1、专题层级快练(四十八)1(2017唐山模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为()A64B32C16 D8答案A解析如图，作PM平面ABC于点M，则球心O在PM上，PM6，连接AM，AO，则OPOAR(R为外接球半径)，在RtOAM中，OM6R，OAR，又AB6，且ABC为等边三角形，故AM2，则R2(6R)2(2)2，则R4，所以球的表面积S4R264.2已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A16 B20C24 D32答案C解析由VSh，得S4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为
2、R.所以球的表面积为S4R224.故选C.3若一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()A8 B6C4 D答案C解析设正方体的棱长为a，则a38.因此内切球直径为2，S表4r24.4(2017课标全国)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径长为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B.C. D.答案B解析根据已知球的半径长是1，圆柱的高是1，如图，所以圆柱的底面半径r，所以圆柱的体积Vr2h()21.故选B.5(2018安徽合肥模拟)已知球的直径SC6，A，B是该球球面上的两点，且ABSASB3，则三棱锥SABC的体积为()A. B.C. D.答案D解析设该球球心为O
3、，因为球的直径SC6，A，B是该球球面上的两点，且ABSASB3，所以三棱锥SOAB是棱长为3的正四面体，其体积VSOAB3，同理VOABC，故三棱锥SABC的体积VSABCVSOABVOABC，故选D.6已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A. B2C. D3答案C解析如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA.7(2018广东惠州一模)已知一个水平放置的各棱长均为4的三棱锥形容器内有一小球O(质量忽略不计)，现从该三棱锥形容器的顶端向内注水，小球慢慢上浮
4、，当注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于()A. B.C. D.答案C解析由题知，没有水的部分的体积是三棱锥形容器的体积的，三棱锥形容器的体积为424，所以没有水的部分的体积为.设其棱长为a，则其体积为a2a，a2，设小球的半径为r，则4r，解得r，球的表面积为4，故选C.8.如图，ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，SABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的体积为()A.B.C.D.答案C解析如图所示，O为球心，设OG1x，则OB1SO2x，同时由正方体的性质可知B1G1，则在RtO
5、B1G1中，OB12G1B12OG12，即(2x)2x2()2，解得x，所以球的半径ROB1，所以球的表面积S4R2，故选C.9(2018郑州质检)四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为()A9 B3C2 D12答案D解析该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为2，可知正方形ABCD对角线AC的长为2，可得正方形ABCD的边长a2，在PAC中，PC2，球的半径R，S表4R24()212.10(2014湖南)一
6、块石材表示的几何体的三视图如图所示将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A1 B2C3 D4答案B解析此几何体为一直三棱柱，底面是边长为6，8，10的直角三角形，侧棱为12，故其最大球的半径为底面直角三角形内切圆的半径，故其半径为r(6810)2，故选B.11(2017天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_答案解析设正方体的棱长为a，则6a218，得a，设该正方体外接球的半径为R，则2Ra3，得R，所以该球的体积为R3()3.12若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则_答案解析设正四面体的棱长为a，则正
7、四面体的表面积为S14a2a2，其内切球半径为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.13已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，则球O的表面积为_答案8解析圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，所以球的直径为2，即球半径为，所以球的表面积为4()28.14(2017衡水中学调研卷)已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为_答案解析方法一：先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题如图，满足题意的正三棱锥PABC可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线
8、，且面ABC与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC的距离等于体对角线长的，故球心到截面ABC的距离为2.方法二：用等体积法：VPABCVAPBC求解)15.(2018四川成都诊断)已知一个多面体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_答案3解析由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，高等于1，其底面是边长为1的正方形， 四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球，外接球的直径为，外接球的表面积S4()23.16(2018河北唐山模拟)已知矩形ABE
9、F所在的平面与矩形ABCD所在平面互相垂直，AD2，AB3，AF，M为EF的中点，则多面体MABCD的外接球的表面积为_答案16解析记多面体MABCD的外接球的球心为O，如图，过点O分别作平面ABCD和平面ABEF的垂线，垂足分别为Q，H，连接MH并延长，交AB于点N，连接OM，NQ，AQ，设球O的半径为R，球心到平面ABCD的距离为d，即OQd，矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AF，M为EF的中点，MN，ANNB，NQ1，R2()2d212(d)2，d，R24，多面体MABCD的外接球的表面积为4R216.1(2017课标全国，文)长方体的长，宽，高分别为3，2，1，
10、其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_答案14解析依题意得，长方体的体对角线长为，记长方体的外接球的半径为R，则有2R，R，因此球O的表面积等于4R214.2(2018湖南长沙一中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为()A8 B.C12 D.答案D解析根据三视图得出，几何体是正方体中的一个四棱锥OABCD，正方体的棱长为2，A，D为所在棱的中点根据几何体可以判断，球心应该在过A，D的平行于正方体底面的中截面上，设球心到平面BCO的距离为x，则到AD的距离为2x，所以R2x2()2，R212(2x)2，解得x，R，该多面体
11、外接球的表面积为4R2，故选D.3(2014陕西，理)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A. B4C2 D.答案D解析因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r1，所以V球13.故选D.4(2018洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A200 B150C100 D50答案D解析由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，所以其外接球半径R满足2R5，所以该几何体的外接球的表面积为S4R24()250，故选D.5(2018广东清远三中月考)某一简单几
12、何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是()A13 B16C25 D27答案C解析由三视图可知该几何体是底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，设外接球半径为r，则2r5，r，长方体外接球的表面积S4r225.6(2018福建厦门模拟)已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R，ABACBC2，则球O的表面积为()A. B16C. D64答案D解析因为ABACBC2，所以ABC为正三角形，其外接圆的半径r2，设ABC外接圆的圆心为O1，则OO1平面ABC，所以OA2OO12r2，所以R2(R)222，解得R216，所以球O的表面积为4R264
13、，故选D.7(2018四川广元模拟)如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将ADE，EBF，FCD分别沿DE，EF，FD折起，使得A，B，C三点重合于点A，若四面体AEFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为_答案解析由题意可知AEF是等腰直角三角形，且AD平面AEF.由于AEF可以补全为边长为1的正方形，则该四面体必能补全为长、宽、高分别为1，1，2的正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，易知正四棱柱的外接球的直径为.故球的半径为.8.(2017德州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_答案3解析由三视图知该几何体是底面为1的正方形，高为1的四棱锥，故体积V111，该几何体与棱长为1的正方体具有相同的外接球，外接球直径为，该球表面积S4()23，正方体、长方体的体对角线即为外接球的直径
