1、第8节立体几何中的向量方法(二)求空间角最新考纲1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.知 识 梳 理1.异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角l1与l2所成的角范围(0，)求法cos cos |cos |2.求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，则sin |cosa，n|.3.求二面角的大小(1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_，.(2)如图，n1，n2 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则
2、二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).常用结论与微点提醒1.线面角的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin |cosa，n|，不要误记为cos |cosa，n|.2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.()(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角
3、就是直线与平面所成的角.()(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.()(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，.()解析(1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；(2)直线的方向向量a，平面的法向量n，直线与平面所成的角为，则sin |cos a，n|；(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角.答案(1)(2)(3)(4)2.(教材练习改编)已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A.45 B.135 C.45或135 D.90解析cosm，n，即m，n45.两平面所
4、成二面角为45或18045135.答案C3.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若 cosm，n，则l与所成的角为_.解析设l与所成角为，cosm，n， sin | cosm，n|，090，30.答案304.已知正方体ABCDA1B1C1D1如图所示，则直线B1D和CD1所成的角为_.解析以A为原点，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则(1，0，1)，(1，1，1)，cos，0.所以两直线所成的角为90.答案905.(2018郑州预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为_.解析如图，建
5、立空间直角坐标系，设ABPA1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，由题意，AD平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，CDAE，从而AE平面PCD.所以(0，1，0)，分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且，45.故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45.答案45考点一用空间向量求异面直线所成的角【例1】 (1)(一题多解)(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B. C. D.(2)(2018江西五市联考)有公共边的等边三角形ABC和BCD
6、所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为_.解析(1)法一以B为原点，建立如图(1)所示的空间直角坐标系.图(1)图(2)则B(0，0，0)，B1(0，0，1)，C1(1，0，1).又在ABC中，ABC120，AB2，则A(1，0).所以(1，1)，(1，0，1)，则cos，因此，异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.法二如图(2)，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1中点，则PNBC1，MNAB1，AB1与BC1所成的角是MNP或其补角.AB2，BCCC11，MNAB1，NPBC1.取BC的中点Q，连接PQ，MQ，则可知PQM为直角三角形，且PQ1，MQAC，在ABC中，
7、AC2AB2BC22ABBCcosABC412217，AC，则MQ，则MQP中，MP，则PMN中，cosPNM，又异面直线所成角范围为，则余弦值为.法三将直三棱柱ABCA1B1C1补形成直四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图(3)，连接AD1，B1D1，则AD1BC1.图(3)则B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角(或其补角)，易求得AB1，BC1AD1，B1D1.由余弦定理得cosB1AD1.(2)设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD，等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0，0，)，B
8、(0，1，0)，C(0，1，0)，D(，0，0)，(0，1，)，(，1，0)，cos，异面直线AB和CD所成角的余弦值为.答案(1)C(2)规律方法1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cosv1，v2|求解.2.两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.【训练1】 (一题多解)直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCAC
9、C1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析法一取BC的中点Q，连接QN，AQ，易知BMQN，则ANQ或其补角即为所求，设BCCACC12，则AQ，AN，QN，cosANQ，故选C.法二以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设BCCACC12，则A(2，0，2)，N(1，0，0)，M(1，1，0)，B(0，2，2)，(1，0，2)，(1，1，2)，cos，.答案C考点二用空间向量求线面角【例2】 (2018洛阳二模)已知三棱锥ABCD，AD平面BCD，BDCD，ADBD2，CD2，E，F分别是AC，BC的中点，P为线段BC上一点，且CP2PB.(1)求证：APDE
10、；(2)求直线AC与平面DEF所成角的正弦值.(1)证明作PGBD交CD于G，连接AG.2，GDCD.AD平面BCD，ADDC，在ADG中，tanGAD，DAG30，在RtADC中，AC2AD2CD241216，AC4，又E为AC的中点，DEAE2，又AD2，ADE60，AGDE.AD平面BCD，ADBD，又BDCD，ADCDD，BD平面ADC，PG平面ADC，PGDE.又AGPGG，DE平面AGP，又AP平面AGP，APDE.(2)解以D为坐标原点，直线DB，DC，DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，2
11、，0)，E(0，1)，F(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0，2，2).设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则即令x3，则n(3，3)为平面DEF的一个法向量.设直线AC与平面DEF所成角为，则sin |cos，n|，所以AC与平面DEF所成角的正弦值为.规律方法利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.【训练2】 如图，在六面体ABCDHEFG中，四边形ABCD为菱形，AE，BF，CG，DH都
12、垂直于平面ABCD.若DADHDB4，AECG3.(1)求证：EGDF；(2)求BE与平面EFGH所成角的正弦值.(1)证明连接AC，由AE綊CG可知四边形AEGC为平行四边形，所以EGAC，而ACBD，ACBF，所以EGBD，EGBF，因为BDBFB，BD，BF平面BDHF，所以EG平面BDHF，又DF平面BDHF，所以EGDF.(2)解设ACBDO，EGHFP，由已知可得，平面ADHE平面BCGF，所以EHFG，同理可得：EFHG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以OP綊AE，从而OP平面ABCD，又OAOB，所以OA，OB，OP两两垂直，由平面几何知
13、识，得BF2.分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则B(0，2，0)，E(2，0，3)，F(0，2，2)，P(0，0，3)，所以(2，2，3)，(2，0，0)，(0，2，1).设平面EFGH的法向量为n(x，y，z)，由可得令y1，则z2.所以n(0，1，2)为平面EFGH的一个法向量.设BE与平面EFGH所成角为，则sin .所以BE与平面EFGH所成角的正弦值为.考点三用空间向量求二面角(多维探究)命题角度1计算二面角的大小【例31】 (2017全国卷)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PA
14、PDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值.(1)证明BAPCDP90，PAAB，PDCD，又ABCD，PDAB，又PDPAP，PD，PA平面PAD，AB平面PAD，又AB平面PAB，平面PAB平面PAD.(2)解取AD中点O，BC中点E，连接PO，OE，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形，OE綊AB.由(1)知，AB平面PAD，OE平面PAD，又PO，AD平面PAD，OEPO，OEAD，又PAPD，POAD，PO，OE，AD两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设PA2，D(，0，0)，B(，2，0)，P(0，0，)，C(，2，0).(，0，)，(，2，
15、)，(2，0，0)，设n(x，y，z)为平面PBC的法向量，由得令y1，则z，x0，得平面PBC的一个法向量n(0，1，)，APD90，PDPA，又知AB平面PAD，PD平面PAD，PDAB，又PAABA，PA，AB平面PAB，PD平面PAB，故是平面PAB的一个法向量，(，0，)，cos，n，由图知二面角APBC为钝角，所以它的余弦值为.命题角度2已知二面角的大小求值【例32】 (2018宝鸡二模)在如图所示的几何体中，平面ADNM平面ABCD，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，DAB，AB2，AM1，E是AB的中点.(1)求证：平面DEM平面ABM；(2)在线段AM上是否存在点P，使二
16、面角PECD的大小为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由.(1)证明连接BD，由于四边形ABCD是菱形，DAB，E是AB的中点，所以DEAB，因为四边形ADNM是矩形，MAAD，平面ADNM平面ABCD且交线为AD，所以MA平面ABCD，又DE平面ABCD，所以DEAM.又AMABA，AM，AB平面ABM，所以DE平面ABM，又DE平面DEM，所以平面DEM平面ABM.(2)解在线段AM存在点P，理由如下：由DEAB，ABCD，得DECD，因为四边形ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD且交线为AD，所以ND平面ABCD.以D为原点，DE，DC，DN所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立
17、如图所示的坐标系.则D(0，0，0)，E(，0，0)，C(0，2，0)，N(0，0，1)，(，2，0)，设P(，1，m)(0m1)，则(0，1，m)，易知平面ECD的一个法向量为(0，0，1).设平面PEC的法向量为n(x，y，z)，则即取z1，则n，假设在线段AM上存在点P，使二面角PECD的大小为，则cosm，所以符合题意的点P存在，此时AP.规律方法1.利用空间向量计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内
18、找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.2.利用向量法求二面角大小的注意点(1)建立空间直角坐标系时，若垂直关系不明确，应先给出证明；(2)对于某些平面的法向量，要结合题目条件和图形多观察，判断该法向量是否已经隐含着，不用单独求.(3)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误.【训练3】 (2017山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点.(1)设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；(2)(一题多解)当AB3，AD2时，求二面角EAGC的大小.解
19、(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP，图1又BP平面ABP，所以BEBP，又EBC120，因此CBP30.(2)法一如图1，取的中点H，连接EH，GH，CH.因为EBC120，所以四边形BEHC为菱形，所以AEGEACGC.取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EMAG，CMAG，所以，EMC为所求二面角的平面角.又AM1，所以EMCM2.在BEC中，由于EBC120，由余弦定理得EC22222222cos 12012，所以EC2，因此EMC为等边三角形，故所求的角为60.法二图2以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立
20、如图2所示的空间直角坐标系.由题意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2，0，3)，(1，0)，(2，0，3).设m(x1，y1，z1)是平面AEG的法向量.由可得取z12，可得平面AEG的一个法向量m(3，2).设n(x2，y2，z2)是平面ACG的法向量.由可得取z22，可得平面ACG的一个法向量n(3，2).所以cosm，n.因此所求的角为60.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A.120 B.60C.30 D.60或30解析设直线l与平面所成的角为，直线l与平
21、面的法向量的夹角为.则sin |cos |cos 120|.又090，30.答案C2.在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D所成角大小为()A. B. C. D.解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).(1，1，0)，(1，1，1)，1(1)110(1)0，AC与B1D所成的角为.答案D3.(2018郑州调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建
22、立空间直角坐标系，如图所示.则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，所以(0，0，1)，(1，1，0)，(1，0，1).令平面ACD1的法向量为n(x，y，z)，则nxy0，nxz0，令x1，可得n(1，1，1)，所以sin |cosn，|.答案B4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B. C. D.解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，(0，1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(
23、1，y，z)，所以有即解得n1(1，2，2).平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)， cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.答案B5.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A. B. C. D.解析如图建立坐标系.则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(2，0，2).设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得n(1，1，1).D1到平面A1BD的距离d.答案D二、填空题6.(2018咸阳月考)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC9
24、0，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_.解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系.设ABBCAA12，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则(0，1，1)，(2，0，2)，2，cos，EF和BC1所成的角为60.答案607.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_.解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则(0，1，0)，(1，1，0)，(0，1，2).设平面BDC1的
25、法向量为n(x，y，z)，则所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量n (2，2，1).设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.答案8.已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_.解析延长FE，CB相交于点G，连接AG，如图所示.设正方体的棱长为3，则GBBC3，作BHAG于点H，连接EH，则EHB为所求二面角的平面角.BH，EB1，tanEHB.答案三、解答题9.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面
26、PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值.(1)证明因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.又因为ACPAA，AC，PA平面PAC，所以BD平面PAC.(2)解设ACBDO，因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz.则P(0，2)，A(0，0)，B(1，0，0)，C(0，0).所以(1，2)，(0，2，0).设PB与AC所成角为，则cos ，故PB与AC所成角的余弦值为.10.(2017北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M
27、在线段PB上，PD平面MAC，PAPD，AB4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角BPDA的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.(1)证明设ACBDO，连接OM.PD平面MAC且平面PBD平面MACMO，PDMO.四边形ABCD是正方形，O为BD中点，所以M为PB中点.(2)解取AD中点E，连接PE.PAPD，PEAD，又平面PAD平面ABCD且平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD，PE平面ABCD，OE平面ABCD，PEOE，四边形ABCD是正方形，所以OEAD.建立如图所示空间直角坐标系，则B(2，4，0)，P(0，0，)，D(2，0，0)，易知平面PDA的一个
28、法向量m(0，1，0).设平面BPD的法向量n(x0，y0，z0)，则令x1，则y1，z.可取n(1，1，).设二面角BPDA的平面角为(易知为锐角)，则cos |cosm，n|，故二面角BPDA的大小为.(3)解由(2)可知M，C(2，4，0)，.设直线MC与平面BDP所成的角为，则有sin |cos，n|.直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析不妨令CB1，则CACC12，可得O(0，0，0
29、)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，(0，2，1)，(2，2，1)，cos，0.与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.答案A12.如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为_.解析，| cos，24. cos，.又所求二面角与，互补，所求的二面角为60.答案6013.(2018合肥质检)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ADC90，ADBC，ABAC，ABAC，点E在
30、AD上，且AE2ED.(1)已知点F在BC上，且CF2FB，求证：平面PEF平面PAC；(2)当二面角APBE的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45？(1)证明ABAC，ABAC，ACB45，底面ABCD是直角梯形，ADC90，ADBC，ACD45，即ADCD，又ABAC，BCAC2AD，AE2ED，CF2FB，AEBFAD，四边形ABFE是平行四边形，ABEF，ACEF，PA底面ABCD，PAEF，PAACA，PA，AC平面PAC，EF平面PAC，EF平面PEF，平面PEF平面PAC.(2)解PAAC，ACAB，PAABA，PA，AB平面PAB，AC平面PAB，则APC为PC与平面PAB所成的角，若PC与平面PAB所成的角为45，则tanAPC1，即PAAC，取BC的中点为G，连接AG，则AGBC，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0，0，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，E，P(0，0，)，设平面PBE的法向量为n(x，y，z)，则即令y3，则x5，z，n(5，3，)，(1，1，0)是平面PAB的一个法向量，cosn，故结合图形可知当二面角APBE的余弦值为时，直线PC与平面PAB所成的角为45.
