1、第4节 基本不等式【选题明细表】知识点、方法题号基本不等式的理解1,2利用基本不等式求最值3,4,5,8基本不等式的实际应用7综合应用6,9,10,11,12,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.(2018衡水周测)下列不等式一定成立的是(C)(A)lg(x2+)lg x(x0)(B)sin x+2(xk,kZ)(C)x2+12|x|(xR)(D)1(xR)解析:当x0时,x2+2x=x,所以lg(x2+)lg x(x0),故A错误;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,当x k,kZ时,sin x的正负不定,故B错误;当x=0时,有=1,故D错误.故选C.2.(2018黄石月
2、考)设0ab,则下列不等式中正确的是(B)(A)ab (B)ab(C)ab (D)ab解析:法一由a=,b=,0ab,及均值不等式知 0,b0,所以=+2,即ab2,当且仅当b=2a时等号成立,故选C.4.(2018白城模拟)若x,则f(x)=4x+的最小值为(D)(A)-3 (B)2 (C)5 (D)7解析:f(x)=4x+=4x-5+5.因为x,所以4x-50,所以4x-5+2.故f(x)2+5=7,等号成立的条件是x=.5.(2018孝感模拟)已知a0,b0,2a+b=1,则+的最小值是(D)(A)4(B)(C)8(D)9解析:因为2a+b=1,又a0,b0,所以+=(+)(2a+b)=
3、5+5+2=9,当且仅当=,即a=b=时等号成立.故选D.6.(2018西宁模拟)设a0,b0,且不等式+0恒成立,则实数k的最小值等于(C)(A)0 (B)4 (C)-4 (D)-2解析:由+0得k-,而=+24(a=b时取等号),所以-4,因此要使k-恒成立,应有k-4,即实数k的最小值等于-4.7.(2018南阳模拟)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 公里处.解析:设x为仓库与车站距离,由已知y
4、1=;y2=0.8x费用之和y=y1+ y2=0.8x+2=8,当且仅当0.8x=,即x=5时“=”成立.答案:58.(2017天津卷)若a,bR,ab0,则的最小值为.解析:因为a,bR,ab0,所以=4ab+2=4,当且仅当即时取得等号.故的最小值为4.答案:4能力提升(时间:15分钟)9.(2018大连一模)已知首项与公比相等的等比数列an中,若m,nN*满足am=,则+的最小值为(A)(A)1(B)(C)2(D)解析:设an的公比为q,由题意得am=qm,an=qn,a4=q4,所以qm+2n=q8.所以m+2n=8,所以=1,又因为m,nN*,所以+=+=+2=1.当且仅当=,即m=
5、2n=4时取“=”.故选A.10.(2018信阳模拟)已知两个正数x,y满足x+4y+5=xy,则xy取最小值时,x,y的值分别为(B)(A)5,5(B)10,(C)10,5 (D)10,10解析:因为x0,y0,所以xy=x+4y+54+5.令=t,则t24t+5,即t2-4t-50.解得t5或t-1(舍去),所以5.由解得所以x=10,y=.11.(2018太原模拟)设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为1,则+的最小值为(D)(A)(B)(C)(D)4解析:作出可行域如图中阴影部分所示.因为a0,b0,所以由图知,当直线z=ax+by过点A(1,1)时,z取
6、得最大值1,所以a+b=1.所以+=+=2+2+2=4.当且仅当a=b=时取等号.12.(2018南昌二中月考)在ABC中,D为AB的中点,点F在线段CD(不含端点)上,且满足=x+y,若不等式+a2+at对t-2,2恒成立,则a的最小值为(B)(A)-4(B)-2(C)2(D)4解析:根据图象知道点D,F,C三点共线,故=x+y=2x+y,由共线定理得到2x+y=1,则(+)(2x+y)=4+8,故问题转化为8a2+at对t-2,2恒成立,当a=0时08恒成立,因为y=at+a2-8(a0)是关于t的一次函数,故直接代入端点即可,a-2,2,故a的最小值为-2.13.(2018唐山模拟)规定记号“”表示一种运算,即ab=+a+b(a,b为正实数).若1k=3,则k的值为,此时函数f(x)=的最小值为.解析:1k=+1+k=3,即k+-2=0,所以=1或=-2(舍),所以k=1.f(x)=1+1+2=3,当且仅当=即x=1时等号成立.答案:1314.(2018常州模拟)已知ab0,则a2+的最小值是.解析:因为ab0,所以b(a-b)()2=,当且仅当a=2b时等号 成立.所以a2+a2+=a2+2=16,当且仅当a=2时等号成立.所以当a=2,b=时,a2+取得最小值16.答案:16