1、46不等式选讲1(2014重庆改编)若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围解设y|2x1|x2|当x5；当2x；当x时，y3x1，故函数y|2x1|x2|的最小值为.因为不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故a的取值范围为1，2(2013课标全国)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围解(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示，由图象可知，当且
2、仅当x(0,2)时，y0，原不等式的解集是x|0x1，则，f(x)|2x1|2xa|当x时，f(x)a1，即a1x3在x上恒成立a13，即a，a的取值范围为.3(2013福建)设不等式|x2|a(aN*)的解集为A，且A，A，(1)求a的值；(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值解(1)因为A，且A，所以a，且a，解得0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解(1)由，得ab2，且当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.5设函数f(
3、x)|xa|3x，其中a0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值解(1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化为不等式组或即或因为a0，所以不等式组的解集为x|x由题设可得1，故a2.6若3x4y2，试求x2y2的最小值解由柯西不等式(3242)(x2y2)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.不等式中当且仅当时等号成立，x2y2取得最小值，由方程组解得因此当x，y时，x2y2取得最小值，最小值为.7(201
4、3课标全国)设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.8(2014课标全国)设函数f(x)|xa|(a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)0，有f(x)|xa|a2.所以f(x)2.(2)解f(3)|3a|.当a3时，f(3)a，由f(3)5，得3a.当0a3时，f(3)6a，由f(3)5，得|x
5、1|成立，求实数x的取值范围解由柯西不等式知12()2()2a2(b)2(c)2(1abc)2即6(a22b23c2) (a2b3c)2又a22b23c26，66(a2b3c)2，6a2b3c6，存在实数a，b，c，使得不等式a2b3c|x1|成立|x1|6，7x5.x的取值范围是x|7x510(2014福建)已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.(1)解因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当1x2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a3.(2)证明由(1)知pqr3，又因为p
6、，q，r是正实数，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23.11已知f(x)|x1|x1|，不等式f(x)4的解集为M.(1)求M；(2)当a，bM时，证明：2|ab|4ab|.(1)解f(x)|x1|x1|当x1时，由2x4，得2x1；当1x1时，f(x)21时，由2x4，得1x2.综上可得2x2，即M(2,2)(2)证明a，bM，即2a2，2b2，4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)0，4(ab)2(4ab)2，2|ab|4ab|.12设a，b，c均为正实数，试证明不等式，并说明等号成立的条件解因为a，b，c均为正实数，所以，当且仅当ab时等号成立；，当且仅当bc时等号成立；，当且仅当ac时等号成立三个不等式相加，得，当且仅当abc时等号成立