1、福建省福州市2021届高三数学高考考前模拟卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知全集 U=AB=xN|-1x8 ， A（UB）=1,3,5,7 ，则 B= （ ） A.-1,0,2,4,6,8B.2,4,6C.2,4,6,8D.0,2,4,6,82.已知复数 z=1+2i （ i 为虚数单位），设 z- 是 z 的共轭复数，则 zz-= （ ） A.2B.3C.2D.33.设 aR ，则“ a2 ”是“ a2-3a+20 ”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(x+2x)(x-1)6 的展开式中，含 x3 项的系数为（ ）
2、 A.45B.-45C.15D.-15 5.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准震级M用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示里氏震级的计算公式为： M=lgAmaxA0 （其中常数 A0 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅； Amax 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）地震的能量E是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量 E=104.8101.5M （单位：焦耳），其中M为地震震级已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的 103 倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的
3、最大振幅为A ， 则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（ ） A.2AB.10AC.100AD.1000A6.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为（ ） A.378B.306C.268D.1987.已知函数 f(x)=sin2x+sin(2x+3)+1 ，则（ ） A.f(3+x)=f(3-x)B.(-12,0) 是函数 f(x) 的一个对称中心C.任取方程 f(x)=1 的两个根 x1 ， x2 ，则 |x1-x2| 是 的整数倍D
4、.对于任意的 x1,x2,x30,4 ， f(x1)+f(x2)f(x3) 恒成立8.已知 F1 、 F2 是双曲线 E ： x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左、右焦点，点 M 是双曲线 E 上的任意一点（不是顶点），过 F1 作 F1MF2 角平分线的垂线，垂足为 N ， O 是坐标原点若 |ON|=|F1F2|4 ，则双曲线 E 的渐近线方程为（ ） A.y=33xB.y=22xC.y=2xD.y=3x二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.某学校为了促进学生德智体美劳全面发展，制订了一套量化评价标准.下表是该校甲乙两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分(得分越高
5、，说明该项教育越好).下列说法正确的是（）德智体美劳甲班9.59.599.58乙班9.599.598.5A.甲班五项得分的极差为1.5B.甲班五项得分的平均数高于乙班五项得分的平均数C.甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数D.甲班五项得分的方差小于乙班五项得分的方差10.在正方体 AC1 中， E 是棱 CC1 的中点， F 是侧面 BCC1B1 内的动点，且 A1F 与平面 D1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是（ ） A.点 F 的轨迹是一条线段B.A1F 与 BE 是异面直线C.A1F 与 D1E 不可能平行D.三棱锥 F-ABD1 的体积为定值11.已知抛物线 C:y
6、2=mx(m0) 的焦点为 F(4,0) ，直线 l 经过点 F 交 C 于A ， B 两点，交 y 轴于点 P ，若 PB=2BF ，则（ ） A.m=8B.点 B 的坐标为 (83,463)C.|AB|=503D.弦 AB 的中点到 y 轴的距离为 13312.已知函数 f(x)=esinx-ecosx ，其中 e 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（ ） A.函数 f(x) 的周期为 2B.f(x) 在区间 (0,2) 上是减函数 C.f(x+4) 是奇函数D.f(x) 在区间 (2,) 上有且仅有一个极值点 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线 f(x)=e-
7、2x+x2 在点（0，f（0）处的切线方程为_. 14.抛掷3个骰子，事件 A 为“三个骰子向上的点数互不相同”，事件 B 为“其中恰好有一个骰子向上的点数为2”，则 P(A|B)= _. 15.已知三棱锥 V-ABC ， VA=VC=5 ， AB=BC=1 ， AC=2 ，二面角 V-AC-B 的余弦值为 -13 ，则该三棱锥的外接球的体积为_. 16.已知 ABC 为等腰直角三角形， AB=AC=2 ，圆 M 为 ABC 的外接圆， ME=12(MA+MB) ，则 MECE= _；若P为圆M上的动点，则 PMPE 的最大值为_ 四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在 b1+b3=a
8、2 ， a4=b4 ， S5=-25 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 k 存在，求 k 的值；若 k 不存在，说明理由设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， bn 是等比数列， ， b1=a5,b2=3,b5=-81 ，是否存在 k ，使得 SkSk+1 且 Sk+1Sk+2 ？ 18.如图，在平面四边形ABCD中， BC=1,ABC=90,BCD=60 ， BAD=75 （1）若 CBD=30 ，求三角形ABD的面积； （2）若 AD=6-22， 求 CBD 的大小 19.如图，在五面体 ABCDEF 中，底面四边形 ABCD 为正方形，面 ABFE 面 CDEF=
9、EF ， ADED,CDEA （1）求证： AB/EF ； （2）若 EF=ED=1,CD=3 ，求平面 ADE 与平面 BCF 所成的锐二面角的余弦值 20.2021年，我国新型冠状病毒肺炎疫情已经得到初步控制，抗疫工作取得阶段性胜利某市号召市民接种疫苗，提出全民“应种尽种”的口号，疫苗成了重要的防疫物资某疫苗生产厂不断加大投入，高速生产，现对其某月内连续9天的日生产量yi（单位：十万支，i1，2，9）数据作了初步统计，得到如图所示的散点图及一些统计量的数值：yzi=19tiyii=19tizi2.7219139.091095注：图中日期代码19分别对应这连续9天的时间：表中zi=eyi,i
10、=1,2,9，z=19i=19zi（1）从这9天中随机选取3天，求这3天中恰有2天的日生产量不高于三十万支的概率；（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线y=ln(bt+a)的附近，求y关于t的方程y=ln(bt+a)，并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万支参考公式：回归方程v=bu+a中，斜率和截距的最小二乘估计公式为：b=i=1n(ui-u)(vi-v)i=1n(ui-u)2=i=1nuivi-nuvi=1nui2-nu2，a=v-bu参考数据：e454.621.已知函数 f(x)=ex-ax+sinx-1 . （1）当 a=2 时，求函数 f(x) 的单调区间； （2）当 1a0)
11、于A ， B 两点， AB 的垂直平分线与椭圆交于 C ， D 两点，点 N(1,y0) 是线段 AB 的中点 （1）若 y0=3 ，求直线 AB 的方程以及 的取值范围； （2）不管 怎么变化，都有A ， B ， C ， D 四点共圆，求 y0 的取值范围 答案解析部分一、单选题1.已知全集 U=AB=xN|-1x8 ， A（UB）=1,3,5,7 ，则 B= （ ） A.-1,0,2,4,6,8B.2,4,6C.2,4,6,8D.0,2,4,6,8【答案】 D 【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】【解答】 U=AB=0,1,2,3,4,5,6,7,8 ， A（UB）=1,3,5,7 ，
12、 因此， B=0,2,4,6,8 。故答案为：D. 【分析】利用已知条件结合并集和交集、补集的运算法则，从而求出集合B。2.已知复数 z=1+2i （ i 为虚数单位），设 z- 是 z 的共轭复数，则 zz-= （ ） A.2B.3C.2D.3【答案】 D 【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】由已知 z=1-2i ，所以 zz=(1+2i)(1-2i)=12+(2)2=3 。 故答案为：D 【分析】利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数，再利用复数的乘法运算法则，从而求出zz的值。3.设 aR ，则“ a2 ”是“ a2-3a+20 ”的（ ） A.充
13、分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】解：解不等式 a2-3a+20 得 1a2 ， 因为 1,2 是 (-,2 的真子集，所以“ a2 ”是“ a2-3a+20 ”的必要不充分条件。故答案为：B. 【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ a2 ”是“ a2-3a+20 ”的必要不充分条件。4.(x+2x)(x-1)6 的展开式中，含 x3 项的系数为（ ） A.45B.-45C.15D.-15 【答案】 A 【考点】二项式系数的性质 【解析】【解答】由二项式定理 (
14、x-1)6 展开式中有 C62x4 和 C64x2 ， 所以 (x+2x)(x-1)6 的展开式中含 x3 项的系数为 C64+C622=45 .故答案为：: A 【分析】 先求出(x-1)6 的展开式的通项公式，进而可以求出含x3的项，由此即可求解.5.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准震级M用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示里氏震级的计算公式为： M=lgAmaxA0 （其中常数 A0 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅； Amax 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）地震的能
15、量E是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量 E=104.8101.5M （单位：焦耳），其中M为地震震级已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的 103 倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A ， 则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（ ） A.2AB.10AC.100AD.1000A【答案】 C 【考点】函数模型的选择与应用 【解析】【解答】设甲地地震震级为 M1 ，乙地地震震级为 M2 ， 因为甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的 103 倍，所以 104.8101.5M1104.8101.5M2=101.5(M1-M2)=103 ,
16、故 M1-M2=2 ，又乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A因为 M=lgAmaxA0 ，所以 M1-M2=lgAmaxA0-lgAA0=lgAmaxA=2 ，解得： Amax=100A ，甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为 Amax=100A 。故答案为：C. 【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则和对数的运算法则，从而求出甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅。6.国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的
17、种数为（ ） A.378B.306C.268D.198【答案】 D 【考点】分类加法计数原理，排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】解：分两种情况讨论. 若选两个国内媒体一个国外媒体,有 C62C31A22=90 种不同提问方式；若选两个外国媒体一个国内媒体,有 C61C32A33=108 种不同提问方式.所以共有 90+108=198 种提问方式。故答案为：D 【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再利用分类加法计数原理，从而求出不同的提问方式的种数。7.已知函数 f(x)=sin2x+sin(2x+3)+1 ，则（ ） A.f(3+x)=f(3-x)B.(-12,0) 是函数
18、 f(x) 的一个对称中心C.任取方程 f(x)=1 的两个根 x1 ， x2 ，则 |x1-x2| 是 的整数倍D.对于任意的 x1,x2,x30,4 ， f(x1)+f(x2)f(x3) 恒成立【答案】 D 【考点】函数恒成立问题，三角函数的恒等变换及化简求值，图形的对称性，反射、平衡和旋转变换 【解析】【解答】因为 f(x)=sin2x+sin(2x+3)+1=32sin2x+32cos2x+1=3sin(2x+6)+1 ，所以 f(3)=3sin(56)+1=32+1 ， 所以 f(3) 既不是最大值也不是最小值，所以直线 x=3 不是其图象的对称轴，A不符合题意；因为图象整体向上平移
19、了一个单位长度，所以对称中心也向上平移了一个单位长度，且 f(-12)=3sin0+1=1 ，所以点 (-12,1) 是其对称中心，B不符合题意；任取方程 f(x)=1 得到的两个根，即为方程 sin(2x+6)=0 的任意两根，它们之间相差为 T2 的整数倍，且 T=22= ，所以它们彼此之间相差的是 2 的整数倍，C不符合题意；当 x0,4 时， (2x+6)6,23 ，此时 f(x) 的最小值为 32+1 ，最大值为 3+1 ，所以，对于任意的 x1,x2,x30,4 ， f(x1)+f(x2)3+23+1f(x3) 恒成立，D符合题意.故答案为：D. 【分析】利用函数的解析式结合代入法
20、推不出选项A正确；利用两角和的正弦公式结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图象判断出 (-12,0) 不是函数 f(x) 的一个对称中心； 任取方程 f(x)=1 得到的两个根，即为方程 sin(2x+6)=0 的任意两根，它们之间相差为 T2 的整数倍，且 T=22= ，所以它们彼此之间相差的是 2 的整数倍；当 x0,4 时， (2x+6)6,23 ，再结合正弦型函数的图像求出正弦型函数的最值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而推出对于任意的 x1,x2,x30,4 ， f(x1)+f(x2)3+23+1f(x3) 恒成立，进而选出正确的选项。8.已知 F1 、 F2
21、是双曲线 E ： x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左、右焦点，点 M 是双曲线 E 上的任意一点（不是顶点），过 F1 作 F1MF2 角平分线的垂线，垂足为 N ， O 是坐标原点若 |ON|=|F1F2|4 ，则双曲线 E 的渐近线方程为（ ） A.y=33xB.y=22xC.y=2xD.y=3x【答案】 D 【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】依题意，延长 F1M 交 MF2 于Q ， 由 MN 是 F1MF2 的角平分线， F1QMN 可知， N 是 F1Q 的中点， |MQ|=|MF1| . 又O是 F1F2 的中点，故 ON 是 F1QF2 的中位线，所以 |ON|=
22、12|QF2|=12(|MF2|-|MQ|)=12(|MF2|-|MF1|)=122a=a ，故 a=|F1F2|4=142c ，即 c=2a ，故 ba=c2-a2a=4a2-a2a=3 ，所以双曲线 E 的渐近线方程为 y=3x .故答案为：D. 【分析】 延长 F1M 交 MF2 于Q，连接ON，由三角形的中位线定理和双曲线的定义、垂直平分线的性质，结合双曲线的a，b，c的关系，可得渐近线方程二、多选题9.某学校为了促进学生德智体美劳全面发展，制订了一套量化评价标准.下表是该校甲乙两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分(得分越高，说明该项教育越好).下列说法正确的是（）德智体美劳甲班
23、9.59.599.58乙班9.599.598.5A.甲班五项得分的极差为1.5B.甲班五项得分的平均数高于乙班五项得分的平均数C.甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数D.甲班五项得分的方差小于乙班五项得分的方差【答案】 A,C 【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【解析】【解答】甲班的极差为 9.5-8=1.5 ,A符合题意； 甲班的平均数 9.5+9.5+9+9.5+85=9.1 ,乙班的平均数 9.5+9+9.5+9+8.55=9.1 ,B不符合题意；甲班的成绩从低到高：8，9，9.5，9.5，9.5，中位数为9.5,乙班的成绩从低到高排列：8.5，9，9，9.5，9
24、.5，中位数9，C符合题意；甲班的成绩的方差为 M=15(0.42+0.42+0.12+0.42+1.12) ,乙班的成绩的方差为 N=15(0.42+0.12+0.42+0.12+0.62) ,M-N=15(0.42+1.12-0.12-0.62)0,D不符合题意.故答案为：AC. 【分析】利用已知条件结合中位数、极差的定义，平均数和方差公式，从而选出说法正确的选项。10.在正方体 AC1 中， E 是棱 CC1 的中点， F 是侧面 BCC1B1 内的动点，且 A1F 与平面 D1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是（ ） A.点 F 的轨迹是一条线段B.A1F 与 BE 是异面直
25、线C.A1F 与 D1E 不可能平行D.三棱锥 F-ABD1 的体积为定值【答案】 A,B,D 【考点】轨迹方程，棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线的判定，空间中直线与直线之间的位置关系 【解析】【解答】如图，分别找线段 BB1 , B1C1 中点为 M , N ,连接 A1M,MN,A1N , 因为正方体 AC1 ，易得 MN/AD1,MN 面 D1AE ， AD1 面 D1AE ，所以 MN/ 面 D1AE ，A1M/D1E ， A1M 面 D1AE ， D1E 面 D1AE ，所以 A1M/ 面 D1AE ，又 MNA1M=M所以平面 A1MN/ 平面 D1AE ，因为 A1F 与平面 D
26、1AE 的垂线垂直，又 A1F 平面 D1AE ，所以直线 A1F 与平面 D1AE 平行，所以 A1F 面 A1MN ，又点 F 是侧面 BCC1B1 内的动点，且面 A1MN 面 BCC1B1=MN ，所以点 F 的轨迹为线段 MN ，故答案为：项A符合题意；由图可知， A1F 与 BE 是异面直线，故答案为：项B符合题意；当点 F 与点 M 重合时，直线 A1F 与直线 D1E 平行，故答案为：项C不符合题意；因为 MN/AD1 ， MN 面 ABD1 ， AD1 面 ABD1 ，所以 MN/ 面 ABD1 ，则点 F 到平面 ABD1 的距离是定值，又三角形 ABD1 的面积是定值，所
27、以三棱锥 F-ABD1 的体积为定值，故答案为：项D符合题意.故答案为：ABD. 【分析】利用正方体的结构特征结合中点的性质，再利用线线垂直的判断方法，从而求出点F的轨迹为一条线段；再利用异面直线的判断方法判断出 A1F 与 BE 是异面直线；再结合已知条件结合线线平行的判断方法，从而推出当点 F 与点 M 重合时，直线 A1F 与直线 D1E 平行；因为 MN/AD1 ， 再利用线线平行推出线面平行，所以 MN/ 面 ABD1 ，则点 F 到平面 ABD1 的距离是定值，再利用三角形的面积公式得出三角形 ABD1 的面积是定值，再结合三棱锥的体积公式推出三棱锥 F-ABD1 的体积为定值，从
28、而选出说法正确的选项。11.已知抛物线 C:y2=mx(m0) 的焦点为 F(4,0) ，直线 l 经过点 F 交 C 于A ， B 两点，交 y 轴于点 P ，若 PB=2BF ，则（ ） A.m=8B.点 B 的坐标为 (83,463)C.|AB|=503D.弦 AB 的中点到 y 轴的距离为 133【答案】 C,D 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【解答】由于 F(4,0) 得到 m=16 ，A不符合题意；抛物线方程为 y2=16x ， 过B点作BD垂直于y轴，垂足为D点，则 BD/OF ,因为 PB=2BF ，所以 |PB|PF|=|BD|OF|=23 ,所以 BD=83 ，
29、即 xB=83 ,代入抛物线方程 y2=16x ，解得 yB=863 ,B不符合题意；不妨取点 B 的坐标为 (83,-863) ，所以直线 AB 的方程为： y=26(x-4) ，联立抛物线方程得到： 3x2-26x+48=0 ，韦达定理可知： x1+x2=263 ，由抛物线的弦长公式可知： |AB|=x1+x2+8=263+8=503 ，C符合题意；弦 AB 的中点到 y 轴的距离为 x1+x22=133 ，D符合题意。故答案为：CD. 【分析】由于 F(4,0) 结合抛物线求焦点的方法，得到 m=16 ；再利用m的值求出抛物线方程为 y2=16x ，过B点作BD垂直于y轴，垂足为D点，则
30、 BD/OF ,因为 PB=2BF ，再利用两直线平行对应边成比例，所以 |PB|PF|=|BD|OF|=23 ,所以 BD=83 ，即 xB=83 ,再利用代入法求出点B的纵坐标，从而求出点B的坐标；不妨取点 B 的坐标为 (83,-863) ，再利用点斜式设出直线 AB 的方程为： y=26(x-4) ，再将直线与抛物线方程联立，从而结合韦达定理可知： x1+x2=263 ，由抛物线的弦长公式可知： |AB|=x1+x2+8=503 ；再利用中点坐标公式求出弦AB的中点坐标，再利用点到直线的距离公式，从而求出弦 AB 的中点到 y 轴的距离，进而选出正确的选项。12.已知函数 f(x)=e
31、sinx-ecosx ，其中 e 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（ ） A.函数 f(x) 的周期为 2B.f(x) 在区间 (0,2) 上是减函数 C.f(x+4) 是奇函数D.f(x) 在区间 (2,) 上有且仅有一个极值点 【答案】 A,C,D 【考点】函数奇偶性的判断，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】对于A： f(x+2)=esin(x+2)-ecos(x+2)=esinx-ecosx=f(x) ， A符合题意；对于B：由 f(x)=esinx-ecosx ，得 f(x)=cosxesinx+sinxecosx ，当 x(0,2) 时， f(x)
32、=cosxesinx+sinxecosx0 ，所以 f(x) 在区间 (0,2) 上是增函数，B不正确；对于C： f(x+4)=esin(x+4)-ecos(x+4) ，设 g(t)=esin(t+4)-ecos(t+4) ，则 g(-t)=esin(-t+4)-ecos(-t+4)=e-22sint+22cost-e22cost+22sint =ecos(t+4)-esin(t+4)=-g(t) ，所以函数 g(t) 即 f(x+4) 是奇函数；C符合题意；对于D：由 f(x)=esinx-ecosx ，得 f(x)=cosxesinx+sinxecosx ，而 f(x)=esinx(cos
33、2x-sinx)+ecosx(cosx-sin2x) ，（1）当 x(2,34) 时， cos2x-sinx0,cosx-sin2x0 ，所以 f(x)0 ，f(34)=cos34esin34+sin34ecos34=22(e-22-e22)0 ，所以 f(x) 在区间 (2,34) 上存在唯一零点；（2）当 x(34,) 时， f(x)=cosxesinx+sinxecosx ，又 sinx+cosx=2sin(x+4)ecosx ，则 f(x)=cosxesinx+sinxecosx(cosx+sinx)esinxSk+1 且 Sk+1Sk+1 ，即 SkSk+ak+1 ，从而 ak+10
34、 ；同理，若使 Sk+1Sk+2 ，即 Sk+10 （方法一）若选：由 b1+b3=a2 ，得 a2=-1-9=-10 ，所以 an=3n-16 ，当 k=4 时满足 a50 成立；若选：由 a4=b4=27 ，且 a5=-1 ，所以数列 an 为递减数列，故不存在 ak+10 ；若选：由 S5=-25=5(a1+a5)2=5a3 ，解得 a3=-5 ，从而 an=2n-11 ，所以当 n=4 时，能使 a50 成立（方法二）若选：由 b1+b3=a2 ，得 a2=-1-9=-10 ，所以公差 d=a5-a23=3 ， a1=a2-d=-13 ，从而 Sn=13a1+n(n-1)2d=12(3
35、n2-29n) ；SkSk+1Sk+13(k+1)-29(k+1)23(k+1)-29(k+1)23(k+2)-29(k+2)2 ，解得 103kSk+1 ，即 SkSk+ak+1 ，从而 ak+10 ；同理，若使 Sk+1Sk+2 ，即 Sk+10 。 （方法一）若选：由 b1+b3=a2 ，从而求出 a2的值 ，再利用等差数列的通项公式，从而求出 an=3n-16 ，当 k=4 时满足 a50 成立；若选：由 a4=b4=27 且 a5=-1 ，再利用减函数的定义，所以数列 an 为递减数列，故不存在 ak+10 ；若选：利用已知条件结合等差数列前n项和公式，从而得出a3=-5 ，再利用等
36、差数列的通项公式求出 an=2n-11 ，所以当 n=4 时，能使 a50 成立。（方法二）若选：由 b1+b3=a2 ，从而求出 a2的值 ，再利用等差数列的性质，从而求出等差数列的公差，再利用等差数列的通项公式求出等差数列的首项，再利用等差数列的前n项和公式，从而得出 Sn=12(3n2-29n) ，再利用等差数列前n项和的单调性，从而求出实数k的取值范围，又因为 kN* ，从而得出 k=4 满足题意。18.如图，在平面四边形ABCD中， BC=1,ABC=90,BCD=60 ， BAD=75 （1）若 CBD=30 ，求三角形ABD的面积； （2）若 AD=6-22， 求 CBD 的大小
37、 【答案】 （1）在 BCD 中，由 CBD=30，BCD=60 ， 可得 BDC=90,BD=32 ，sin75=sin(45+30)=sin45cos30+cos45sin30=6+24在 ABD 中，由正弦定理知 ADsinABD=BDsinA ，可得 AD=3(6-2)4 所以 S=12BDADsinADB=12323(6-2)4sin45=9-3316（2）由 AD=6-22，BC=1,BCD=60 ， 在 ABD、BCD 中，由正弦定理知， 6-22sinABD=BDsin75，1sinBDC=BDsin60又 ABC=90 ，所以sinABD=cosCBD从而有 BDcosCBD
38、=12,BDsinBDC=32,两式相除可得 sinBDC=3cosCBD又由 sinBDC=sin(180-60-CBD)=sin(60+CBD)=sin60cosCBD+cos60sinCBD=32cosCBD+12sinCBD因此有 tanCBD=3 ，由 0CBD4 ，解得 te4+1413.9 t14 ，即该厂从统计当天开始的第14天日生产量超过四十万支【考点】散点图，线性回归方程，回归分析的初步应用，古典概型及其概率计算公式，排列、组合及简单计数问题 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合古典概型求概率公式，从而求出 这3天中恰有2天的日生产量不高于三
39、十万支的概率。 （2）利用已知条件结合散点图中的数据，再利用最小二乘法求出y关于t的方程 y=ln(bt+a) ， 再令 ln(4t-1)4 结合对数函数的单调性，解得 t14 ，从而求出该厂从统计当天开始的第14天日生产量超过四十万支。21.已知函数 f(x)=ex-ax+sinx-1 . （1）当 a=2 时，求函数 f(x) 的单调区间； （2）当 1a1 ， f(x)1-sinx0 ， f(x) 在 (0,+) 单调递增， f(x)f(0)=0 ， f(x) 在 (0,+) 单调递增.当 x(-,0 时，可得 ex1 ， f(x)=ex-2+cosx-1+cosx0 ， f(x) 在
40、(-,0 单调递减；综上， f(x) 在 (-,0 单调递减，在 (0,+) 单调递增.（2）当 x=0 时， f(0)=e0-0-1+sin0=0 ， x=0 是 f(x) 的一个零点， 由 f(x)=ex-a+cosx ，可得 f(x)=ex-sinx .因为 1a1 ， f(x)1-sinx0 ， f(x) 在 (0,+) 单调递增， f(x)f(0)=2-a0 ，f(x) 在 (0,+) 单调递增， f(x)f(0)=0 ，此时 f(x) 在 (0,+) 无零点.当 x(-,- 时， -ax ，有 f(x)=ex-ax+sinx-1ex+sinx-10 ， 此时 f(x) 在 (-,-
41、 无零点.当 x(-,0) 时， sinx0 ， f(x) 在 (-,0) 单调递增，又 f(0)=2-a0 ， f()=e-1-a0 ，由零点存在性定理知，存在唯一 x0(-,0) ，使得 f(x0)=0 .当 x(-,x0) 时， f(x)0 ， f(x) 在 (x0,0) 单调递增；又 f(-)=e-+a-10 ， f(x0)f(0)=0 ，所以 f(x) 在 (-,0) 上有1个零点.综上，当 1a2 时， f(x) 有2个零点.【考点】利用导数研究函数的单调性，函数零点的判定定理 【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区
42、间。 （2） 当 x=0 时，结合函数零点的定义，从而推出 x=0 是 f(x) 的一个零点，再利用两次求导的方法得出 f(x)=ex-sinx ， 因为 1a2 ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而结合函数零点存在性定理，进而判断出函数的零点个数，从而证出当 1a0) 于A ， B 两点， AB 的垂直平分线与椭圆交于 C ， D 两点，点 N(1,y0) 是线段 AB 的中点 （1）若 y0=3 ，求直线 AB 的方程以及 的取值范围； （2）不管 怎么变化，都有A ， B ， C ， D 四点共圆，求 y0 的取值范围 【答案】 （1）因为直线AB过点 N(1,3)
43、 ， 所以直线AB方程为： y=k(x-1)+3 ，联立椭圆方程 3x2+y2=(0) 得到： (3+k2)x2+2k(3-k)x+(3-k)2-=0 ，设点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ,由韦达定理可知： x1+x2=2k(k-3)3+k2=2 ，解得 k=-1 ，所以直线AB方程为： y=-1(x-1)+3 即 y=-x+4 ，将 k=-1 代入方程 (3+k2)x2+2k(3-k)x+(3-k)2-=0 ，得到 4x2-8x+16-=0 ，则 =(-8)2-44(16-)0 ，解得 12 ，所以 的取值范围为 12 .（2）设直线AB方程 y=k(x-1)+y0 ， 联立椭圆
44、方程 3x2+y2=(0) 得到： (3+k2)x2+2k(y0-k)x+(y0-k)2-=0 ，由韦达定理可知： x1+x2=2k(k-y0)3+k2=2 ，即 -ky0=3 ， x1x2=(y0-k)2-3+k2 ，则 |AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k22k(k-y0)3+k22-4(y0-k)2-3+k2=1+k23+k22k(k-y0)2-4(3+k2)(y0-k)2-=21+k23+k2-3(y0-k)2+(3+k2)=21+k23+k2-3(-3k-k)2+(3+k2)=21+k23+k2-3-9k2 ，所以 |CD|=21+(-1k)
45、23+(-1k)2-3(y0+1k)2+(3+(-1k)2)=21+k23k2+1-12+(1+3k2) ，CD中点P坐标等于 x3=(-1k)(-1k-y0)3+(-1k)2=1+ky03k2+1=-23k2+1 ，点P到AB距离等于 d=1+(-1k)2|1-23k2+1|=1+k2k23(1+k2)1+3k2 ，因为A，B，C，D四点共圆等价于 (|CD|2)2=d2+(|AB|2)2 ,即 (1+k23k2+1-12+(1+3k2)2=(1+k2k23(1+k2)1+3k2)2+(1+k23+k2(-3-9k2)2整理得 1+k2(3k2+1)2-12+(1+3k2)=1+k2k29(
46、1+k2)2(1+3k2)2+1+k23+k2(-3-9k2) ，即不管 怎么变化，都有上式成立，则 1+k23k2+1=1+k23+k2 ，解得 k2=1 ，代入方程 (3+k2)x2+2k(y0-k)x+(y0-k)2-=0 ，使得 =4k2(y0-k)2-4(3+k2)(y0-k)2-)0 ，解得 12 ，满足题意所以 y0 的取值范围为： -3,3 .【考点】椭圆的应用，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1） 因为直线AB过点 N(1,3) ，再利用点斜式设出直线AB方程为： y=k(x-1)+3 ，再利用直线与椭圆相交，联立直线与椭圆方程得到 (3+k2)x2+2k(3-k
47、)x+(3-k)2-=0 ，设点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ,由韦达定理结合已知条件可知 k=-1 ，从而求出直线AB方程为： y=-x+4 ，将 k=-1 代入方程 (3+k2)x2+2k(3-k)x+(3-k)2-=0 ，得到 4x2-8x+16-=0 ，再利用判别式法得出实数的取值范围。 （2） 设直线AB方程 y=k(x-1)+y0 ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理和已知条件可知 x1+x2 ， x1x2 ，再利用弦长公式得出 |AB| ，|CD| ，再利用中点坐标公式得出CD中点P的横坐标为x3 ，再利用点到直线的距离公式求出点P到AB距离 ，根据A，B，C，D四点共圆等价于 (|CD|2)2=d2+(|AB|2)2 ,整理得1+k2(3k2+1)2-12+(1+3k2)=1+k2k29(1+k2)2(1+3k2)2+1+k23+k2(-3-9k2) ，即不管 怎么变化，都有上式成立，解得 k2=1 ，代入方程 (3+k2)x2+2k(y0-k)x+(y0-k)2-=0 ，再结合判别式法得出 12满足题意，从而求出 y0 的取值范围。