1、2.2.1综合法和分析法第1课时综合法课时过关能力提升一、基础巩固1.如果公差不为零的等差数列中的第二、第三、第六项构成等比数列,那么这个等比数列的公比等于()A.1B.2C.3D.4解析:设等差数列的首项为a1,公差为d,等比数列的公比为q,则a2=a1+d,a3=a1+2d,a6=a1+5d.因为a2,a3,a6构成等比数列,所以a32=a2a6,所以a1=-d2.所以q=a3a2=3.故选C.答案:C2.已知a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断:(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20;ab与a1,则ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析:tan At
2、an B1,角A、角B只能都是锐角.tan A0,tan B0,1-tan Atan B0.tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanBsin Asin B,则ABC的形状一定是.解析:因为cos Acos Bsin Asin B,所以cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)0.故cos C0,y0,x-2y0,即x2-5xy+4y2=0,解得xy=1或xy=4.因为x2y,所以xy=4,即log2xy=log24=4.答案:48.函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,若当x1时,f(x)=(x+1)2-1,则当x1时,f(x)的解析式为.解析:设点(x0,
3、y0)(x01)在函数f(x)=(x+1)2-1的图象上,又设点(x0,y0)关于直线x=1的对称点为(x,y).由对称可知x=2-x0,y=y0,则x0=2-x,y0=y,将点(2-x,y)的坐标代入f(x)=(x+1)2-1,得y=(2-x+1)2-1,即y=(x-3)2-1,所以当x1时,f(x)的解析式为f(x)=(x-3)2-1.答案:f(x)=(x-3)2-19.设a0,b0,c0,且a+b+c=1,求1a+1b+1c的最小值.解:1a+1b+1c=a+b+ca+b+a+cb+c+a+bc =1+ba+ca+1+ab+cb+1+ac+bc3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=13
4、时,等号成立.故所求最小值为9.10.设a,b,c为不全相等的正数,且abc=1,求证:1a+1b+1ca+b+c.分析:解答本题可先把abc=1代入,再利用基本不等式进行推证.证明:a,b,c为正数,abc=1,1a+1b+1c=bc+ca+ab. 又bc+ca2bcca=2c,ca+ab2caab=2a,ab+bc2abbc=2b,且a,b,c不全相等,上述三个不等式中的“=”不能同时成立.2(bc+ca+ab)2(c+a+b),即bc+ca+aba+b+c.故1a+1b+1ca+b+c. 11.在锐角三角形ABC中,已知3b=23asin B,且cos B=cos C,求证:ABC是等边
5、三角形.证明:3b=23asin B,由正弦定理,得3sin B=23sin Asin B.B(0,),sin B0,sin A=32.ABC是锐角三角形,A=3.cos B=cos C,B=C.A=B=C=3.ABC是等边三角形.二、能力提升1.设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若f(1)1,f(2)=3a-4a+1,则a的取值范围是()A.a34 B.a34或a-1 D.-1a1,可得f(2)-1,即3a-4a+1-1,解得-1a34.答案:D2.算数书竹简是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了
6、由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V136L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3,则近似公式V275L2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A.227B.258C.15750D.355113解析:由题意可知L=2r,即r=L2,圆锥的体积V=13Sh=13r2h=13L22h=112L2h275L2h,故112275,258,应选B.答案:B3.若O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OP=OA+AB|AB|+AC|AC|,0,+),则动点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析:OP=OA+AB|AB|+AC|AC
7、|,AP=AB|AB|+AC|AC|.AP平分ABC中的BAC.动点P的轨迹一定通过ABC的内心.答案:B4.已知函数f(x)=2x,a,b为正实数,A=fa+b2,B=f(ab),C=f2aba+b,则A,B,C的大小关系是_.解析:a+b2ab(a,b为正实数),2aba+bab,且f(x)=2x在R上是增函数,f2aba+bf(ab)fa+b2,即CBA.答案:CBA5.已知sin +sin +sin =0,cos +cos +cos =0,则cos(-)的值为.解析:sin +sin +sin =0,cos +cos +cos =0,sin+sin=-sin,cos+cos=-cos.
8、以上两式两边平方相加,得2+2(sin sin +cos cos )=1,cos(-)=-12.答案:-126.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在正方体的表面上与点A距离为233的点形成一条曲线,这条曲线的长度为_.解析:这条曲线在平面ADD1A1上的一段是以A为圆心,233为半径,6为圆心角的一段圆弧,在平面A1B1C1D1上的一段是以A1为圆心,33为半径,2为圆心角的一段圆弧.由正方体的对称性知,这条曲线的长度为36233+233=536.答案:5367.数列an满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN*.(1)证明:数列ann是等差数列;(2)设bn=3
9、nan,求数列bn的前n项和Sn.(1)证明:由已知可得an+1n+1=ann+1,即an+1n+1-ann=1.所以数列ann是以a11=1为首项,1为公差的等差数列.(2)解:由(1)得ann=1+(n-1)1=n,所以an=n2.从而bn=n3n.Sn=131+232+333+n3n,3Sn=132+233+(n-1)3n+n3n+1.-,得-2Sn=31+32+3n-n3n+1=3(1-3n)1-3-n3n+1=(1-2n)3n+1-32,所以Sn=(2n-1)3n+1+34.8. (2018北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,
10、PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PEBC;(2)求证:平面PAB平面PCD;(3)求证:EF平面PCD.证明:(1)PA=PD,且E为AD的中点,PEAD.底面ABCD为矩形,BCAD,PEBC.(2)底面ABCD为矩形,ABAD.平面PAD平面ABCD,AB平面PAD.ABPD.又PAPD,PAAB=A,PD平面PAB.PD平面PCD.平面PAB平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.F,G分别为PB和PC的中点,FGBC,且FG=12BC.四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,EDBC,ED=12BC,EDFG,且ED=FG,四边形EFGD为平行四边形,EFGD.又EF平面PCD,GD平面PCD,EF平面PCD.
