1、数学试卷（共 4 页）第页学科网（北京）股份有限公司1东风高中、天门中学、仙桃中学 2023 届高三 12 月考试高三数学试题命题学校：仙桃中学命题人：陶晨审题人：左克义考试时间：2020 年 12 月 16 日下午 15：00-17：00试卷满分：150 分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集RU，集合1xxA，22xxB，则如图中阴影部分表示的集合为（）A.2x x B.2x x C.12xxD.1x x 2.已知复数(2i)(1 3i)()zaaR 的实部与虚部的和为 12，则|5|z （）A.3B.4C
2、.5D.63.已知 ABC 所在平面内的一点 P 满足BCPCPBPA，则点 P 必在（）A.ABC 的外面B.ABC 的内部C.边 AB 上D.边 AC 上4.已知512myxyx的展开式中24x y 的系数为 40，则 m 的值为（）A.-2B.-1C.1D.25.如图，圆内接四边形 ABCD 中，,45,2,2 2,6DAABDABBCAD现将该四边形沿 AB 旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（）A.30B.40C.1843D.20036.设0.1a，sin0.1b，1.1ln1.1c，则,a b c 的大小关系正确的是（）A.bcaB.bacC.abcD.bca7.已知,02，2s
3、in21cos2，则1tan 21tan 2（）A.52B.25 C.25D.258.定义在 R 上的偶函数 f x 满足20fxf x,当01x时,1exf xx,则（）A.0.313e2023lne10fffB.0.313e2023eln 10fff 数学试卷（共 4 页）第页学科网（北京）股份有限公司2C.0.313eeln202310fffD.0.313elne202310fff 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.对于变量 x 和变量 y，通过随机抽样获得
4、10 个样本数据,1,2,3,10iix yi，变量 x 和变量 y 具有较强的线性相关并利用最小二乘法获得回归方程为 2 yxa，且样本中心点为6,9.3，则下列说法正确的是（）A.变量 x 和变量 y 呈正相关B.变量 x 和变量 y 的相关系数0r C.21.3a D.样本数据5,12 比7 5,的残差绝对值大10.已知函数()sin()0,0,2f xAxA的部分图象如图（1）所示，函数1111()cos0,0,|g xAxA的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（）A.函数()yf x的周期为 2B.函数()yf x的图象关于直线1912x对称C.函数()1yf x 在区间0,2
5、 上有 4 个零点D.将函数()yf x的图像向左平移 23 可使其图像与()yg x图像重合11.如图，在直三棱柱111ABCA B C-中，ABC 是直角三角形，且1ACBC，13AA，E 为1B C的中点，点 F 是棱11AC 上的动点，点 P 是线段1A B 上的动点，则下列结论正确的是（）A.异面直线 AB 与1B C 所成角的余弦值是24B.三棱柱111ABCA B C-的外接球的球面积是20C.当点 P 是线段1A B 的中点时，三棱锥1PB CF的体积是312D.PEPF的最小值是 75数学试卷（共 4 页）第页学科网（北京）股份有限公司312.设函数0,ln0,2)(2xxx
6、xxxf，则下列命题中正确的是（）A.若方程()f xa有四个不同的实根1x，2x，3x，4x，则1234xxxx的取值范围是(0,1)B.若方程()f xa有四个不同的实根1x，2x，3x，4x，则1234xxxx的取值范围是(0,)C.若方程()f xax有四个不同的实根，则 a 的取值范围是10,eD.方程21()()()10fxaf xa 的不同实根的个数只能是 1，2，3，6三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知,a b 为单位向量，3ab，则,a b 的夹角为_14.某校安排 5 名同学去 A，B，C，D 四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个
7、基地至少安排一人，则甲同学被安排到 A 基地的排法总数为_.15.已知事件 A 和 B 是互斥事件，16P C，118P BC，89PAB C，则 P A C _16.已知0,x，11 lnxx exx，则实数 的取值范围为_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（10 分）在 ABC中，内角,A B C 的对边分别为,a b c.已知 cos2cos2cosACcaBb（1）求 sinsinCA的值（2）若1cos,24Bb，求 ABC的面积.18.（12 分）已知函数 2e21xfxxax，其中Ra，若 f x 的图象在点 0,0f处的切线方
8、程为 210 xby（1）求函数 f x 的解析式；（2）求函数 f x 在区间3,1上的最值19.（12 分）设等差数列 na的前 n 项和为nS，已知535S，且4a 是1a 与13a 的等比中项，数列 nb的前 n 项和245nTnn（1）求数列 nnab、的通项公式；（2）若14a，对任意*nN总有1122111444nnSbSbSb恒成立，求实数 的最小值数学试卷（共 4 页）第页学科网（北京）股份有限公司420.（12 分）如图，在三棱柱111ABCA B C-中，1AA 平面 ABC，D 为线段 AB 的中点，4CB，4 3AB，118AC（1）证明：1CBA D；（2）若三棱锥
9、1AA DC的体积为16 33，求平面1DAC 与平面1ACB 夹角的余弦值21.（12 分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到 22列联表如下：35 岁以下（含 35 岁）35 岁以上合计使用移动支付402060不使用移动支付103040合计5050100（1）按年龄 35 岁以下（含 35 岁）是否使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3 人颁发参与奖励，设使用移动支付的人数为 X，求 X 的分布列及期望.（2）用这100位市民使用移动支付的
10、频率代替全市市民使用移动支付的概率，从全市随机中选出10人，则使用移动支付的人数最有可能为多少？22.（12 分）已知函数21()2ln2f xxxax（a 为常数）（1）若函数()f x 在定义域上单调递增，求 a 的取值范围；（2）若()f x 存在两个极值点1212,x xxx，且211xx，求 12f xf x的取值范围数学答案（共 4 页）第页1东风高中、天门中学、仙桃中学 2023 届高三 12 月考试数学试题答案BCCBDBACBCBCDACDAD 3260 95,1e17.（1）由正弦定理得2 sin,2 sin,2 sinaRA bRb cRC，所以 coscos22sins
11、incossinACcaCABbB即sincos2sincos2sincossincosBABCCBAB即有sin2sinABBC，即sin2sinCA所以 sin2sinCA.（5 分）（2）由（1）知sin2sincCaA，即2ca，又因为2b，所以由余弦定理得：2222cosbcaacB，即222124224aaaa，解得1a,所以2c，又因为1cos4B，所以15sin4B，故 ABC的面积为 11sin1 222acB 154=154.（10 分）18.（1）依题意，(0)1f ，切点(0,1)在切线 210 xby 上，则1b ，()fx22e21e4e241xxxxaxxaxax
12、a，而 f x 的图象在点 0,0f处的切线斜率为 2，(0)f 12a ，解得得1a ，所以函数 f x 的解析式为 2e21xf xxx.（6 分）（2）由（1）知，()fx2e232e221xxxxxx，由 0fx得2x 或12x，当 3,1x 时，32 x或 112x，有()0fx，122x，有 0fx，因此函数 f x 在1 3,2,12上单调递增，在12,2上单调递减，又3203ef，292ef，121e2f ，(1)0f，所以 f x 在3,1上的最大值为29e，最小值为12e.（12 分）数学答案（共 4 页）第页219.（1）设等差数列 na的公差为 d，由535S 得151
13、035ad，因为4a 是1a 与13a 的等比中项，所以2111312adaad化简得172ad且2123a dd，解方程组得17,0ad或 1 3,2ad故 na的通项公式为7na 或21nan（其中Nn）（3 分）因为245nTnn，所以214(1)5(1)nTnn，(2)n，所以221454(1)5(1)81nnnbTTnnnnn，因为119bT，满足上式，所以81Nnbnn；.（6 分）（2）因为14a，所以21nan，所以(2)nSn n，所以221114488141nnSbnnnn=)121121(21nn所以22211221111114442141(2)1nnSbSbSbn111
14、1 33 5(21)(21)nn111111123352121nn111221n，易见 111221n随 n 的增大而增大，从而 11112212n恒成立，所以12，故 的最小值为 12.（12 分）20.（1）证明：因为1AA 平面 ABC，CB 平面 ABC，所以1AABC，在三棱柱111ABCA B C-中，四边形11AAC C 为平行四边形，则118ACAC，因为4 3AB，4CB，所以222ABCBAC，所以CBAB，又因为1ABAAA，1AA 平面11ABB A，AB 平面11ABB A，所以CB 平面11ABB A，又1A D 平面11ABB A，所以1CBA D.（5 分）（2
15、）解：由（1）得，18 32ABCSAB BC，D为 AB 的中点，则14 32ACDABCSS，因为1AA 平面 ABC，11111116 34 3333A A CDAACDACDVVSAAAA，所以14AA，因为1BB 平面 ABC，BCAB，以点 B 为坐标原点，BA、1BB、BC 所在直线分别为 x、y、z 轴建数学答案（共 4 页）第页3立如下图所示的空间直角坐标系，则0,0,4C、2 3,0,0D、1 4 3,4,0A、1 0,4,0B，设平面1DAC 的法向量为111,mx y z，12 3,4,0DA，2 3,0,4DC ，则111112 3402 340m DAxym DCx
16、z，取12x，可得2,3,3m，设平面1ACB 的法向量为222,xny z，14 3,4,0BA，0,0,4BC，则12224 34040n BAxyn BCz，取21x，可得1,3,0n，所以，510cos,4102m nm nmn ，所以平面1DAC 与平面1ACB 夹角的余弦值为104（12 分）21（1）根据分层抽样知使用移动支付的人数为8 人，不使用移动支付的有2 人，则 X 的可能值为1，2，3，12823101115C CP XC，21823107215C CP XC，30823107315C CP XC，分布列为X123P11571571517712()1231515155E
17、 X .（6 分）（2）从全市随机选出10人，设使用移动支付的人数为Y，则310,5YB，且100,5253)(1010kNkCkYPkkk由10111110101019110103232555532325555kkkkkkkkkkkkCCCC ，解得 283355k，因为*kN，所以6k 数学答案（共 4 页）第页4故使用移动支付的人数最有可能为 6.（12 分）22.（1）21()2ln(0)2f xxxax x，2()fxxax，()f x是定义域上的单调递增函数，()0fx在定义域上恒成立，即 20 xax 在(0)，上恒成立即2axx，令2()0g xx xx，则2()2 2g xx
18、x，当且仅当2x 等号成立实数 a 的取值范围为(，2 2.（5 分）（2）由（1）知222()0 xaxfxxaxxx，根据题意由()f x 有两个极值点，即方程220 xax有两个正根1x，2x 所以122xx，12xxa，不妨设1202xx，则()f x 在1(x，2)x上是减函数，12()()f xf x，12|()()|f xf x12()()f xf x22111222112ln2ln22xxaxxxax22112121221()()()2ln2xxxxxxxx2212121()2ln2xxxx222222122ln2ln22 xxx，令22tx，则2t，又21222|1xxxx，即22220 xx，解得222x，2224tx 设12()2ln2ln 2(24)2h ttttt，则22(2)()02th tt，()h t在(2，4上单调递增，(2)0h，3(4)2ln 22h，()h t 302ln 22，即12|()()|f xf x302ln22，所以12|()()|f xf x的取值范围为302ln22，.（12 分）
