1、专训1.证垂直在解题中的应用名师点金：证垂直的方法：(1)在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线；(2)等腰三角形中“三线合一”；(3)勾股定理的逆定理：在几何中，我们常常通过证垂直，再利用垂直的性质来解各相关问题 利用三边的数量关系说明直角1如图，在ABC中，点D为BC边上一点，且AB10，BD6，AD8，AC17，求CD的长(第1题) 利用转化为三角形法构造直角三角形2如图，在四边形ABCD中，B90，AB2，BC，CD5，AD4，求S四边形ABCD.(第2题) 利用倍长中线法构造直角三角形3如图，在ABC中，D为边BC的中点，AB5，AD6，AC13，求证：ABAD.(第3题) 利用
2、化分散为集中法构造直角三角形4在ABC中，CACB，ACB，点P为ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转得到CD，连接AD.(1)如图，当60，PA10，PB6，PC8时，求BPC的度数；(2)如图，当90时，PA3，PB1，PC2时，求BPC的度数(第4题) 利用“三线合一”法构造直角三角形5如图，在ABC中，CACB，ACB90，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DMDN.(1)求证：CMCNBD；(2)如图，若M，N分别在AC，CB的延长线上，探究CM，CN，BD之间的数量关系(第5题)专训2.全章热门考点整合应用名师点金：本章主要学习了勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用，勾
3、股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一本章的考点可概括为：两个定理，两个应用 两个定理勾股定理1如图，在RtABC中，C90，点D是BC上一点，ADBD.若AB8，BD5，求CD的长(第1题)勾股定理的逆定理2在ABC中，BCa，ACb，ABc，设c为最长边当a2b2c2时，ABC是直角三角形；当a2b2c2时，利用代数式a2b2和c2的大小关系，可以判断ABC的形状(按角分类)(1)请你通过画图探究并判断：当ABC三边长分别为6，8，9时，ABC为_三角形
4、；当ABC三边长分别为6，8，11时，ABC为_三角形(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：“当a2b2c2时，ABC为锐角三角形；当a2b2c2时，ABC为钝角三角形”请你根据小明的猜想完成下面的问题：当a2，b4时，最长边c在什么范围内取值时，ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形？ 两个应用勾股定理的应用3如图，在公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处爆破已知C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上的另一停靠站B的距离为400 m，且CACB.为了安全起见，爆破点C周围半径250 m范围内(包括250 m)不得有人进入问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？需要暂时封锁
5、吗？(第3题)勾股定理逆定理的应用4如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5 n mile的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截已知甲巡逻艇每小时航行40 n mile，乙巡逻艇每小时航行30 n mile，航向为北偏西37，问：甲巡逻艇的航向？(第4题)答案1解：AD2BD2100AB2，ABD为直角三角形，且ADB90.在RtACD中，CD2AD2AC2，CD15.2解：连接AC.在RtACB中，AB2BC2AC2，AC3，AC2AD2CD2.ACD为直角三角形，且CAD90，S四边形ABCD2346.(第3题)3证明：如图，延长
6、AD至点E，使DEAD，连接CE，BE.D为BC的中点，CDBD.又ADDE，ADCBDE，ADCEDB，BEAC13.在ABE中，AE2AD12，AE2AB212252169.又BE2132169，AE2AB2BE2，ABE是直角三角形，且BAE90，即ABAD.点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直4解：(1)如图，连接DP，易知DCP为等边三角形，易证得CPBCDA，BPCADC，CDP60，AD6，DP8，AD2DP2AP2，ADP90，ADC150，BPC150.(第4题)(2)如图，连接DP，易得DCP
7、为等腰直角三角形，易证得CPBCDA，BPCADC，CDP45，AD1，DPCD2 ，AD2DP2AP2，ADP90，ADC135，BPC135.5(1)证明：如图，连接CD，DMDN，MDCCDN90.ACB90，ACCB，D为AB的中点，CDAB，ACDBCD45，CDNNDB90.MDCNDB.CDAB，BCD45，CDBD.在CMD和BND中，MDCNDB，MCDNBD，CDBD，CMDBND，CMBN.CMCNBNCNBC.在RtCBD中，B45，CDB90，BCBD.CMCNBD.(2)解：CNCMBD，如图，连接CD，证法同(1)(第5题)1解：设CDx，在RtABC中，有AC2
8、(CDBD)2AB2，整理，得AC2AB2(CDBD)264(x5)2.在RtADC中，有AC2CD2AD2，整理，得AC2AD2CD225x2.由两式，得64(x5)225x2，解得x1.4，即CD的长是1.4.点拨：勾股定理反映了直角三角形三边长之间的数量关系，利用勾股定理列方程思路清晰、直观易懂2解：(1)锐角；钝角(2)a2b2224220，c为最长边，246，4cc2，得c220，0c2 ，当4c2 时，这个三角形是锐角三角形；由a2b2c2，得c220，c2 ，当c2 时，这个三角形是直角三角形；由a2b220，c2 ，当2 c6时，这个三角形是钝角三角形3解：如图，过点C作CDAB于点D.在RtABC中，因为BC2AC2AB2，BC400 m，AC300 m，所以AB2400230025002，所以AB500 m.(第3题)因为SRtABCABCDBCAC，所以500CD400300，所以CD240 m.因为240250，所以公路AB段有危险，需要暂时封锁4解：AC400.14(n mile)，BC300.13(n mile)因为AB5 n mile，所以AB2BC2AC2，所以ACB90.因为CBA903753，所以CAB37，所以甲巡逻艇的航向为北偏东53.
