1、3.1.2 概率的意义 必备知识自主学习 1.对概率的正确理解 随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有规律性.认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性.概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生.【思考】(1)这里的“规律性”是指什么？提示：在一定条件下，随机事件发生的概率是一个固定值.(2)这里的“可能性”是指什么？提示：概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，概率大的事件，在条件满足时，发生的可能性就大；概率小的事件，在条件满足时，发生的可能性就小.2.实际案例(1)游戏的公平性 裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先
2、猜，猜中并取得发球机 会的概率均为0.5，所以这个规则是公平的.在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则即对每个人都是_的这一 重要原则.公平(2)决定中的概率思想 如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得 样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极 大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.(3)天气预报的概率解释：天气预报的“降水概率”是_事件的概率，是指明了“降水”这个随机事 件发生的可能性的_.随机 大小(4)试验与发现：概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔用豌豆作试验，经过长期观察得出了显性
3、与隐性的比例接近31，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律.(5)遗传机理中的统计规律：孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律.利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系.【思考】(1)在设计游戏规则时，如何做到“公平”？提示：使参加游戏的各方均有等可能的获胜机会，即获胜的概率相等.(2)决策中的“极大似然法”是什么，你能举例说明吗？提示：例如，同时向上抛1 000个铜板，结果落地时1 000个铜板朝上的面都相同，我们更有理由认为，这1 000个铜板两面相同.(3)你是怎样理解概率天气预报的？提示
4、：概率天气预报是用概率值表示预报量出现的可能性的大小，它所提供的不是某种天气现象的“有”或“无”，某种气象要素值的“大”或“小”，而是天气现象出现的可能性有多大.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)某医院治愈某种病的概率为0.8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈.()(2)天气预报中预报某地降水概率为10%，概率太小，不可能降水.()(3)一个游戏通过掷骰子决定输赢，规定掷出骰子的点数不小于4点赢，这个游戏是公平的.()2.(教材二次开发：练习改编)在某场足球比赛前，教练预言说：“根据我掌握的情况，这场比赛我们队有80%的机会获胜.”那么下面四句话中，与“有80%的机会获
5、胜”意思最接近的是()A.他这个队肯定会赢这场比赛 B.他这个队肯定会输这场比赛 C.假如这场比赛可以重复进行10场，在这10场比赛中，他这个队会赢8场左右 D.假如这场比赛可以重复进行10场，在这10场比赛中，他这个队恰好会赢8场 3.某机器生产出的产品的合格率为99%，则从该机器生产出的产品中任意取一件，是不合格产品的概率为_.【解析】某机器生产出的产品的合格率为99%就是合格产品的概率为0.99，则任意取一件是不合格产品的概率为0.01.答案：0.01 关键能力合作学习 类型一 概率的意义(数学抽象)【题组训练】1.下列说法正确的是()A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先
6、后生两个小孩，则一定为一男一女 B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖 C.10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D.10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1 2.有以下说法：昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误 的；“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖；做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为 ；某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品.其中错误说法的序号是_.3103.试解释下面情况中概率的意义：(1)某商场为促进销售，
7、举办有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；(2)一生产厂家称，我们厂生产的产品合格的概率是0.98.【解题策略】理解概率意义应关注的三个方面(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.(2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映.(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.【补偿训练】老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指(
8、)A.老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂 B.在老师讲的10道题中，李峰能听懂8道 C.李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%D.以上解释都不对【解析】选C.概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%.类型二 游戏的公平性(数学运算)【典例】某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3；4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时
9、各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？【变式探究】1.在典例中，若把游戏规则改为：两人各转动一个转盘一次，转盘停止后，两 个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么(1)班代表获胜，否则(2)班代 表获胜.游戏规则公平吗？为什么？【解析】不公平.因为乘积出现奇数的概率为 =，而出现偶数的概率 为 =，概率不相等，故不公平.41213812232.若在典例中，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结
10、果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下两种方案中选一种：A.猜“是奇数”或“是偶数”；B.猜“是4的整数倍”或“不是4的整数倍”.请回答下列问题：(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？【解题策略】游戏公平性的标准及判断方法(1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的概率是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平的.(2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较.【跟踪训练】甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是()A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶
11、数则乙胜 B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜 C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 类型三 概率的简单应用(数学建模)角度1 极大似然法的应用 【典例】设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑球，乙箱有1个白球和99个黑球，今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球.问这球是从哪一个箱子中取出的.【思路导引】利用极大似然法作出判断.【发散拓】极大似然法的应用 似然法与极大似然法是“风险与决策”用到的基本决策准则思想.即在一些决策问题中，人们将概率
12、的最大状态作为决策的出发点，在概率最大的条件下，选取收益最大的方案作为最有利方案.【延伸练】某产品的标准内径为16 mm，机器生产出内径为(160.01)mm的产品视为合格产品.正常状况下某台机器生产出合格产品的概率为0.997 4，一天检验员从这台机器生产的零件中任意抽取5件，检验出有1件产品不合格，检验员立即要求该台机器操作人员停机整顿，你觉得检验员的做法合理吗？【解析】检验员的做法是合理的，因为正常状况下，该机器生产出不合格产品的概率为0.002 6，是几乎不可能发生的事情，现在抽检5件，检验出一件不合格产品，由极大似然法思想，我们有理由认为操作流程出现问题，应停机整顿.角度2 频率、概
13、率、频数的计算 【典例】为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，假设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.【思路导引】利用概率的规律性，结合样本出现的概率估计总体的数目.【解题策略】(1)频率估计概率.由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率.(2)概率估算频数.实际
14、生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等.【题组训练】1.为了估计水库中鱼的条数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，如2 000条，给每条鱼做上记号且不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让它们和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500条，查看其中有记号的鱼，设有40条.试根据上述数据，估计水库中鱼的条数.2.某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况，在校门口按系统抽 样的方法：每2分钟随机抽取一名学生，登记佩戴胸卡的学生的名字.结果，150名学生中有60名佩戴胸卡.第二次检查，
15、调查了初中部的所有学生，有500 名学生佩戴胸卡.据此估计该中学初中部共有多少名学生.【解析】设初中部有n名学生，依题意得 ，解得n=1 250.所以该中学 初中部共有学生大约1 250名.60500150n课堂检测素养达标 1.在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%.下列解释正确的是()A.100个手术有99个手术成功，有1个手术失败 B.这个手术一定成功 C.99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术 D.这个手术成功的可能性大小是99%【解析】选D.成功率大约是99%，说明手术成功的可能性大小是99%.2.某班准备到郊
16、外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能 的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是()A.一定不会淋雨 B.淋雨的可能性为 C.淋雨的可能性为 D.淋雨的可能性为 【解析】选D.所有可能的事件有“下雨帐篷到”“不下雨帐篷到”“下雨帐篷 未到”“不下雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故 淋雨的可能性为 .341214143.(教材二次开发：练习改编)经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油的合格率为80%，经调查，某市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有()A.64个 B.640个 C.16个 D.160个【解析】选C.由题意得80(1-80%)=8020%=16(个).4.某种病治愈的概率是0.3，那么10个人中，前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3？【解析】如果把治疗一个病人作为一次试验，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个人没有治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，有可能治愈，也可能没有治愈.“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人数的增加，大约有30%的人能够治愈，如果患病的有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提，就可以认为这1 000个人中大约有300人能治愈.