1、2014数学竞赛训练题（20150420）1、函数的值域为_。2、方程的实根个数为_。3、设数列满足，则_。3*、已知互不相等的三个实数、成等比数列，且、构成公差为的等差数列，则=_。4、设ABC的外心P满足，则_。5、设，则_。6、在直线上任取一点P，若过点P且以双曲线的焦点为椭圆的焦点，则具有最短长轴的椭圆方程为_。6*、设F为椭圆C：的右焦点，过椭圆C外一点P作椭圆的切线，切点为M。若PFM=90，则点P的轨迹方程为_。7、在四棱锥P-ABCD中，已知四边形ABCD为矩形，且AB=4，BC=3，PA=PB=PC=PD=5，AC与BD交于点O，M为边PC的中点，则OM与平面PBC所成的角为
2、_。7*、已知四面体P-ABC的体积为1，G、K分别是ABC、PBC的重心，过G作直线分别与AB、AC交于点M、N，则四棱锥K-MNCB的体积的最大值为_。8、已知正实数x、y、z满足xyz+xy+yz+zx+x+y+z=3，则u=xyz（x+y+z）的最大值为_。8*、已知、，且+=0，则+的最大值为_。9、已知数列满足，。证明：。9*、已知数列、满足，。（1）证明：对一切，有；（2）求数列的通项公式。10、设椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且倾斜角为的直线L与椭圆C交于点A、B。若，且。（1）求椭圆C的方程；（2）若P、Q是椭圆C右准线上的两个动点，且|PQ|=10，求F1PQ的内切圆圆心M的轨迹方程。10*、设P为椭圆内一定点（不在坐标轴上），过点P的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且AB/CD。（1） 证明：直线AB的斜率为定值；（2） 过P作AB的平行线，与椭圆交于E、F两点，证明：点P平分线段EF。；4027；。9、已知前n项和求通项可得。左侧不等式只需证：，应用函数求导方法解得。右侧不等式注意到三次根式：先化为；运用三次平均不等式得：，而后者运用放大为一个拆项相消法求和的数列可得。9*、（1）用数学归纳法可证；（2）运用上面的结论可化为：，用不动点法求得。10、（1）由AB/CD，得三角形相似。所以，。设A，得代入整理可得。（2）略。
