1、课时训练7椭圆及其标准方程一、综合题1.已知ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则ABC的周长是().A.2B.6C.4D.12答案:C解析:由椭圆的定义,椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得ABC的周长为4a=4,所以选C.2.椭圆=1上一点M到椭圆焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|=().A.2B.4C.8D.答案:B解析:由椭圆方程可知2a=10,|MF1|=2,则|MF2|=8.又O为F1F2中点,N为MF1中点,|ON|=|MF2|=4.3.已知椭圆的方程为=1,焦点在x轴上,其焦距为().A.2B.
2、2C.2D.2答案:A解析:因为焦点在x轴上,所以c2=8-m2,故2c=2.4.过点(-3,2)且与=1有相同焦点的椭圆的方程是().A.=1B.=1C.=1D.=1答案:A解析:c2=9-4=5,设椭圆的方程为=1.点(-3,2)在椭圆上,=1,a2=15.所求椭圆的方程为=1.5.设P是椭圆=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则PF1F2是().A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案:B解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8.不妨设|PF1|PF2|,|PF1|-|PF2|=2,|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=2c=2=4
3、,PF1F2为直角三角形.6.已知点M(,0),椭圆+y2=1与直线y=k(x+)交于点A,B,则ABM的周长为().A.4B.8C.12D.16答案:B解析:直线y=k(x+)过定点N(-,0),而M,N恰为椭圆+y2=1的两个焦点,由椭圆的定义知ABM的周长为4a=42=8.7.椭圆=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=;F1PF2的大小为.答案:2120解析:由于a=3,2a=6,从而|PF2|=6-|PF1|=2.又c=,|F1F2|=2c=2.由余弦定理可得cosF1PF2=-,所以F1PF2=120.8.已知某椭圆的焦距为8,椭圆上某点到两焦点的距离
4、之和为10,则此椭圆的标准方程为.答案:=1或=1解析:2c=8,2a=10,c=4,a=5.故所求椭圆的标准方程为=1或=1.9.已知圆A:x2+(y+6)2=400,圆A内有一定点B(0,6),动圆C过点B且与圆A内切,求动圆圆心C的轨迹方程.解:设动圆C的半径为r,则|CB|=r.因为圆C与圆A内切,所以|CA|=20-r,所以|CA|+|CB|=20,所以点C的轨迹是以A,B两点为焦点的椭圆.因为2a=20,2c=|AB|=12,所以a=10,c=6,b2=64.因为点A,B在y轴上,所以点C的轨迹方程为=1.10.已知椭圆=1(ab0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求F1PF2的余弦值.解:(1)依题意知c=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2,所以a2-a2=1,即a2=1.所以a2=4.因此b2=3.从而椭圆方程为=1.(2)由于点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=22=4,因为|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理得cosF1PF2=,即F1PF2的余弦值等于.
