1、2016-2017学年辽宁省朝阳市凌源市金鼎中学高二（上）期初数学试卷（文科）一、选择题：本题共12道小题，每小题5分，满分60分.1设集合A=x|x10，集合B=x|x3，则AB=（）A（1，3）B（1，3C1，3）D1，32在ABC中，a=2，b=，A=，则B=（）A30B30或150C60D60或1203在区间0，2上随机取一个实数x，则事件“3x10”发生的概率为（）ABCD4已知f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）等于（）A2x+1B2x1C2x3D2x+75从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数
2、；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 上述事件中，是对立事件的是（）ABCD6将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）Ay=f（x）是奇函数By=f（x）的周期为Cy=f（x）的图象关于直线x=对称Dy=f（x）的图象关于点（，0）对称7若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）ABCD8三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）AacbBabcCbacDbca9已知=（1，sin），=（cos2，2sin1），（，）
3、若=，则tan（+）的值为（）ABCD10程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A0B2C4D1411某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16+8B8+8C16+16D8+1612如图，在ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）ABCD二、填空题：本题共4道小题，每小题5分，满分20分.13已知平面向量，且，则=14已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超
4、过2的概率是15由直线2x+y4=0上任意一点向圆（x+1）2+（y1）2=1引切线，则切线长的最小值为16在ABC中，若sin2A=sinBsinC且（b+c+a）（b+ca）=3bc，则该三角形的形状是三、解答题：本题共6道小题，第17题10分，其余每小题10分，满分70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）一个小商店从某食品有限公司购进10袋白糖，称池内各袋白糖的重量（单位：g），如茎叶图所示，其中有一个数据被污损（）若已知这些白糖重量的平均数为497g，求污损处的数据a；（）现从重量不低于498g的所购各袋白糖中随机抽取2袋，求重量是508g的那袋被抽中的概率18（
5、12分）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合；（3）求函数f（x）的单调递增区间19（12分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点 求证：（1）PA平面BDE；（2）BD平面PAC20（12分）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T其范围为0，10，分别有五个级别：T0，2）畅通；T2，4）基本畅通； T4，6）轻度拥堵； T6，8）中度拥堵；T8，10严重拥堵，晚高峰时段（T2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分直方
6、图如图所示（）请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个？（）用分层抽样的方法从交通指数在4，6），6，8），8，l0的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（）从（）中抽出的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率21（12分）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b，（1）求角A的大小，（2）若a=6，b+c=8，求ABC的面积22（12分）已知圆C：x2+y22x7=0（1）过点P（3，4）且被圆C截得的弦长为4的弦所在的直线方程（2）是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB的中点D到原点O的距离恰好等
7、于圆C的半径，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由2016-2017学年辽宁省朝阳市凌源市金鼎中学高二（上）期初数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12道小题，每小题5分，满分60分.1设集合A=x|x10，集合B=x|x3，则AB=（）A（1，3）B（1，3C1，3）D1，3【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式解得：x1，即A=（1，+），B=（，3，AB=（1，3故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2在ABC中，a=2，b=，A=，则B=（）A30B30或150C60D
8、60或120【考点】正弦定理【分析】由已知利用正弦定理可求sinB的值，结合大边对大角可得B为锐角，从而得解【解答】解：在ABC中，a=2，b=，A=，由正弦定理可得：sinB=，又ab，B为锐角，B=，即B=30故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题3在区间0，2上随机取一个实数x，则事件“3x10”发生的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】利用几何概型求概率先解不等式，再利用解得的区间长度与区间0，2的长度求比值即得【解答】解：由几何概型可知，事件“3x10”可得x，在区间0，2上随机取一个实数x，则事件“3x10”发生的
9、概率为：P（3x10）=故选：D【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型4已知f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）等于（）A2x+1B2x1C2x3D2x+7【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】先根据f（x）的解析式求出g（x+2）的解析式，再用x代替g（x+2）中的x+2，即可得到g（x）的解析式【解答】解：f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），g（x+2）=2x+3=2（x+2）1，g（x）=2x+3=2x1故选B【点评】本题主要考查了由f（x
10、）与一次函数的复合函数的解析式求f（x）的解析式，关键是在g（x+2）中凑出x+2，再用x代替x+2即可5从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数 上述事件中，是对立事件的是（）ABCD【考点】互斥事件与对立事件【分析】分析四组事件，中表示的是同一个事件，前者包含后者，中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件【解答】解：在恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，在至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是
11、奇数，在至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，在至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，只有第三所包含的事件是对立事件故选：C【点评】分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件6将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）Ay=f（x）是奇函数By=f（x）的周期为Cy=f（x）的图象关于直线x=对称Dy=f（x）的图象关于点（，0）对称【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析
12、】利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos=cos（）=0即可得到正确选项【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx即f（x）=cosxf（x）是周期为2的偶函数，选项A，B错误；cos=cos（）=0，y=f（x）的图象关于点（，0）、（，0）成中心对称故选：D【点评】本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题7若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）ABCD【考点】互斥事件的概率加法公式【分析】设“甲或乙
13、被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，先求出，再利用P（A）=1P（）即可得出【解答】解：设“甲或乙被录用”为事件A，则其对立事件表示“甲乙两人都没有被录取”，则=因此P（A）=1P（）=1=故选D【点评】熟练掌握互为对立事件的概率之间的关系是解题的关键8三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）AacbBabcCbacDbca【考点】指数函数单调性的应用【分析】将a=0.32，c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x，y=2x之间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将b=log20.3，抽象为对数函数y=log2x，利用其图象可知小
14、于零最后三者得到结论【解答】解：由对数函数的性质可知：b=log20.30，由指数函数的性质可知：0a1，c1bac故选C【点评】本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质9已知=（1，sin），=（cos2，2sin1），（，）若=，则tan（+）的值为（）ABCD【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；两角和与差的正切函数【分析】由已知向量的坐标以及向量的数量积得到关于的三角函数的等式，先求sin，再求解tan然后利用两角和的正切函数求解即可【解答】解： =（1，sin），=（cos2，2sin1），（，）若=，=cos2sin+2sin2=1sin；解得s
15、in=，cos=tan=tan（+）=故选：D【点评】本题考查了向量的数量积的坐标运算以及三角函数的变形，考查计算能力10程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A0B2C4D14【考点】程序框图【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论【解答】解：由a=14，b=18，ab，则b变为1814=4，由ab，则a变为144=10，由ab，则a变为104=6，由ab，则a变为64=2，由ab，则b变为42=2，由a=b=2，则输出的a=2故选：B【点评】本题考查算法和程
16、序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16+8B8+8C16+16D8+16【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，由此求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，半圆柱的体积为：224=8；长方体的长宽高分别为4，2，2，长方体的体积为422=16，该几何体的体积为V=16+8故选：A【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据几何体的三视图得出该几
17、何体的结构特征，是基础题目12如图，在ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，2AB=BD，BC=2BD，则sinC的值为（）ABCD【考点】余弦定理【分析】设BD=a，则由题意可得：BC=2a，AB=AD=a，利用余弦定理表示出cosA，把三边长代入求出cosA的值，进而确定出sinA的值，由AB，BC，以及sinA的值，利用正弦定理求出sinC的值即可【解答】解：设BD=a，则由题意可得：BC=2a，AB=AD=a，在ABD中，由余弦定理得：cosA=，sinA=，在ABC中，由正弦定理得， =，即=，解得：sinC=，故选：D【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关
18、系，熟练掌握定理是解本题的关键二、填空题：本题共4道小题，每小题5分，满分20分.13已知平面向量，且，则=（4，8）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的坐标运算【分析】通过向量的平行，求出m，然后直接求解即可【解答】解：因为平面向量，且，所以1m（2）2=0，m=4，所以=2（1，2）+3（2，4）=（4，8）故答案为：（4，8）【点评】本题考查向量的平行的充要条件，向量的加减法的基本运算，考查计算能力14已知一个三角形的三边长分别是5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是1【考点】几何概型【分析】分别求出对
19、应事件对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：三角形的三边长分别是5，5，6，三角形的高AD=4，则三角形ABC的面积S=，则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2，对应的区域为图中阴影部分，三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为2，则阴影部分的面积为S1=12=122，则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为，故答案为：1【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键15由直线2x+y4=0上任意一点向圆（x+1）2+（y1）2=1引切线，则切线长的最小值为2【考点】圆的切线方程【分析】利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结论【
20、解答】解：圆心坐标C（1，1），半径R=1，要使切线长|DA|最小，则只需要点D到圆心的距离最小，此时最小值为圆心C到直线的距离d=，此时|DA|=，故答案为：2【点评】本题考查切线长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用，利用数形结合是解决本题的关键16在ABC中，若sin2A=sinBsinC且（b+c+a）（b+ca）=3bc，则该三角形的形状是等边三角形【考点】三角形的形状判断；余弦定理【分析】由条件利用余弦定理可得cosA=，可得A=60再根据sinBsinC=sin2A，可得bc=a2，即（bc）2=0，即b=c，综合可得结论【解答】解：在AB
21、C中，（b+c+a）（b+ca）=3bc，化简可得：b2+c2a2=bc，由余弦定理可得cosA=，A=60再根据sinBsinC=sin2A，可得bc=a2，b2+c2=a2+bc=2bc，即（bc）2=0，b=c综上可得，ABC为等边三角形，故答案为：等边三角形【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了转化思想，属于基础题三、解答题：本题共6道小题，第17题10分，其余每小题10分，满分70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）（2015聊城二模）一个小商店从某食品有限公司购进10袋白糖，称池内各袋白糖的重量（单位：g），如茎叶图所示，其中有一个数据被污损（）
22、若已知这些白糖重量的平均数为497g，求污损处的数据a；（）现从重量不低于498g的所购各袋白糖中随机抽取2袋，求重量是508g的那袋被抽中的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图【分析】（）根据茎叶图和平均数即可求出a的值；（）设“重量是508g的那袋被抽中”为事件A，一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率计算即可【解答】解：（）因为这些这些白糖重量的平均数为497g，所以= 488+489+492+（490+a）+489+499+502+504+508=497，解得a=7，所以污损处的数据是7；（）设“重量是508g的那袋被抽中”为事件A，从重量不低
23、于498g的所购各袋白糖中随机抽取2袋，有498，499，（498，502，498，504，498，508，499，502，499，504，499，508，502，504，502，508，504，508，共10个基本事件其中事件A包含4个基本事件，498，508，499，508，502，508，504，508，P（A）=，所以重量是508g的那袋被抽中的概率【点评】本题考查了茎叶图的知识，和古典概型概率的问题，属于基础题18（12分）（2015秋广元校级期末）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合；（3）求函数f（x）的单调递增区间【考
24、点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域【分析】（1）先运用三角函数的两角和与差的正弦公式及二倍角公式将函数化简为y=Asin（wx+）+b的形式，根据T=可求出最小正周期；（2）因为f（x）取最大值时应该有sin（2x）=1成立，即2x=2k+，kZ，可得答案（3）将2x看做一个整体，根据正弦函数的性质可得，进而求出x的范围，得到答案【解答】解：（1）f（x）=，即函数f（x）的最小正周期为（2）当即时，f（x）取最大值2（7分）因此f（x）取最大值时x的集合是（8分）（3）f（x）=再由，解得所以y=f（x）的单调增区间为（12分）【点评
25、】本题主要考查三角函数最小正周期的求法、正弦函数的定义域和值域和单调区间的求法，一般都是将函数化简为y=Asin（wx+）的形式，再根据三角函数的图象和性质解题19（12分）（2016春哈尔滨校级期末）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点 求证：（1）PA平面BDE；（2）BD平面PAC【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）连接OE，根据三角形中位线定理，可得PAEO，进而根据线面平行的判定定理，得到PA平面BDE（2）根据线面垂直的定义，可由PO底面ABCD得到BDPO，结合四边形ABCD是正方形及线面垂直的判定定理可得BD平面
26、PAC【解答】证明（1）连接OE，在CAP中，CO=OA，CE=EP，PAEO，又PA平面BDE，EO平面BDE，PA平面BDE（2）PO底面ABCD，BD平面ABCD，BDPO又四边形ABCD是正方形，BDACACPO=O，AC，PO平面PACBD平面PAC【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间线面关系的判定定理是解答的关键20（12分）（2014仁寿县模拟）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T其范围为0，10，分别有五个级别：T0，2）畅通；T2，4）基本畅通； T4，6）轻度拥堵； T6，8）中度拥堵；
27、T8，10严重拥堵，晚高峰时段（T2），从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分直方图如图所示（）请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个？（）用分层抽样的方法从交通指数在4，6），6，8），8，l0的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（）从（）中抽出的6个路段中任取2个，求至少一个路段为轻度拥堵的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图【分析】（）由频率分布直方图可知底高=频率，频数20=个数，由频率分布直方图很容易知道轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵的频率分别是0.3，0.45，0.15，（）根据分层抽样，交
28、通指数在4，10）的路段共18个，抽取6个，求出抽取的比值，继而求得路段个数（）考查古典概型，一一列举所有满足条件的基本事件，利用概率公式求得【解答】解：（）补全直方图如图，由直方图：（0.1+0.2）120=6个，（0.25+0.2）120=9个，（0.1+0.05）120=3个，这20个路段种轻度拥堵，中度拥堵，严重拥堵的路段分别是6个，9个，3个（）由（）知：拥堵路段共有6+9+3=18个，按分层抽样，从18个路段选出6个，依次抽取的三个级别路段的个数分别为=2， =3， =1，即从交通指数在4，6），6，8），8，10的路段中分别抽取的个数为2，3，1（）记选出的2个轻度拥堵的路段为A
29、1，A2，选出的3个中度拥堵的路段为B1，B2，B3，选出的重度拥堵的路段为C1，则从6个路段选取的2个路段的可能的基本情况有：共15种情况其中至少有一个轻度拥堵的有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1）共9种可能所选2个路段中至少一个轻度拥堵的概率是【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用、分层抽样和古典概型的概率的求法，属于基础题21（12分）（2016秋凌源市月考）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b，（1）求角A的大小，（2）若a=6，b+c=
30、8，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，求出sinA的值，即可确定出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入利用完全平方公式化简，再将b+c的值代入求出bc的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积【解答】解：（1）将2asinB=b，利用正弦定理化简得：2sinAsinB=sinB，sinB0，sinA=，A为锐角，A=30；（2）a=6，A=30，b+c=8，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即36=b2+c2bc=（b+c）2（2+）bc=64（2+）bc，整理得：bc=28（2）=5628，则SABC=
31、bcsinA=147【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键22（12分）（2015秋冀州市校级期末）已知圆C：x2+y22x7=0（1）过点P（3，4）且被圆C截得的弦长为4的弦所在的直线方程（2）是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB的中点D到原点O的距离恰好等于圆C的半径，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）由圆的方程求出圆心的坐标及半径，由直线被圆截得的弦长，利用垂径定理得到弦的一半，弦心距及圆的半径构成直角三角形，再根据勾股定理求出弦心距，分两种情况考虑：若此弦所在直线方程的斜率不存在
32、；若斜率存在，设出斜率为k，由直线过P点，由P的坐标及设出的k表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于求出的弦心距列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而得到所求直线的方程（2）求出CD的方程，可得D的坐标，利用D到原点O的距离恰好等于圆C的半径，求出b，再利用b的范围，即可求出直线l的方程【解答】解：（1）由x2+y22x7=0得：（x1）2+y2=8（2分）当斜率存在时，设直线方程为y4=k（x3），即kxy3k+4=0弦心距，解得直线方程为y4=（x3），即3x4y+7=0当斜率不存在时，直线方程为x=3，符合题意综上得：所求的直线方程为3x4y+7=0或x=3（7分）（2）设直线l方程为y=x+b，即xy+b=0在圆C中，D为弦AB的中点，CDAB，kCD=1，CD：y=x+1由，得D的坐标为（10分）D到原点O的距离恰好等于圆C的半径，=2，解得（14分）直线l与圆C相交于A、B，C到直线l的距离，5b3（16分）b=，则直线l的方程为xy=0（17分）【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及直线的斜截式方程，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相交时，常常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，注意合理地进行等价转化
