1、四川省宜宾市叙州区第二中学校2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数(为虚数单位)，则= ( )A. 3B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简复，利用复数模的公式求解即可.【详解】 =故选D.【点睛】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数2.已知命题，则为A. B. C D. 【答案】C【解析】分析：把全称改为特称，大于改为小于等于详解：，故选C点睛：
2、带全称、特称量词的否定，命题“，则成立”的否定：，则成立命题“，则成立”的否定：，则成立3.设是函数的导函数，则的值为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求导，代值即可.详解：，则.故选：C.点睛：对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误4.设随机变量服从正态分布，若，则实数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=4对称，得到两个概率相等的区间关于x=4对称，得到关于a的方程，
3、解方程即可详解：随机变量服从正态分布N（4，3），P（a5）=P（a+1），x=a5与x=a+1关于x=4对称，a5+a+1=8，2a=12，a=6，故选C点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.5.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，且，则B. 若，则C. 若，则D. 若，且，则【答案】C【解析】【详解】分析：对选项逐一分析即可.详解：对于A，且，则与位置关系不确定，可能相交、平行或者异面，故A错误；对于B，则有可能，有可能，故B错误；对于C，利用面面垂直
4、的性质定理得到作垂直于交线的直线与垂直，又，得到，又，得到，故C正确；对于D，且，则与位置关系不确定，可能相交、平行或者异面，故D错误.故选C.点睛：本题考查线线平行、线面平行、线面垂直以及面面垂直的判断，主要考查空间立体的感知能力以及组织相关知识进行判断证明的能力，要求熟练相应的判定定理和性质定理.6.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为A. 18B. 24C. 28D. 36【答案】D【解析】分析：按甲乙两人所派地区的人数分类，再对其他人派遣详解
5、：类型1：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙两人则有，另外3人派往2个地区，共有18种类型2：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙丙三人则有，另外2人派往2个地区，共有18种综上一共有36种，故选D点睛：有限制条件的分派问题，从有限制条件的入手，一般采用分步计数原理和分类计数原理，先分类后分步7.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果.【详解】程序执行第一次，第二次，第三次，第四次，跳出循环，输出，故选A.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.8.设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重
6、合，则该抛物线的准线方程为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：椭圆的右焦点为，抛物线的焦点坐标为，求解，再得出准线方程详解：椭圆右焦点为，抛物线的焦点坐标为，解得，得出准线方程点睛：抛物线的焦点坐标为，准线方程9.已知函数，则函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果【详解】由题意，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除D；又，所以排除B,C故选A【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常
7、用的方法之一10.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，令边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：令,则.矩形面积为.当时，解得或,即或.则所求概率为.故A正确.考点：几何概型概率.11.已知函数，那么下列结论中错误的是（ ）A. 若是的极小值点，则在区间上单调递减B. ，使C. 函数的图像可以是中心对称图形D. 若是的极值点，则【答案】A【解析】分析：对于选项A，先求导得，设其对应方程的两根为根据一元二次不等式的解法可得函数的增区间为，减区间为，由此可得选项A说法错误；由选项A的解题过程可得选项B
8、、D正确；对于选项C，取特殊值，得特殊函数，因为函数为奇函数，所以选项C正确详解：对于选项A，假设方程的两根为根据一元二次不等式的解法可得：由得或，由得，所以函数的增区间为，减区间为，极小值点为，所以选项A错误；对于选项B，由选项A的解题过程可知在区间上，一定，使，所以选项B正确对于选项C，当时，函数，此函数图像关于原点对称所以选项C正确；对于选项D，由选项A的解题过程可知：若是的极值点，则所以选项D正确故选A点睛：本题考查利用函数的导函数求函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力和函数极值有关的问题，应先求导函数，再解不等式和 ，可得单调区间极大值点应是左增右减，极小值为左减右增注意为极值点
9、是的充分不必要条件12.设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】令，则在上有两个不等实根，有解，故, 点晴:本题主要考查函数的单调性与极值问题，要注意转化，函数()在区间上有两个极值点，则在上有两个不等实根，所以有解，故,只需要满足解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，注意分类讨论和数形结合思想的应用第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.二项式的展开式中含项的系数为_【答案】【解析】分析：根据二项式定理的通项公式，写出的系数详解：所以，当时，所以系数为点睛：项式定理中的具体某一项时，写出通项的表达式，使其
10、满足题目设置的条件14.已知等比数列是函数的两个极值点，则_【答案】或【解析】【分析】求导后根据是方程的两根，由韦达定理，列出两根的关系式，再利用等比数列的性质求.【详解】因为，又是函数f(x)的两个极值点，则是方程的根，所以，所以解得或.故答案为-2或2.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点的问题，考查了韦达定理和等比数列的性质的运用，属于基础题.15.如图，正三棱柱中，则与平面所成角的正弦值为_.【答案】【解析】【分析】取中点，连接，可证明平面，则即为与平面所成角.由线段关系即可求得的正弦值.【详解】取中点，连接，如下图所示：正三棱柱，则，因为平面，平面，所以而，则平面，则即为与平面
11、所成角.因，所以故答案为：.【点睛】本题考查了直线与平面夹角的求法，找到直线与平面夹角是解决问题的关键，属于中档题.16.已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：对于任意，函数是上的减函数；对于任意，函数存在最小值；存在，使得对于任意的，都有成立；存在，使得函数有两个零点其中正确命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)【答案】【解析】函数的定义域是，且，当时，在恒成立，所以函数在上单调递增，故错误；对于，存在，使，则在上单调递减，在上单调递增，所以对于任意，函数存在最小值，故正确；函数图象在有公共点，所以对于任意，有零点，故错误；由得函数存在最小值，且存在，使，当时，当时，故正确；故填.点睛
12、：本题的易错点在于正确理解“任意”和“存在”的含义，且正确区分两者的不同.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知函数.（1）若在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值；（2）若函数有三个不同零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到关于的方程，求出的值，从而求出函数的最小值即可；（2）求出，令，根据函数的单调性求出的范围，从而求出的范围【详解】解：（1）因
13、为所以，所以，令，解得或，所以函数的单调减区间为和又在上，所以在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，所以最大值为，最小值为，由，所以，最小值为（2）令，得，设，令解得或，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以，【点睛】本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，属于中档题18.大型综艺节目最强大脑中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱
14、好者进行调查，得到的情况如下表所示：喜欢盲拧不喜欢盲拧总计男22 30女 12总计 50表1并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示：成功完成时间（分钟）0，10)10，20)20，30)30，40人数101055表2（1）将表1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？（2）根据表2中的数据，求这30名男生成功完成盲拧的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）现从表2中成功完成时间在0，10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在0，10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为，求
15、的分布列及数学期望. 附参考公式及数据：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）见解析，能；（2）分钟；（3）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据总计50人，男生喜欢盲拧22，女生不喜欢盲拧12，填完整即可，由计算公式计算数值与5.02比较即可；（2）根据平均数的定义计算即可；（3）由题意可知：，1，2，3，然后根据古典概型的概率计算公式分别求出相应的概率，写出分布列，最后利用数学期望公式解之即可【详解】解：（1）依题意，补充完整的表1如下：喜欢盲拧不喜欢盲拧总计男22830女81220总
16、计302050由表中数据计算得的观测值为所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关；（2）依题意，所求平均时间为（分钟）（3）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，故 故X的分布列为0123故.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，以及离散型随机变量及其分布列和期望，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题19.如图，在等腰梯形中，分别为，的中点，为中点现将四边形沿折起,使平面平面，得到如图所示的多面体在图中，（1）证明：；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由已知可得EFAB，EFCD，折叠后，EFDF，EFCF，利
17、用线面垂直的判定得EF平面DCF，从而得到EFMC；（2）由平面平面，得平面，得，进一步得，两两垂直.以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，求解即可【详解】（1）由题意，可知在等腰梯形中，分别为，的中点，. 折叠后，. ，平面.又平面，. （2）平面平面，平面平面，且，平面，两两垂直.以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.，.，.，.设平面，平面的法向量分别为，.由，得.取，则.由，得.取，则.， 二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间中直线与平面垂直的判定，空间向量求二面角，考查空间想象能力与思维能力，熟练计算是
18、关键，是中档题20.已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，且满足.证明直线过轴上一定点，并求出点的坐标.【答案】（1）；（2）直线Failed to download image : http:/qbm-images.oss-cn- to download image : http:/qbm-images.oss-cn-【解析】试题分析：（1）由，得两点所在的直线方程为，进而根据长度求得；（2）设直线的方程为，与抛物线联立得，由得，进而利用韦达定理求解即可.试题解析：（
19、1）由已知，则两点所在的直线方程为则，故抛物线的方程为.（2）由题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，.联立消去，得.，又，解得或而，（此时）直线的方程为，故直线过轴上一定点.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式在时恒成立，求实数a的取值范围；（3）当时，证明：.【答案】（1）见解析；（2）1，)；
20、（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导数可得，当时函数在上单调递增；当时易得函数在上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）知当时，不等式在，时恒成立，当时，不等式不成立，综合可得的范围；（3）由（2）的单调性易得，进而可得，将上述式子相加可得结论【详解】解：（1）求导数可得，当时，函数在上单调递增；当时，由可得，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，即不等式在时恒成立，当时，函数在上单调递减，存在使得，即不等式不成立，综上可知实数的取值范围为，；（3）由（2）得当时，不等式在时恒成立，即，即，将上述式子相加可得原不等式得证【点睛】本题考查导数的综合应用，
21、涉及函数的单调性和恒成立以及不等式的证明，属于中档题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为，以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，l与x轴交于点M求l的直角坐标方程，点M的极坐标；设l与C相交于A，B两点，若、成等比数列，求p的值【答案】（1），；（2）【解析】【分析】直接利用转换关系，把参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换写出直线l的参数方程并代入曲线C中，写出韦达定理利用参数t的几何意义进行求解.【详解】解：由得，的直角坐标方
22、程令得点M的直角坐标为，点M的极坐标为 由知l的倾斜角为，参数方程为,为参数,代入，得，【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属于基础题.选修4-5：不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为3，其中（1）求的值；（2）若，求证：【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）分三种情况去绝对值，求出最大值与已知最大值相等列式可解得；（2）将所证不等式转化为2ab1，再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证【详解】（1），. 当时，取得最大值. . （2）由（），得，. ，当且仅当时等号成立，. 令，.则在上单调递减. 当时，.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化恒成立问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.