1、蔡甸区第二中学2013-2014学年高一下学期六科竞赛数学（理）试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 将函数y=cosx+sinx（xR）的图像向左平移m（m0）个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是（ ）A. B. C. D 2.已知，则的值为（ ）A B C D 3.函数在一个周期内的图象如右，此函数的解析式为（ ）ABC D4.在中，角所对的边分别为，若，且，则下列关系一定不成立的是（ ）A. B. C. D.5. 各项均为正数的等比数列的前项和记为（ ）A150 B-200 C150或-200 D-50或4006.已知数列的首项，且，则为 （ ）
2、A7 B15 C30 D317.用火柴棒摆“金鱼”，按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）A B C D. 8. 在各项均为正数的等比数列中，若，则 等于（ ）A5 B 6 C7 D 8 9.等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）A B C D10. 张丘建算经卷上第22题“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ）A尺 B尺 C尺 D尺二. 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共2 5分。11.给出下面命题：函数是奇函数；存在实数，使得；若是第一象限角且，则；是函数的一
3、条对称轴；在区间上的最小值是2，最大值是，其中正确命题的序号是 12.已知，若，化简 _13.设ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a, b, c，若ABC的面积为S = a2(bc)2，则= . 14. 设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为15已知函数f(x)sin2x2cos2xm在区间0，上的最大值为3，则（）m ；（）对任意aR，f(x)在a，a20上的零点个数为 三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. （本小题满分12分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且角A、B、C成等差
4、教列 ( I )若，求边c的值；( II)设，求t的最大值17（本小题满分12分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知sin(AB)cosC（）若a3，b，求c；（）求的取值范围18. （本小题满分12分） 已知向量，（1）求；（2）若的最小值是，求实数的值19. （本小题满分12分）成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、.(I) 求数列的通项公式;(II) 数列的前n项和为,求证:数列是等比数列.20. (本小题满分13分)已知等差数列an的首项为a设数列的前n项和为Sn ，且对任意正整数n都有(1)求数列an的通项公式及Sn
5、 ；(2)是否存在正整数n和k，使得 成等比数列？若存在，求出n和k的值；若不存在，请说明理由21. （本小题满分14分）已知数列的首项（1）求证：数列为等比数列；（2）记，若，求最大正整数的值；（3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列，且成等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由. 学校_ 班级_ 姓名_ 考号_2013-2014学年蔡甸区第二中学六科竞赛数学（理科）答题卷一、选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910答案二、填空题（每小题5分,共25分）11. 12. 13. 14. 15. （） （）三、解答题（共75分）16.17.18.19.20.密
6、封 线 密 封 线 密 封 线 密 封 线21. 蔡甸区第二中学六科竞赛数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910答案BABBADDCCB11. 12. 13.4 14.2 15（）0；（）40或4116.解：（）因为角成等差数列，所以，因为，所以. 2分因为，,所以.所以或(舍去) 6分17解：（）由sin(AB)cosC，得sin(AB)sin(C)ABC是锐角三角形，ABC，即ABC， 又ABC， 由，得B由余弦定理b2c2a22cacosB，得()2c2(3)22c3cos，即c26c80，解得c2，或c4当c2时，b2c2a2()222(3)24
7、0，b2c2a2，此时A为钝角，与已知矛盾，c2故c46分（）由（），知B，AC，即CAsin(2A)ABC是锐角三角形，A，2A，sin(2A)，11故的取值范围为(1，1)12分18.解：（1） =， =2cosx. 6分（2） 由（）得 即 ， 时，当且仅当取得最小值1，这与已知矛盾时，当且仅当取最小值由已知得，解得时，当且仅当取得最小值由已知得，解得，这与相矛盾综上所述，为所求12分19.解:()设成等差数列的三个正数分别为 依题意,得 所以中的依次为 依题意,有(舍去) 故的第3项为5,公比为2. 由 所以是以为首项,2为以比的等比数列,其通项公式为 6分()数列的前项和,即 所以 所以，数列是等比数列. 12分20. (1) 设等差数列an的公差为d，在中，令n=1 可得=3，即 故d=2a， 。 经检验， 恒成立 所以 ， 6分(2) 由(1)知， 假若，成等比数列，则，即知， 又因为，所以，经整理得考虑到n、k均是正整数，所以n=1，k=3所以，存在正整数n=1和k=3符合题目的要求。13分21.解：（1）因为，所以 又因为，所以，所以数列为等比数列. 4分（2）由（1）可得，所以， 若，则，所求最大正整数的值为100. 9分（3）假设存在满足题意的正整数，则， 因为，所以， 化简得，因为， 当且仅当时等号成立，又互不相等，所以满足题意的正整数不存在. 14分