1、课时跟踪检测（六十九） 参数方程1已知P为半圆C：(为参数，0)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程解：(1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为.(2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1,0)故直线AM的参数方程为(t为参数)2在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其参数方程为(t为参数，aR)以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos24cos 0.(1)求曲线C1的普通方
2、程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|2|PB|，求实数a的值解：(1)曲线C1的参数方程为其普通方程为xya10.曲线C2的极坐标方程为cos24cos 0，2cos24cos 20，x24xx2y20，即曲线C2的直角坐标方程为y24x.(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，将曲线C1的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，化简得2t22t14a0.(2)242(14a)0，即a0，t1t2，t1t2.根据参数方程的几何意义可知|PA|2|t1|，|PB|2|t2|，又|PA|2|PB|可得2|t1|22|t2|，即t12t2或t12t2
3、.当t12t2时，有解得a，符合题意当t12t2时，有解得a，符合题意综上，实数a或a.3(2018贵阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)若A，B分别为曲线C1，C2上的动点，求当AB取最小值时AOB的面积解：(1)由(t为参数)得C1的普通方程为(x4)2(y5)29，由2sin ，得22sin ，将x2y22，ysin 代入上式，得C2的直角坐标方程为x2(y1)21.(2)如图，当A，B，C1，C2四点共线，且A，B在
4、线段C1C2上时，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，则kC1C21，直线C1C2的方程为xy10，点O到直线C1C2的距离d，又|AB|C1C2|13444，SAOBd|AB|(44)2.4(2018广州综合测试)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：2cos.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值解：(1)由(t为参数)消去t得xy40，所以直线l的普通方程为xy40.由2cos22cos 2sin ，得22cos 2sin .将2x2y2
5、，cos x，sin y代入上式，得x2y22x2y，即(x1)2(y1)22.所以曲线C的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.(2)法一：设曲线C上的点P(1cos ，1sin )，则点P到直线l的距离d.当sin1时，dmax2.所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.法二：设与直线l平行的直线l：xyb0，当直线l与圆C相切时，解得b0或b4(舍去)，所以直线l的方程为xy0.因为直线l与直线l的距离d2.所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2.5在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：
6、2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0.因此A的极坐标为(2sin ，)，B的极坐标为(2cos ，)所以|AB|2sin 2cos |4.当时，|AB|取得最大值，最大值为4.6已知直线L的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)求直线L的极坐标方程和曲线C的直角坐标
7、方程；(2)过曲线C上任意一点P作与直线L夹角为的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值解：(1)由(t为参数)，得L的普通方程为2xy60，令xcos ，ysin ，得直线L的极坐标方程为2cos sin 60，由曲线C的极坐标方程，知232cos24，所以曲线C的直角坐标方程为x21.(2)由(1)，知直线L的普通方程为2xy60，设曲线C上任意一点P(cos ，2sin )，则点P到直线L的距离d.由题意得|PA|，所以当sin1时，|PA|取得最大值，最大值为.7(2018石家庄一模)在平面直角坐标系中，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲
8、线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为2.(1)求曲线C2的参数方程；(2)过坐标原点O且关于y轴对称的两条直线l1与l2分别交曲线C2于A，C和B，D，且点A在第一象限，当四边形ABCD的周长最大时，求直线l1的普通方程解：(1)由2，得24，所以曲线C1的直角坐标方程为x2y24.故由题意可得曲线C2的直角坐标方程为y21.所以曲线C2的参数方程为(为参数)(2)设四边形ABCD的周长为l，点A(2cos ，sin )，则l8cos 4sin 4sin()，所以当2k(kZ)时，l取得最大值，最大值为4，此时2k(kZ)，所以2cos 2s
9、in ，sin cos ，此时A.所以直线l1的普通方程为x4y0.8(2018成都诊断)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O的射线与曲线C相交于不同于极点的点A，且点A的极坐标为(2，)，其中.(1)求的值；(2)若射线OA与直线l相交于点B，求|AB|的值解：(1)由题意知，曲线C的普通方程为x2(y2)24，xcos ，ysin ，曲线C的极坐标方程为(cos )2(sin 2)24，即4sin .由2，得sin ，.(2)易知直线l的普通方程为xy40，直线l的极坐标方程为cos sin 40.又射线OA的极坐标方程为(0)，联立解得4.点B的极坐标为，|AB|BA|422.