1、课时跟踪检测（十三）导数的概念与计算 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1函数 f(x)(x2a)(xa)2 的导数为_解析：f(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3，f(x)3(x2a2)答案：3(x2a2)2已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)2xf(1)ln x，则 f(1)_.解析：由 f(x)2xf(1)ln x，得 f(x)2f(1)1x.f(1)2f(1)1，则 f(1)1.答案：13(2016徐州一中检测)曲线 yf(x)x(x1)(x2)(x6)在原点处的切线方程为_解析：y(x1)(x2)(x6)x(x1)(x2)(x6)，所以 f(0)(1)(2)(
2、3)(4)(5)(6)0720.故切线方程为 y720 x.答案：y720 x4(2015全国卷)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_.解析：f(x)3ax21，f(1)3a1.又 f(1)a2，切线方程为 y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得 a1.答案：15已知曲线 yx3x2 在点 P0 处的切线 l 与直线 4xy10 平行，且点 P0 在第三象限，则点 P0 的坐标为_解析：设 P0(x0，y0)由 yx3x2，得 y3x21.由已知，得 3x2014，解得 x01.当 x01 时，y00；当 x01
3、 时，y04.又点 P0 在第三象限，切点 P0 的坐标为(1，4)答案：(1，4)二保高考，全练题型做到高考达标1某物体做直线运动，其运动规律是 st23t(t 的单位：s，s 的单位：m)，则它在第4 s 末的瞬时速度为_ m/s.解析：s2t3t2，在第 4 s 末的瞬时速度 vs|t48 31612516 m/s.答案：125162(2015苏州二模)已知函数 f(x)(x22)(ax2b)，且 f(1)2，则 f(1)_.解析：f(x)(x22)(ax2b)ax4(2ab)x22b，f(x)4ax32(2ab)x 为奇函数，所以 f(1)f(1)2.答案：23已知 f(x)x(2 0
4、15ln x)，若 f(x0)2 016，则 x0_.解析：f(x)2 015ln xx1x2 016ln x，故由 f(x0)2 016 得 2 016ln x02 016，则 ln x00，解得 x01.答案：14(2016金陵中学模拟)设点 P 是曲线 yx3 3x23上的任意一点，P 点处切线倾斜角 的取值范围为_解析：因为 y3x2 3 3，故切线斜率 k 3，所以切线倾斜角 的取值范围是0，2 23，.答案：0，2 23，5已知 f(x)ln x，g(x)12x2mx72(m0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都相切，且与 f(x)图象的切点为(1，f(1)，则 m 的
5、值为_解析：f(x)1x，直线 l 的斜率为 kf(1)1，又 f(1)0，切线 l 的方程为 yx1.g(x)xm，设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有 x0m1，y0 x01，y012x20mx072，m0)在 x1 处的切线为 l，求 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值解：因为 f(1)1a1，所以切点为1，1a1.由已知，得 f(x)2xa，切线斜率 kf(1)2a，所以切线 l 的方程为 y1a1 2a(x1)，即 2xaya10.令 y0，得 xa12；令 x0，得 ya1a.所以 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积 S12a12a1a14a1a 12
6、142a1a121，当且仅当 a1a，即 a1 时取等号，所以 Smin1.故 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为 1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知曲线 C：f(x)x3axa，若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则 a 的值为_解析：设切点坐标为(t，t3ata)由题意知，f(x)3x2a，切线的斜率 ky|xt3t2a，所以切线方程为 y(t3ata)(3t2a)(xt).将点 A(1,0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t)，解得 t0 或 t32.分别将 t0 和 t32代入式，得 ka 和k274 a，由题意得它们互为相
7、反数，故 a278.答案：2782(2016无锡一中检测)已知函数 f(x)f 4 cos xsin x，则 f 4 的值为_解析：f(x)f 4 cos xsin x，f(x)f 4 sin xcos x，f 4 f 4 22 22，f 4 21.故 f 4(21)22 22 1.答案：13(2016苏北四市调研)设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 yf(x)上任意一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解：(1)f(x)a bx2.点(2，f(2)在切线 7x4y120 上，f(2)2712412.又曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120，f274，f212ab474，2ab212a1，b3.f(x)的解析式为 f(x)x3x.(2)设x0，x03x0 为曲线 yf(x)上任意一点，则切线的斜率 k1 3x20，切线方程为 yx0 3x0 1 3x20(xx0)，令 x0，得 y 6x0.由yx03x0 13x20 xx0，yx，得x2x0，y2x0.曲线 yf(x)上任意一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积 S12|2x0|6x0 6，为定值