1、第5讲 双曲线一、选择题1设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()A4 B3 C2 D1解析双曲线1的渐近线方程为3xay0与已知方程比较系数得a2.答案C2已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为 ()A.1 B.1C.1 D.1解析不妨设a0，b0，c.据题意，2c10，c5.双曲线的渐近线方程为yx，且P(2,1)在C的渐近线上，1.由解得b25，a220，故正确选项为A.答案A3已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为 ()A2 B C1 D0解析设点P(x，y)，其中x1.依题意得A1(1,0)
2、，F2(2,0)，则有x21，y23(x21)，(1x，y)(2x，y)(x1)(x2)y2x23(x21)x24x2x542，其中x1.因此，当x1时，取得最小值2，选A.答案A4过双曲线1(a0，b0)的左焦点F(c,0)(c0)作圆x2y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若2，则双曲线的离心率为 ()A. B. C. D.解析设双曲线的右焦点为A，则，故2，即OEAP.所以E是PF的中点，所以AP2OE2a.所以PF3a.在RtAPF中，a2(3a)2(2c)2，即10a24c2，所以e2，即离心率为e ，选C.答案C5已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该
3、双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ()A. B4 C3 D5解析易求得抛物线y212x的焦点为(3,0)，故双曲线1的右焦点为(3,0)，即c3，故324b2，b25，双曲线的渐近线方程为yx，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为.答案A6如图，已知点P为双曲线1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为PF1F2的内心，若SIPF1SIPF2SIF1F2成立，则的值为()A. B. C. D.解析 根据SIPF1SIPF2SIF1F2，即|PF1|PF2|F1F2|，即2a2c，即.答案 B二、填空题7双曲线1的右焦点到渐近线的距离是_解析 由题意得：双曲线1的渐近线为yx.焦点(3,
4、0)到直线yx的距离为.答案 8在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_解析由题意得m0，a，b.c，由e，得5，解得m2.答案29如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点若AB4，BC3，则此双曲线的标准方程为_解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题意得B(2,0)，C(2,3)，解得双曲线的标准方程为x21.答案x2110如图，双曲线1(a，b0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e_；(2)菱形
5、F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值_.解析(1)由题意可得a bc，a43a2c2c40，e43e210，e2，e.(2)设sin ，cos ，e2.答案(1)(2)三、解答题11中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值解(1)由已知：c，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，则解得a7，m3.b6，n2.椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，
6、P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，cosF1PF2.12已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)求F1MF2的面积(1)解e，设双曲线方程为x2y2.又双曲线过(4，)点，16106，双曲线方程为x2y26.(2)证明法一由(1)知ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2，又点(3，m)在双曲线上，m23，kMF1kMF21，MF1MF2，0.法二(32，m)，(
7、23，m)，(32)(32)m23m2.M在双曲线上，9m26，m23，0.(3)解在F1MF2中，|F1F2|4，且|m|，SF1MF2|F1F2|m|46.13已知双曲线1(a0，b0)的两个焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1PF2，|PF1|8，|PF2|6.(1)求双曲线的方程；(2)设过双曲线左焦点F1的直线与双曲线的两渐近线交于A，B两点，且2，求此直线方程解(1)由题意知，在RtPF1F2中，|F1F2|，即2c10，所以c5.由椭圆的定义，知2a|PF1|PF2|862，即a1.所以b2c2a224，故双曲线的方程为x21.(2)左焦点为F1(5,0)，两渐近线方程
8、为y2x.由题意得过左焦点的该直线的斜率存在设过左焦点的直线方程为yk(x5)，则与两渐近线的交点为和.由2，得2或者2，解得k.故直线方程为y(x5)14 P(x0，y0)(x0a)是双曲线E：1(a0，b0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求的值解(1)由点P(x0，y0)(x0a)在双曲线1上，有1.由题意有，可得a25b2，c2a2b26b2，e.(2)联立得4x210cx35b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则设(x3，y3)，即又C为双曲线上一点，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2.化简得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x5y5b2，x5y5b2.由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2，式可化为240，解得0或4.