1、03第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念课时过关能力提升基础巩固1.已知C=复数,A=实数,B=纯虚数,全集U=C,则下面结论正确的是()A.AB=CB.UA=BC.A(UB)=D.B(UB)=C答案:D2.若z=(m2-1)+(m-1)i(mR)是纯虚数,则()A.m=1B.m=-1C.m=1D.m1解析:z是纯虚数,m2-1=0,m-10,解得m=1,m1.m=-1.故选B.答案:B3.以2i-5的虚部为实部,以5i-2的实部为虚部的复数是()A.2+iB.2-2iC.5+5iD.-5+5i解析:2i-5的虚部为2,5i-2的实部为-2,
2、故所求复数为2-2i.答案:B4.若a-2i=1+bi,其中a,bR,i是虚数单位,则a2+b2= ()A.0B.2C.25D.5解析:由复数相等的充要条件可知a=1,b=-2,所以a2+b2=1+(-2)2=5.答案:D5.若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a=.解析:由4-3a=a2,-a2=4a,得a=-4.答案:-46.已知复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(mR).若z是纯虚数,则m=.解析:z为纯虚数,log2(m2-3m-3)=0,log2(3-m)0,m2-3m-30,3-m0,m=-1.答案:-17.已知z=(m2-5m-6)+(m2-2m-3)i
3、(mR),则当m=时,z为实数;当m=时,z为纯虚数.解析:当z为实数时,由m2-2m-3=0,得m=3或m=-1.当z为纯虚数时,由m2-5m-6=0,m2-2m-30,得m=6.答案:3或-168.若不等式m2-(m2-3m)i(m2-4m+3)i+10成立,求实数m的值.分析:由于题目中两个复数能比较大小,因此它们都是实数,由此列出关于m的方程组,求出m的值.解:由题意,得m2-3m=0,m2-4m+3=0,m210,即m=0或m=3,m=3或m=1,|m|z2,求实数m的取值集合.解:依题意有m3+3m2+2m=0,m2-5m=0,m2+14m-2,解得m=0或-1或-2,m=0或5,
4、m3或m1,因此m=0,故实数m的取值集合为0.能力提升1.已知集合M=1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i,集合P=-1,3,若MP=3,则实数m的值为()A.-1B.-1或4C.6D.6或-1解析:MP=3,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.m2-3m-1=3,m2-5m-6=0.m=-1.故选A.答案:A2.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,bR)为实数的充要条件是()A.|a|=|b|B.a0,且abD.a0解析:复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,故a0.答案:D3.在下列命题中,真命题的个数是()若x,yC,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=
5、1;若a,bR,且ab,则a+i2b+i2;若x2+y2=0,则x=y=0.A.0B.1C.2D.3解析:解答本题只需根据复数的有关概念判断即可.因为x,yC,所以x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的前提条件,故是假命题;因为i2=-1,且ab,所以a+i2b+i2成立,故是真命题;当x=1,y=i时,x2+y2=0也成立,故是假命题.答案:B4.已知复数z1=sin 2+icos ,z2=cos +i3sin .若z1=z2,则等于()A.k(kZ)B.2k+3(kZ)C.2k3(kZ)D.2k+6(kZ)解析:由复数相等的充要条件可知sin2=cos,cos=3sin,cos
6、=32,sin =12.=6+2k(kZ),故选D.答案:D5.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(aR)不是纯虚数,则()A.a=-1B.a-1,且a2C.a-1D.a2解析:当a2-a-20时,已知的复数一定不是纯虚数,解得a-1,且a2.当a2-a-2=0,且|a-1|-1=0时,已知的复数也不是纯虚数,解得a=-1或2,a=0或2,故a=2.综上,可知当a-1时,已知的复数不是纯虚数,故选C.答案:C6.已知复数z1=m+(4+m)i(mR),z2=2cos +(+3cos )i(R),若z1=z2,则的取值范围是.解析:z1=z2,m=2cos,4+m=+3cos.=4-cos .又-1cos 1,34-cos 5.3,5.答案:3,57.是否存在实数m,使复数z=(m2-m-6)+m2+2m-15m2-4i为纯虚数?若存在,求出m的值;否则,请说明理由.分析:先假设存在实数m使复数z为纯虚数,由纯虚数的定义将问题转化为实数范围内方程组的解的问题进行求解.解:不存在.理由如下:假设存在实数m使z是纯虚数,则m2-m-6=0,m2+2m-15m2-40.由,得m=-2或m=3.当m=-2时,式左端无意义;当m=3时,式不成立,故不存在实数m使z是纯虚数.