1、高台一中2019-2020学年上学期期末模拟试卷高一数学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据集合并集的定义求出，根据集体补集的定义求出.【详解】因为，所以，又因为集合，所以，故本题选A.【点睛】本题考查了集合的并集、补集运算，掌握集合的并集、补集的定义是解题的关键.2.过点且与直线垂直的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据两直线垂直的性质求得所求直线的斜率等于-2，再由所求直线过点（0，1），利用点斜式求得所求直线的方程，
2、并化为一般式【详解】直线的斜率等于，故所求直线的斜率等于2，再由所求直线过点（0，1），利用点斜式求得所求直线的方程为y1（x0），即2x+y-1=0，故选A【点睛】本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于1，用点斜式求直线方程，属于基础题3.空间的点M(1，0，2)与点N(1，2，0)的距离为（）A. B. 3C. D. 【答案】C【解析】解答：M(1,0,2)与点N(1,2,0)，|MN|=故选C.4.直线的倾斜角是（ ）A. B. C. D. 不存在【答案】C【解析】依题意有：直线方程为，故倾斜角为.5.在ABC中，AB4，BC3，ABC120，若使ABC绕直线BC旋转一周，
3、则所形成的几何体的体积是（ ）A. 36B. 28C. 20D. 12【答案】D【解析】【分析】根据题意可知, 旋转体是一个大圆锥减去一个小圆锥,然后根据圆锥的体积公式可求得答案.【详解】依题意可知,旋转体是一个大圆锥减去一个小圆锥,如图所示:所以,所以所形成的几何体的体积是.故选:D.【点睛】本题考查了两个圆锥的组合体,考查了圆锥的体积公式,本题属于基础题.6.已知正ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的ABC的直观图的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解：侧二测画法中得到的直观图面积与原图形的面积之比为1：由于原图为边长为a的正三角形ABC，则SABC=故直观图面积为
4、=，故选D7.如图，在正方体中，分别为的中点，则图中五棱锥的俯视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意，点在底面的射影是，在底面的射影是在底面的射影是，在底面的射影是，而是被挡住的棱，应画出虚线；故选C8.已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（ ）A. -2B. -3C. -4D. -5【答案】D【解析】，故选D9.若，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别出的取值范围，由此比较出三者的大小.【详解】, ， ，故 .故选B.【点睛】本题考查指数、对数的运算，考查运算求解能力.属于基础题.10.在空间直角坐标系
5、中，四面体各顶点坐标分别为，则该四面体外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在空间坐标系里画出四个点，可以补成一个长方体，然后求出其外接球的半径，再求外接球的表面积.【详解】如图，在空间坐标系里画出四个点，可得,面,因此可以把四面体补成一个长方体，其外接球的半径所以，外接球的表面积为，故选B项.【点睛】本题考查几何体的直观图画法，图形的判断，考查空间想象能力，对所画出的几何体进行补充成常见几何体求外接球半径，属于中档题.11.设函数若有三个不等实数根，则的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把f（x）b=0有三个不等实数根转化为函数y
6、=f（x）的图象与y=b有3个不同交点，画出图形，数形结合得答案【详解】作出函数f（x）=的图象如图，f（x）b=0有三个不等实数根，即函数y=f（x）的图象与y=b有3个不同交点，由图可知，b的取值范围是（1，10故选A【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题12.在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”如下：当时，；当时，已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当时，；当时，；所以，易知，在单调递增，在单调递增，且时，时，则在上单调递增，所以得：，解得，故选C点睛：新定义的题关键是读懂题意，
7、根据条件，得到，通过单调性分析，得到在上单调递增，解不等式，要符合定义域和单调性的双重要求，则，解得答案二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知点A（3，0，4），点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于_【答案】10【解析】【分析】首先求出点，再根据空间中两点间的距离公式即可求解.【详解】由点A（3，0，4），则点A关于原点的对称点为，所以 故答案为：【点睛】本题主要考查空间两点间的距离公式，需熟记距离公式，属于基础题.14.直线与直线平行，则两直线间的距离为_.【答案】【解析】【分析】直接利用两直线平行的充要条件的应用和平行线间的距离公式的应用求出结果【详解】解：直线与直
8、线平行，则，即，解得或当时，两直线重合，故，两直线方程可化为：与所以两平行线间的距离故答案为【点睛】本题考查的知识要点：直线平行的充要条件的应用，两平行线间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型15.设，如果把函数的图像被两条平行直线，所截得的曲线近似地看作一条线段，则下列关系式中，的最佳近似表示式是_【答案】【解析】【分析】利用三点共线列方程，整理【详解】设函数的图像三点坐标为，函数的图像近似地看作一条线段，则，整理得：【点睛】本题考查了三点，共线结论：16.若偶函数,，满足，且时,，则方程在内的根的个数为_.【答案】8【解析】【详解】函数为偶函数，且满足
9、偶函数为周期为的函数，由时，可作出函数在的图象，同时作出函数在的图象，交点个数即为所求，数形结合可得交点个数为，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算下列各式的值 【答案】（1）； （2）1.【解析】【分析】(1)根据指数的公式即可计算;(2)根据对数的公式即可计算.【详解】【点睛】本题主要考查了对数，指数的相关运算，属于基础题.18.在正方体中挖去一个圆锥，得到一个几何体，已知圆锥顶点为正方形的中心，底面圆是正方形的内切圆，若正方体的棱长为.(1)求挖去的圆锥的侧面积；(2)求几何体体积.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（1
10、）求出圆锥的底面半径和母线，利用公式侧面积为即可；（2）正方体体积减去圆锥的体积即可.试题解析：（1）圆锥的底面半径，高为，母线，挖去的圆锥的侧面积为.（2）的体积为正方体体积减去圆锥的体积，体积为.19.已知A，B两地相距24km甲车、乙车先后从A地出发匀速驶向B地甲车从A地到B地需行驶25min；乙车从A地到B地需行驶20min乙车比甲车晚出发2min（1）分别写出甲、乙两车所行路程关于甲车行驶时间的函数关系式；（2）甲、乙两车何时在途中相遇？相遇时距A地多远？【答案】（1）g（x）；（2）9.6km【解析】【分析】（1）根据路程速度时间即可求得表达式. （2）根据题意两车相遇则两车走路程
11、相等，即0.96x=1.2（x2），解方程即可.【详解】（1）设甲车行驶时间为x（min），甲车、乙车所行路程分别为f（x）（km）、g（x）（km）则甲车所行路程关于行驶时间的函数为f（x）x=0.96x，（0x25）；乙车所行路程关于甲车行驶时间的函数关系式为g（x）（2）设甲、乙两车在甲车出发x（min）时途中相遇，则2x22于是0.96x=1.2（x2），解得x=10，f（10）=9.6（km）所以，甲、乙两车在甲车出发10min时途中相遇，相遇时距甲地9.6km【点睛】本题主要考查了求分段函数解析式以及根据分段函数求值，考查了分类讨论的思想，属于中档题.20.已知一圆经过点，,且它的
12、圆心在直线上.（1）求此圆的方程；（2）若点为所求圆上任意一点，且点,求线段的中点的轨迹方程.【答案】（1）（x2）2+（y4）2=10（2）（x）2+（y2）2=【解析】【详解】试题分析：（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程试题解析：（1）由已知可设圆心N（a，3a2），又由已知得|NA|=|NB|， 从而有，解得：a=2于是圆N圆心N（2，4），半径所以，圆N的方程为（x2）2+（y4）2=10（2）设M（x，y），D（x1，y1），则由C（3
13、，0）及M为线段CD的中点得：，解得： 又点D在圆N：（x2）2+（y4）2=10上，所以有（2x32）2+（2y4）2=10，化简得：故所求的轨迹方程为21.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点（1）求证：AC1平面PBD；（2）求证：BDA1P【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连接AC交BD于O点，连接OP，证出AC1OP，再由线面平行的判定定理即可证出.（2）首先由线面垂直的判定定理证出BD面AC1，再由线面垂直的定义即可证出.【详解】（1）连接AC交BD于O点，连接OP，因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交
14、BD于点O，所以O点是AC的中点，所以AO=OC又因为点P是侧棱C1C的中点，所以CP=PC1，在ACC1中，所以AC1OP，又因为OP面PBD，AC1面PBD，所以AC1平面PBD（2）连接A1C1因为ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以侧棱C1C垂直于底面ABCD，又BD平面ABCD，所以CC1BD，因为底面ABCD是菱形，所以ACBD，又ACCC1=C，AC面AC1，CC1面AC1，所以BD面AC1，又因为PCC1，CC1面ACC1A1，所以P面ACC1A1，因为A1面ACC1A1，所以A1P面AC1，所以BDA1P【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，需熟记定
15、理的内容，证明线面平行，先证“线线平行”，证明异面直线垂直，先证“线面垂直”,属于基础题.22.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面底面，.（1）求证：面面；（2）过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求三棱锥的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据题意及各边和面的关系，可得和，因而面，又因为面，则面面（2）根据平面AMC把四面体分成体积相等的两个部分可知，M为PB中点，根据各边可求得，进而求得和，由可得解【详解】（1）证明：因为，则，又侧面底面，面面，面，则面面，则又因为，为平行四边形，则，又则为等边三角形，则为菱形，则又，则面，面，则面面（2）由平面把四面体分成体积相等的两部分，则为中点由，得由知为菱形，则又由知面，则则则【点睛】本题考查了空间几何体面面垂直的证明，不规则结构体体积的求法，属于中档题