1、安徽省六安中学2021届高三数学上学期开学考试试题 文时间：120分钟 分值：150分 一、单选题1已知是实数集，集合，则（ ）ABCD2是虚数单位， 则( )A2BC4D3阿基米德(Archimedes，公元前287年一公元前212年)是古希腊伟大的数学家物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36，则圆柱的表面积为（ ）A36B45C54D634洛书，
2、古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中各随机选取1个数，则选取的两数之和能被5整除的概率（ ）A B.C.D5“关注夕阳、爱老敬老”某马拉松协会从年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第年(年是第一年)与捐赠的现金(万元)的对应数据，由此表中的数据得到了关于的线性回归方程，则预测年捐赠的现金大约是( )A 万元B万元C万元D万元6若实数a，b满足，则（ ）ABCD17已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）A4B5
3、C6D78函数的图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（ ）A.向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位9执行如图所示的程序框图，输出的结果是31，则判断框中应填入（ ）A？ B？ C？ D？10已知为等比数列,则（ ）A B C D11已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（ ）A B C D12已知三棱锥DABC中，ABBC1，AD2，BD，AC，BCAD，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B6 C5D8二、填空题13设满足约束条件，则的最小值是_.14已知向量，若，则实数的值为_.15已知函数f（x）=axlnxbx（a，bR）在点（e，f
4、（e）处的切线方程为y=3xe，则a+b=_.16如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，记其前项和为，则=_三、解答题17某校高一年级1000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如下表： 组号第一组第二组第三组第四组第五组分组（1）求生物成绩在50，60）内的人数；（2）若同组中的每个数据用该组区同中点值代替，根据频率分布直方图，估计这1000名学生生物成绩的平均分：（3）现有5名同学，其中3人的成绩在第三组内，2人的成绩在第四组内，从这5名同学中随机抽取2名，求这2名同学来自不同组的概率18的
5、内角，的对边分别为，已知.（1）求的大小；（2）若的周长为18，面积为，求外接圆的面积.19如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，（I）证明：平面平面；（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.20设函数（）.（1）讨论函数的极值；（2）若函数在区间上的最小值是4，求a的值.21已知椭圆的左右焦点分别为、，上顶点为，若直线的斜率为，且与椭圆的另一个交点为，的周长为（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线（直线的斜率不为）与椭圆交于、两点，点在点的上方，若，求直线的斜率22选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式：；（2）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，求实数的取值范围
6、.参考答案1C【解析】【分析】先求得的集合，进而得到，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，所以，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2B【解析】【分析】根据复数的除法运算求出的代数形式，然后再求出【详解】由题意得， 故选B【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，解题的关键是正确进行复数的运算，属于简单题3C【解析】【分析】先设球的半径为，根据体积求出，再由题意，得出圆柱的底面圆半径，以及圆柱的高，根据圆柱的表面积公式，即可求出结果.【详解】因为球的体积为，设
7、球的半径为，则，所以，又圆柱的底面直径与高都等于球的直径，所以圆柱的底面圆半径为，高为，因此圆柱的表面积为.故选：C.【点睛】本题主要考查圆柱与球内切的相关计算，熟记圆柱的表面积公式，以及球的体积公式即可，属于基础题型.4C【解析】【分析】由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9. 各选一个数，求出所有的选法，求出其和能被5整除的选法种数，根据古典概型的概率计算公式，即得答案.【详解】由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9.各选一个数，共有种选法.其和能被5整除的分别为：2，3；4，1；6，9；8，7，共4种选法，选取的两数之和能被5整除的概率.故选：C.
8、【点睛】本题考查古典概型和计数原理，属于基础题.5C【解析】【分析】由已知求出，代入回归直线的方程，求得，然后取，求得的值，即可得到答案.【详解】由已知得，所以样本点的中心点的坐标为，代入，得，即，所以，取，得，预测2019年捐赠的现金大约是万元.【点睛】本题主要考查了线性回归方程以及应用，其中解答中熟记回归直线的方程经过样本中心点是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6D【解析】【分析】先将指数式化成对数式，求出，再利用换底公式的推论以及对数的运算法则即可求出【详解】因为，所以，故选：D【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化、换底公式推论的应用以及对数的运算法则的应用7A【解
9、析】【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.8A【解析】【分析】函数过 代入解得，再通过平移得到的图像.【详解】，函数过向右平移个单位得到的图象故答案选A【点睛】本题考查了三角函数图形，求函数表达式，函数平移，意在考查学生对于三角函数图形的理解.9C【解析】【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律判断输出结果与循环次数以及的关系，最终得出选项【详解】解：经判
10、断此循环为“当型”结构，判断框内为跳出循环的语句第1次循环：，；第2次循环：，；第3次循环：，；第4次循环：，；此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句“？”故选：C【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律是解题的关键，属于基础题10D【解析】【分析】由条件可得的值，进而由和可得解.【详解】或.由等比数列性质可知或故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.11B【解析】【分析】设，因为再结合双曲线方程可解出，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点，则又，由得，即，故选B【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联
11、系导致求解不畅12B【解析】【分析】由题意结合平面几何、线面垂直的判定与性质可得BCBD，ADAC，再由平面几何的知识即可得该几何体外接球的球心及半径，即可得解.【详解】 ABBC1，AD2，BD，AC，DAAB，ABBC，由BCAD 可得BC平面DAB，DA平面ABC，BCBD，ADAC，CD，由直角三角形的性质可知，线段CD的中点到点A，B，C，D的距离均为，该三棱锥外接球的半径为，故三棱锥的外接球的表面积为46.故选：B.【点睛】本题考查了三棱锥几何特征的应用及其外接球表面积的求解，考查了运算求解能力与空间思维能力，属于中档题.13-6【解析】【分析】由约束条件画出可行域,再变形为,即在
12、可行域内找到使该直线截距最大的点,进而求解.【详解】由题,可行域如图所示,设,平移直线,当直线与点相交时,直线的截距最大,所以的最小值为,故答案为:【点睛】本题考查利用目标函数的几何意义求最值,考查简单的线性规划问题,考查数形结合思想.14【解析】【分析】由可得，由即可求得m值.【详解】，即，可得，得出，.故答案为：【点睛】本题考查两个向量垂直的应用，考查向量的模的求解，属于基础题.150【解析】【分析】由题意，列方程组可求，即求.【详解】在点处的切线方程为，代入得.又.联立解得：.故答案为：0.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.16361【解析】【分析】将按照奇偶分别计算：当 为偶
13、数时，；当为奇数时，计算得到答案.【详解】解法一：根据杨辉三角形的生成过程，当为偶数时，当为奇数时，解法二：当时，当时，【点睛】本题考查了数列的前N项和，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.17（1）50人；（2）平均分为74.5；（3）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出在内的频率，进而可求出成绩在50，60）内的人数.（2）由平均数等于小矩形的面积乘以小矩形底边中点横坐标之和即可求解.（3）这2名同学来自不同组”为事件A，设第三组的3名同学为a，b，c，第四组的2位同学为x，y，列举法求出基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】解：（1）由题意，生物成绩在
14、内的频率为1(0.0110+0.0210+0.0310+0.03510)=0.05，所以生物成绩在内的人数为0.051000=50 答：生物成绩在内的人数为50人（2）由频率分布直方图，分数在50，60)内的频率为0.05，60，70)内的频率为0.35，70，80)内的频率为0.3，80，90)的频率为0.2，90，100的频率为0.1，所以这1000名学生期中考试生物成绩的平均分的估计值为：550.05+650.35+750.3+850.2+950.1=74.5 答：这1000名学生生物成绩的平均分为74.5 （3）设“这2名同学来自不同组”为事件A，设第三组的3名同学为a，b，c，第四组
15、的2位同学为x，y，则样本空间为（a，b），（a，c），（a，x），（a，y），（b，c），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（x，y），事件A=（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y）所以 答：这2名同学来自不同组的概率为 【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数、样本容量、古典概型的概率计算公式，属于基础题.18（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理，得到，再由余弦定理即可求出角；（2）根据题意，由三角形面积公式，以及余弦定理，求出，再由正弦定理，得到外接圆半径，进而可求出外接圆的面积.【详解】（1）根据题意，由正弦定理可得：，；（2
16、）由题意，又，；由正弦定理得外接圆直径，半径，外接圆的面积.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理以及余弦定理即可，属于常考题型.19（1）见解析（2）3+2【解析】试题分析：（）由四边形ABCD为菱形知ACBD，由BE平面ABCD知ACBE，由线面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面平面；（）设AB=，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在AEC中，用x表示EG，在EBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥的体积为求出x，即可求出三棱锥的侧面积.试题解析：（）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又
17、AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（）设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120，可得AG=GC=,GB=GD=.因为AEEC，所以在AEC中，可得EG=.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=.由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故=2从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力20（1）当时，函数在R上无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）【解析】【分析】（1）求得函数的导数，分类讨论即可求解函数的单调
18、区间，得到答案.（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，此时最小值不满足题意；当时，由（1）得是函数在上的极小值点，分类讨论，即可求解.【详解】解：（1）.当时，在R上单调递增；无极值当时，解得，由，解得.函数在上单调递减，函数在上单调递增，的极小值为，无极大值综上所述：当时，函数在R上无极值；当时，的极小值为，无极大值.（2）由（1）知，当时，函数在R上单调递增，函数在上的最小值为，即，矛盾.当时，由（1）得是函数在R上的极小值点.当即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即，符合条件.当即时，函数在上单调递减，则函数的最小值为即，矛盾.当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，则函数
19、的最小值为，即.令（），则，在上单调递减，而，在上没有零点，即当时，方程无解.综上，实数a的值为.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用；本题属于难题.21（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆的定义得出的周长为可求出的值，又由直线的斜率得出，可求出、的值，从而得出椭圆的标准方程；（2）
20、将直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由题意分析得出，代入韦达定理可求出实数的值，即可得出直线的斜率.【详解】（1）根据题意，因为的周长为，所以，即，由直线的斜率，得，因为，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意可得直线方程为，联立得，得，解得，所以，因为，即，所以，当直线的斜率为时，不符合题意；故设直线的方程为，设点、，由点在点的上方，且，则有，联立，所以，由韦达定理得，消去得，所以，得，又由画图可知不符合题意，所以，故直线的斜率为【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中的三角形面积比的计算，解题时要结合已知
21、条件将三角形的面积比转化为共线向量来处理，并结合韦达定理进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.22（1）（2）【解析】试题分析：（）由已知，可按不等中两个绝对值式的零点将实数集分为三部分进行分段求解，然后再综合其所得解，从而求出所求不等式的解集；（）由题意，可将的值分为和进行分类讨论，当时，函数不过原点，且最小值为，此时满足题意；当时，函数，再由函数的单调性及值域，求出实数的范围，最后综合两种情况，从而得出实数的范围.试题解析：（）由题意知，原不等式等价于或或，解得或或，综上所述，不等式的解集为.（）当时，则 ，此时的图象与轴围成一个三角形，满足题意：当时， ，则函数在上单调递减，在上单调递增.要使函数的图象与轴围成一个三角形，则，解得；综上所述，实数的取值范围为.
