1、习题课（五） 对数函数的图象与性质一、选择题1若函数f(x)axk1(a0，a1)过定点(2,0)，且f(x)在定义域R上是减函数，则g(x)loga(xk)的图象是()解析：选A由题意可知f(2)0，解得k2，所以f(x)ax21，又f(x)在定义域R上是减函数，所以0a0，且a1)在区间上恒有f(x)0，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A当0a0，即0a1，解得a，故a1时，函数f(x)在区间上是增函数，所以loga(1a)0，即1a1，解得a0，此时无解综上所述，实数a的取值范围是.二、填空题11不等式log (5x)log(1x)的解集为_解析：不等式满足得2x1.
2、答案：x|2x112已知函数f(x)log2为奇函数，则实数a的值为_解析：由奇函数得f(x)f(x)，log2log2，a21，因为a1，所以a1.答案：113若f(x)lg x，g(x)f(|x|)，则g(lg x)g(1)时，x的取值范围是_解析：因为g(lg x)g(1)，所以f(|lg x|)f(1)，由f(x)为增函数得|lg x|1，从而lg x1或lg x1，解得0x或x10.答案：(10，)14已知函数f(x)loga(x3)的区间2，1上总有|f(x)|2，则实数a的取值范围为_解析：x2，1，1x32.当a1时，loga1loga(x3)loga2，即0f(x)loga2
3、.|f(x)|2，解得a.当0a1时，log a2loga(x3)loga1，即loga2f(x)0.|f(x)|2，解得0a.综上可得，实数a的取值范围是（0，）(，)答案：（0，）(，)三、解答题15已知对数函数f(x)的图象过点(4,2)，试解不等式f(2x3)f(x)解：设f(x)logax(a0且a1)，因为f(4)2，所以loga42，所以a2，所以f(x)log2x，所以f(2x3)f(x)log2(2x3)log2xx3，所以原不等式的解集为(3，)16已知f(x)2log3x，x1,9，求函数yf(x)2f(x2)的最大值及此时x的值解：yf(x)2f(x2)(2log3x)
4、2log3x22(log3x)26log3x6(log3x3)23.f(x)的定义域为1,9，yf(x)2f(x2)中，x必须满足1x3，0log3x1，6y13.当x3时，y取得最大值，为13.17设定义域均为，8的两个函数f(x)和g(x)，其解析式分别为f(x)log2x2和g(x)log4x.(1)求函数yf(x)的值域；(2)求函数G(x)f(x)g(x)的值域解：(1)因为ylog2x在，8上是增函数，所以log2log2xlog28，即log2x.故log2x2，即函数yf(x)的值域为.(2)G(x)f(x)g(x)(log2x2)(log2x2)(log2x)23log2x2
5、，令tlog2x，x，8，t，则y(t23t2)2，t，故当t时，y取最小值，最小值为；当t3时，y取最大值，最大值为1.所以函数G(x)f(x)g(x)的值域为.18已知函数f(x)loga(x1)(0a1)，函数yg(x)的图象与函数f(x)的图象关于原点对称(1)写出函数g(x)的解析式；(2)判断函数f(x)g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)若x0,1)时，总有f(x)g(x)m成立，求实数m的取值范围解：(1)g(x)的图象与f(x)的图象关于原点中心对称，g(x)f(x)loga(x1)，即g(x)loga，x1.(2)函数f(x)g(x)是偶函数理由如下：记h(x)f(x)g(x)loga(1x)loga(1x1)，即h(x)loga(1x)(1x)loga(1x2)，x(1,1)h(x)loga1(x)2loga(1x2)h(x)，h(x)为偶函数，即f(x)g(x)为偶函数(3)记u(x)f(x)g(x)loga(1x)logaloga，x0,1)f(x)g(x)m恒成立，mmax.令u(x)logaloga，a(0,1)，x0,1)时，u(x)单调递减，u(x)maxu(0)loga10，m0.故实数m的取值范围为0，)
