1、2016-2017学年海南省洋浦中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1椭圆的焦距是2，则m的值是（）A3B1或3C3或5D12若焦点在y轴上的椭圆+=1的离心率为，则m的值为（）ABCD以上答案均不对3若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数m为（）A1B1C1D不确定4双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）AB4C4D5过点F（0，2）且和直线y+2=0相切的动圆圆心的轨迹方程为（）Ax2=8yBy2=8xCy2=8xDx2=8y6在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，PA平面A
2、BCD，PA=，那么二面角ABDP的大为（）A30B45C60D757设函数y=f（x）在x=x0处可导，且=1，则f（x0）等于（）ABC1D18已知f（x）=，若f（x0）=0，则x0=（）Ae2BeC1Dln29设aR，若函数y=eax+2x，xR有大于零的极值点，则（）Aa2Ba2CaDa10设f（x）=，则f（x）dx等于（）Acos1Bcos1C +cos1D +cos111已知椭圆E： +=1（ab0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于AB两点若AB的中点坐标为（1，），则E的方程为（）A +y2=1B +=1C +=1D +=112已知f（x）为R上的可导函数，且对x
3、R，均有f（x）f（x），则有（）Ae2016f（2016）f（0），fBe2016f（2016）f（0），fCe2016f（2016）f（0），fDe2016f（2016）f（0），f二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上.）13已知复数z1=cos+isin，z2=cos+isin，则复数z1z2的实部是14与双曲线=1共焦点，且过点（1，2）的圆锥曲线的方程为15若xdx=2，则常数a的值为16抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=，则实数m的值为三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出
4、文字说明，证明过程和演算步骤.）17已知数列an满足a1=1，an=（n2）（1）求证：数列为等差数列；（2）求an的通项公式18已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，2）（）求m，n的值；（）将y=f（x）的图象向左平移（0）个单位后得到函数y=g（x）的图象若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间19如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE=B1F=1（）求证：BE平面ACF；（）求点E到平面ACF的距
5、离20已知椭圆C： +=1（ab0）的焦距为2，且过点A（，）（1）求椭圆的方程；（2）已知y=kx+1，是否存在k使得点A关于l的对称点B（不同于点A）在椭圆C上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由21已知函数f（x）=在x=1处取得极值（1）求a的值，并讨论函数f（x）的单调性；（2）当x1，+）时，f（x）恒成立，求实数m的取值范围四、选做题.（本小题满分10分.请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）22已知A、B、C是ABC的三个内角，a、b、c为其对应边，向量=（1，），=（cosA，sinA），且=1（1）求角A；（2）若c=， =，求ABC的面积S
6、23设函数f（x）=lnx+ln（2x）+ax（a0）（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（0，1上的最大值为，求a的值24已知曲线C：（为参数）（1）将C的方程化为普通方程；（2）若点P（x，y）是曲线C上的动点，求2x+y的取值范围2016-2017学年海南省洋浦中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1椭圆的焦距是2，则m的值是（）A3B1或3C3或5D1【考点】椭圆的简单性质【分析】根据题意，分两种情况讨论：、椭圆的焦点在x轴上，、椭圆的焦点在y轴上
7、，利用椭圆的几何性质可得m2=1或2m=1，解可得m的值，即可得答案【解答】解：根据题意，椭圆的方程为：，其焦距是2，即2c=2，则c=1；但不能确定焦点的位置，分两种情况讨论：、当椭圆的焦点在x轴上时，有m2，有m2=1，解可得m=3；、当椭圆的焦点在y轴上时，有m2，有2m=1，解可得m=1；综合可得：m=3或m=1，故选B2若焦点在y轴上的椭圆+=1的离心率为，则m的值为（）ABCD以上答案均不对【考点】椭圆的简单性质【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a2=2，b2=m，由椭圆的几何性质计算可得c的值，进而由离心率公式可得有e=，计算可得m的值，即可得答案【解答】解：由题意，椭圆
8、的方程为+=1，其焦点在y轴上，其中a2=2，b2=m，则c2=2m，又由其离心率为，则有e=，解可得m=；故选：C3若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数m为（）A1B1C1D不确定【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质【分析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得【解答】解：椭圆得c1=，焦点坐标为（，0）（，0），双曲线：有则半焦距c2=则实数m=1故选C4双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）AB4C4D【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的
9、值【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，m0，且双曲线方程为，m=，故选：A5过点F（0，2）且和直线y+2=0相切的动圆圆心的轨迹方程为（）Ax2=8yBy2=8xCy2=8xDx2=8y【考点】轨迹方程【分析】由已知条件可知：动圆圆心符合抛物线的定义，进而可求出【解答】解：由题意，知动圆圆心到点F（0，2）的距离等于到定直线y=2的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y=2为准线的抛物线，方程为x2=8y，故选A6在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，PA平面ABCD，PA=，那么二面角ABDP的大为（）A30B45C60D75【考点】二面角的平面角及求法【分析】由
10、已知中PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，AGBD于G，连接PG后，易根据三垂线定理得到PGA等于所求的二面角ABDP，解三角形PGA即可得到答案【解答】解：在平面ABCD，作AGBD于GPA平面ABCD，则PABD，PAAG，又AGBDBD平面PAG，则BDPG所以PGA等于所求的二面角ABDP因为图形ABCD是矩形，AD=4，AB=3，AG垂直BD，所以AG=在直角三角形PGA中，A=90，PA=，AG=则tanPGA=PGA=30故选A7设函数y=f（x）在x=x0处可导，且=1，则f（x0）等于（）ABC1D1【考点】变化的快慢与变化率【分析】变形利用导数的运算定义即可得出【解答】
11、解：=（）=（）f（x0）=1，f（x0）=，故选A8已知f（x）=，若f（x0）=0，则x0=（）Ae2BeC1Dln2【考点】导数的运算【分析】根据导数的运算法则求导，再代值计算即可【解答】解：f（x）的定义域为（0，+），f（x）=（）=由f（x0）=0，得=0，解得x0=e故选：B9设aR，若函数y=eax+2x，xR有大于零的极值点，则（）Aa2Ba2CaDa【考点】利用导数研究函数的极值【分析】f（x）=aeax+2=0，当a0无解，无极值当a0时，x=ln（），由于函数y=eax+2x，xR有大于零的极值点，可得a的取值范围【解答】解：f（x）=aeax+3，令f（x）=0即ae
12、ax+2=0，当a0无解，无极值当a0时，x=ln（），当xln（），f（x）0；xln（）时，f（x）0ln（）为极大值点，ln（）0，解之得a2，故选：A10设f（x）=，则f（x）dx等于（）Acos1Bcos1C +cos1D +cos1【考点】定积分【分析】根据分段函数的积分公式和性质，即可得到结论【解答】解： f（x）dx=sinxdx+x2dx=cosx|+|=1cos1+=cos1，故选：B11已知椭圆E： +=1（ab0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于AB两点若AB的中点坐标为（1，），则E的方程为（）A +y2=1B +=1C +=1D +=1【考点】椭圆的简
13、单性质【分析】设A点坐标的（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），可得=1， =1，两式相减得， +=0，再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出【解答】解：设A点坐标的（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），=1， =1，两式相减得， +=0，x1+x2=2，y1+y2=，k=，又c2=a2b2=10b2b2=9b2，c2=9，b2=1，a2=10，即标准方程为=1故选：A12已知f（x）为R上的可导函数，且对xR，均有f（x）f（x），则有（）Ae2016f（2016）f（0），fBe2016f（2016）f（0），fCe2016f（2016）f（0），fDe2016f（2016）f（
14、0），f【考点】导数的运算【分析】根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对xR，均有f（x）f（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数令g（x）=，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论【解答】解：令g（x）=，则g（x）=，因为f（x）f（x），所以g（x）0，所以函数g（x）为R上的减函数，所以g（2016）g（0）g=e2016f（2016），e2016f（0）f13已知复数z1=cos+isin，z2=cos+isin，则复数z1z2的实部是cos（+）【考点】复数代数形式
15、的乘除运算【分析】利用多项式乘多项式展开，结合两角和与差的正弦、余弦化简得答案【解答】解：z1=cos+isin，z2=cos+isin，z1z2=（cos+isin）（cos+isin）=coscossinsin+（cossin+sincos）i=cos（+）+sin（+）iz1z2的实部为cos（+）故答案为：cos（+）14与双曲线=1共焦点，且过点（1，2）的圆锥曲线的方程为+=1或=1【考点】双曲线的简单性质；椭圆的标准方程；双曲线的标准方程【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得=1，分析可得其焦点坐标为（0，）；进而分要求的圆锥曲线为椭圆和双曲线两种情况进行讨论，分别求出圆锥曲线
16、的方程，综合可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：=1，变形可得=1，其焦点在y轴上，c=，则其焦点坐标为（0，）；若要求的圆锥曲线为椭圆，设其方程为+=1，则有，解可得a2=8，b2=2，则要求椭圆的方程为： +=1；若要求的圆锥曲线为双曲线，设其方程为=1，则有，解可得a2=3，b2=3，则要求双曲线的方程为：=1；综合可得：要求圆锥曲线的方程为+=1或=1；故答案为： +=1或=115若xdx=2，则常数a的值为2【考点】定积分【分析】根据定积分的计算法则计算即可【解答】解：由xdx=x2|=a2=2，解得a=2，故答案为：216抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，
17、y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=，则实数m的值为2【考点】抛物线的简单性质【分析】先利用条件得出A、B两点连线的斜率k，再利用A、B两点的中点在直线y=x+m求出关于m以及x2，x1的方程，再与已知条件联立求出实数m的值【解答】解：由题意， =1，y2y1=2（x22x12），x1+x2=，在直线y=x+m上，即，所以有2（x22+x12）=x2+x1+2m，即2（x2+x1）22x2x1=x2+x1+2m，2m=4，m=2，故答案为2三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17已知数列an满足a1=1，an=（n2）（1）求证：数列为等差数
18、列；（2）求an的通项公式【考点】数列递推式；等差关系的确定【分析】（1）直接利用递推关系式证明数列是等差数列（2）利用（1）的结论利用前n项和法求出数列的通项公式，注意首项是否符合通项公式【解答】（1）证明：an=（n2）则：整理得：Sn1Sn=2SnSn1所以：即：数列为等差数列（2）解：由（1）得：则：当n2时，an=SnSn1=所以：18已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，2）（）求m，n的值；（）将y=f（x）的图象向左平移（0）个单位后得到函数y=g（x）的图象若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离
19、的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】（）首先根据向量的数量积的坐标运算求得f（x）=msin2x+ncos2x，进一步根据图象经过的点求得：m和n的值（）由（）得： =，f（x）向左平移个单位得到g（x）=2sin（2x+2+）设g（x）的对称轴x=x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x，进一步求得单调区间【解答】解：（）已知：，则： =msin2x+ncos2x，y=f（x）的图象过点y=f（x）的图象过点（，）和点（，2）则：解得：，即：m=，n=1（）由（）得：
20、 =，f（x）向左平移个单位得到：g（x）=2sin（2x+2+），设g（x）的对称轴x=x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：，则：g（0）=2，解得：=，所以：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x令：+2k2x2k （kZ）则：单调递增区间为：（kZ）故答案为：（）m=，n=1（）单调递增区间为：（kZ）19如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE=B1F=1（）求证：BE平面ACF；（）求点E到平面ACF的距离【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；直线与平面垂直的判定；点、线、面
21、间的距离计算【分析】（I）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只要证明这条直线与平面上的两条直线垂直（II）为平面ACF的一个法向量，向量在上的射影长即为E到平面ACF的距离，根据点到面的距离公式得到结果【解答】解：（）如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，5），E（0，0，1），F（2，2，4）=（2，2，0），=（0，2，4），=（2，2，1），=（2，0，1） BEAC，BEAF，
22、且ACAF=ABE平面ACF（）由（）知，为平面ACF的一个法向量 向量在上的射影长即为E到平面ACF的距离，设为d于是 d=故点E到平面ACF的距离20已知椭圆C： +=1（ab0）的焦距为2，且过点A（，）（1）求椭圆的方程；（2）已知y=kx+1，是否存在k使得点A关于l的对称点B（不同于点A）在椭圆C上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由已知，焦距为2c=2，解得c=又在椭圆C上， =1，又a2=b2+c2，联立解得a2，b2（2）当k=0时，直线l：y=1，点不在椭圆上；当k0时，可设直线，即，代入椭圆方程整理得（4k2+12）y
23、2+4k（k3）y+（k3）212=0，若点A与点B关于l的对称，则其中点在直线y=kx+1上，解得k，进而判断出结论【解答】解：（1）由已知，焦距为2c=2，解得c=又在椭圆C上，=1，又a2=b2+c2，联立解得a2=3，b2=1故所求椭圆的方程为： =1（2）当k=0时，直线l：y=1，点不在椭圆上；当k0时，可设直线，即，代入椭圆方程整理得（4k2+12）y2+4k（k3）y+（k3）212=0，若点A与点B关于l的对称，则其中点在直线y=kx+1上，解得k=1因为此时点在直线y=x+1上，所以对称点B与点A重合，不合题意所以不存在y2=4x满足条件21已知函数f（x）=在x=1处取得
24、极值（1）求a的值，并讨论函数f（x）的单调性；（2）当x1，+）时，f（x）恒成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，求出a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为m，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出m的范围即可【解答】解：（1）由题意得f（x）=，所以f（1）=1a=0即a=1，f（x）=，令f（x）0，可得0x1，令f（x）0，可得x1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减（2）由题意要使x1，+）时，f（x）恒成立，即m，记h（x）=，则mh（x）
25、min，h（x）=，又令g（x）=xlnx，则g（x）=1，又x1，所以g（x）=10，所以g（x）在1，+）上单调递增，即g（x）g（1）=10，h（x）=0，即h（x）在1，+）上单调递增，所以h（x）min=h（1）=2，m2四、选做题.（本小题满分10分.请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）22已知A、B、C是ABC的三个内角，a、b、c为其对应边，向量=（1，），=（cosA，sinA），且=1（1）求角A；（2）若c=， =，求ABC的面积S【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由向量和三角函数公式化简可得sin（A）=，结合角A的范围可得A=；（2）由余
26、弦定理可得=，变形整理可得b=c，可得ABC为等边三角形且边长为，由面积公式可得【解答】解：（1）=（1，），=（cosA，sinA），=sinAcosA=2sin（A）=1，sin（A）=，0A，A，A=，A=；（2）=， =，变形整理可得b2=c2，b=c，又A=，ABC为等边三角形，又c=，ABC的面积S=（）2=23设函数f（x）=lnx+ln（2x）+ax（a0）（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（0，1上的最大值为，求a的值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）已知a=1，求出函数的导数，求解f（x）的单调区间，只需令f
27、（x）0解出单调增区间，令f（x）0解出单调减区间（2）区间（0，1上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=，当x（0，）时，f（x）0，当x（，2）时，f（x）0，所以f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，2）； （2）当x（0，1时，f（x）=+a0，即f（x）在（0，1上单调递增，故f（x）在 （0，1上的最大值为f（1）=a，因此a=24已知曲线C：（为参数）（1）将C的方程化为普通方程；（2）若点P（x，y）是曲线C上的动点，求2x+y的取值范围【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）消去参数，将C的方程化为普通方程；（2）若点P（x，y）是曲线C上的动点，利用参数方程求2x+y的取值范围【解答】解：（1）由曲线C：（为参数），即=1（2）2x+y=4cos +3sin =5sin（+），其中由tan=确定2x+y5，52x+y的取值范围是5，52017年3月12日