1、基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016山东师大附中月考)曲线yax在x0处的切线方程是xln 2y10，则a()A. B.2 C.ln 2 D.ln解析由题知yaxln a，y|x0ln a，又切点为(0，1)，故切线方程为xln ay10，a.答案A2.若f(x)2xf(1)x2，则f(0)等于()A.2 B.0 C.2 D.4解析f(x)2f(1)2x，令x1，得f(1)2，f(0)2f(1)4.答案D3.(2016保定调研)已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为()A.e B.e C. D.解析yln x的定义域为(0，)，且y，设切点为(x0，ln x0)
2、，则y|xx0，切线方程为yln x0(xx0)，因为切线过点(0，0)，所以ln x01，解得x0e，故此切线的斜率为.答案C4.(2016湛江调研)曲线ye2x1在点(0，2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B. C. D.1解析y|x0(2e2x)|x02，故曲线ye2x1在点(0，2)处的切线方程为y2x2，易得切线与直线y0和yx的交点分别为(1，0)，故围成的三角形的面积为1.答案A5.(2016郑州质检)已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A.1 B.0
3、C.2 D.4解析由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3)，g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，所以g(3)130.答案B二、填空题6.(2015天津卷)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数，若f(1)3，则a的值为_.解析f(x)aa(1ln x)，由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.答案37.已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_.解析根据导数的几何意义及图象可知，曲线yf(x)在点P处的切线
4、的斜率kf(2)1，又过点P(2，0)，所以切线方程为xy20.答案xy208.(2015陕西卷)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.解析yex，曲线yex在点(0，1) 处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y(x0)的导数为y(x0)，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1，1).答案(1，1)三、解答题9.求下列函数的导数：(1)yxnlg x；(2)ysin2；(3)ylog3(2x1).解(1)ynxn1lg xxnxn1.(2)ysin2，y2sin.(3
5、)y(2x1).10.已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.解(1)P(2，4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2，4)处的切线的斜率为y|x24.曲线在点P(2，4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y|xx0x.切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2，4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01，或x02，故所求的切线方程为xy20，或4xy40.能力提升题组(建
6、议用时：40分钟)11.已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 015(x)等于()A.sin xcos x B.sin xcos xC.sin xcos x D.sin xcos x解析f1(x)sin xcos x，f2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以4为周期的函数，f2 015(x)f3(x)sin xcos x，故选A.答案A1
7、2.已知曲线y，则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为()A.x4y20 B.x4y20C.4x2y10 D.4x2y10解析y，因为ex0，所以ex22(当且仅当ex，即x0时取等号)，则ex24，故y当(x0时取等号).当x0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为，切线的方程为y(x0)，即x4y20.故选A.答案A13.已知函数f(x)，g(x)aln x，aR，若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为_.解析f(x)，g(x)(x0)，由已知得解得a，xe2.两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为kf(e2)，切线的方程为ye(xe2
8、)，即yx.答案yx14.设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值.解(1)方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0).令x0，得y，从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0，2x0).所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.