RtMQN中，MN2MQ2QN2，即y24x21，y24x21 (0x1)，函数yf(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分故选C.答案C6(2018广东肇庆一模)在四棱锥SABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是SA，BD上的点若，则
5、MN面SCD；若，则MN面SCB；若面SDA面ABCD，且面SDB面ABCD，则SD面ABCD.其中正确的命题个数是()A0B1 C2D3解析在中，过M作MHSD，交AD于H，连结HN，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是SA，BD上的点，NHCD，MHMNM，SDDCD，MH，MN平面MNH，SD，CD平面SDC，平面MNH平面SDC，MN平面MNH，MN面SCD，故正确；在中，过M作MHSD，交AD于H，连结HN，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是SA，BD上的点，NHCD，MHMNM，SDDCD，MH，MN平面MNH，SD，CD平面SDC
6、，平面MNH平面SDC，MN平面MNH，MN面SCD，故正确；在中，面SDA面ABCD，且面SDB面ABCD，平面SDA平面SDBSD，SD面ABCD，故正确故选D.答案D二、填空题7(2018北京市海淀区适应性考试)正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号)ACBE；B1E平面ABCD；三棱锥EABC的体积为定值；直线B1E直线BC1.解析因AC平面BDD1B1，故正确；因B1D1平面ABCD，故正确；记正方体的体积为V，则VEABCV，为定值，故正确；B1E与BC1不垂直，故错误答案8(2018甘肃肃南一中月考)表面积为60的球面上有四
7、点S，A，B，C，且ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB平面ABC，则棱锥SABC体积的最大值为_解析表面积为60的球，球的半径为，设ABC的中心为D，则OD，所以DA2，则AB6棱锥SABC的底面积S629为定值，欲使其体积最大，应有S到平面ABC的距离取最大值，又平面SAB平面ABC，S在平面ABC上的射影落在直线AB上，而SO，点D到直线AB的距离为，则S到平面ABC的距离的最大值为3，V9327.故答案为27.答案279(2018江西省重点中学协作体联考)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中， AA16，AB3，AD8, 点M是棱AD的中点，N在棱AA1上，
8、且满足AN2NA1，P是侧面四边形ADD1A1内一动点(含边界)，若C1P平面CMN，则线段C1P长度的最小值是_解析取A1D1的中点Q，过点Q在平面ADD1A1内作MN的平行线交DD1于E，则易知平面C1QE平面CMN，在C1QE中作C1PQE，则C1P为所求答案10(2018安徽江淮十校三模)如图，矩形ABCD中，AB2BC4，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻转成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中：|BM|是定值；点M在某个球面上运动；存在某个位置，使DEA1C；存在某个位置，使MB平面A1DE.其中正确的命题是_解析取A1D的中点N，连结MN，EN，则MN为A1
9、CD的中位线，MN綊CD，E是矩形ABCD的边AB的中点，BE綊CD，MN綊BE，四边形MNEB是平行四边形，BM綊EN，BM为定值，M在以B为球心，以BM为半径的球面上，故正确，正确；又NE平面A1DE，BM平面A1DE，BM平面A1DE，故正确；由勾股定理可得DECE2，DE2CE2CD2，DECE，若DEA1C，又A1CCEC，DE平面A1CE，又A1E平面A1CE，DEA1E，而这与AED45矛盾故错误故答案为.答案三、解答题11(2017课标)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)证明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD.若E为棱BD上与D不重合的点
10、，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比解析(1)证明：取AC中点O，连OD，OBADCD，O为AC中点，ACOD，又ABC是等边三角形，ACOB，又OBODO，AC平面OBD，BD平面OBD，ACBD.(2)设ADCD2，AC2，ABCD2，又ABBD，BD2，ABDCBD，AEEC，又AEEC，AC2，AEEC2，在ABD中，设DEx，根据余弦定理cosADB解得x，点E是BD的中点，则VDACEVBACE，1.12(2018云南省师范大学附属中学月考)如图，矩形ABDE(AE6，DE5)，被截去一角(即BBC)，AB3, ABC135，平面PAE平面ABCDE, PAPE1
11、0.(1)求五棱锥PABCDE的体积的最大值；(2)在(1)的情况下，证明： BCPB.(1)解为AB3，ABC135，所以BBC45， BBABAB532，所以截去的BBC是等腰直角三角形，所以SABCDESABDESBBC652228.如图，过P作POAE，垂足为O，因为平面PAE平面ABCDE，平面PAE平面ABCDEAE，PO平面PAE，所以PO平面ABCDE, PO为五棱锥PABCDE的高在平面PAE内， PAPE10AE6, P在以A，E为焦点，长轴长为10的椭圆上，由椭圆的简单的几何性质知，点P为短轴端点时， P到AE的距离最大，此时PAPE5, OAOE3，所以POmax4，所以maxSABCDEPOmax284.(2)证明连接OB，如图，由(1)知， OAAB3，故OAB是等腰直角三角形，所以ABO45，所以OBCABCABO1354590，即BCBO.由于PO平面ABCDE，所以POBC，而POBOO，PO，BO平面POB，所以BC平面POB，又PB面POB，所以BCPB.