1、第2节排列与组合选题明细表知识点、方法题号排列13组合2,3,8排列与组合的综合应用1,4,5,6,7,9,10,11,12,14,15 (建议用时:20分钟)1.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告,现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告,新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告,且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放,则不同的播放顺序共有(B)(A)60种(B)120种(C)144种(D)300种解析:从5个商业广告任选2个与增加1个商业广告全排列,另2个公益广告插空,则有=1062=120(种).故选B.2.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台,在取出的3台
2、中至少有甲型和乙型电视机各一台,则不同取法共有(C)(A)140种(B)80种(C)70种(D)35种解析:甲型电视机2台和乙型电视机1台,取法有=30种;甲型电视机1台和乙型电视机2台,取法有=40种,共有30+40=70(种).故选C.3.把1,2,3,6这六个数随机地排成一列组成一个数列,要求该数列恰先增后减,则这样的数列共有(B)(A)31种(B)30种(C)28种(D)32种解析:该数列恰先增后减,则数字6一定是分界点,且前面的顺序和后面的顺序都只有一种,当6前有1个数字时,有=5种,当6前有2个数字时,有=10种,当6前有3个数字时,有=10种,当6前有4个数字时,有=5种,根据分
3、类加法计数原理,共有5+10+10+5=30(种),故选B.4.4名大学生到三家企业应聘,每名大学生至多被一家企业录用,则每家企业至少录用一名大学生的情况有(D)(A)24种(B)36种(C)48种(D)60种解析:分两类,第一类,有3名被录用,有=24种,第二类,4名都被录用,则有一家录用两名,有=36(种),根据分类加法计数原理,共有24+36=60(种).故选D.5.要排出某理科班一天中语文、数学、物理、英语、生物、化学6堂课的课程表,要求数学课排在上午(前4节),生物课排在下午(后2节),不同排法种数为(B)(A)144(B)192(C)360(D)720解析:优先安排数学、生物,剩余
4、全排列,即有=192(种).故选B.6.今有6个人组成的旅游团,包括4个大人,2个小孩,去庐山旅游,准备同时乘缆车观光,现有三辆不同的缆车可供选择,每辆缆车最多可乘3人,为了安全起见,小孩乘缆车必须要大人陪同,则不同的乘车方式有(C)(A)204种(B)288种(C)348种(D)396种解析:第一类:只用两辆缆车,若两个小孩坐在一块,则有=24种乘车方式;若两个小孩不坐在一块,则有=36种乘车方式;第二类:用三辆缆车,若两个小孩坐在一块,则有=72种乘车方式;若两个小孩不坐在一块,则有=216种乘车方式;综上不同的乘车方式有24+36+72+216=348种.故选C.7.某外商计划在4个候选
5、城市中投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有种.解析:每个城市投资1个项目有种,有一个城市投资2个有种,投资方案共+=24+36=60(种).答案:608.已知-=,则=.解析:由已知得m的取值范围为m|0m5,mZ.-=,整理可得m2-23m+42=0,解得m=21(舍去)或m=2.故=28.答案:289.某班主任请2020届毕业生做报告,要从甲、乙等8人中选4人发言,要求甲、乙两人至少一人参加,若甲、乙同时参加,则他们发言中间需恰隔一人,那么不同的发言顺序共有种.(用数字作答)解析:根据题意,分2种情况讨论:若甲、乙同时参加,先在其他6人中选出2人
6、,有种选法,选出2人进行全排列,有种不同顺序,甲、乙2人进行全排列,有种不同顺序,甲、乙与选出的2人发言,甲、乙发言中间需恰隔一人,有2种情况,此时共有2=120种不同顺序;若甲、乙有一人参与,在甲、乙中选1人,有种选法,在其他6人中选出3人,有种选法,选出4人进行全排列,有种不同情况,此时共有=960种,从而总共的发言顺序有120+960=1 080种不同顺序.答案:1 080 (建议用时:25分钟)10.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务,要求是任务A必须排在前三项执行,且执行任务A之后需立即执行任务E;任务B、任务C不能相邻,则不同的执行方案共有(B)(A)36种(B)44种(C
7、)48种(D)54种解析:六项不同的任务分别为A,B,C,D,E,F,如果任务A排在第一位时,E排在第二位,剩下四个位置,先排好B,C,再在B,C之间的3个空位中插入D,F,此时共有排列方法:=12;如果任务A排在第二位时,E排在第三位,则B,C可能分别在A,E的两侧,排列方法有=12,可能都在A,E的右侧,排列方法有=4;如果任务A排在第三位时,E排在第四位,则B,C分别在A,E的两侧=16;所以不同的执行方案共有12+12+4+16=44(种).11.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有种不同的涂色方法.解析:A,C,E用同一颜色,此时共
8、有4333=108种方法.A,C,E用2种颜色,此时共有6322=432种方法.A,C,E用3种颜色,此时共有222=192种方法.共有108+432+192=732种不同的涂色方法.答案:73212.数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列,设第一行的数为N1,其中N2,N3分别表示第二、三行中的最大数,则满足N1N2N3的所有排列的个数是.解析:(元素优先法)由题意知6必在第三行,安排6有种方法,第三行中剩下的两个空位安排数字有种方法,在留下的三个数字中,必有一个最大数,把这个最大数安排在第二行,有种方法,剩下的两个数字有种排法,根据分步乘法计数原理,所有排列的个数是=240.答案:2
9、4013.六个人按下列要求站成一排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站在两端;(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻;(4)甲、乙之间恰有两人;(5)甲不站在左端,乙不站在右端;(6)甲、乙、丙三人顺序已定.解:(1)=480.(2)=240.(3)=480.(4)=144.(5)-2+=504.(6)=120.14.4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?解:(1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成
10、2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步乘法计数原理,共有=144(种).(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.15.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
11、(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.解:(1)无序不均匀分组问题.先选1本,有种选法;再从余下的5本中选2本,有种选法;最后余下3本全选,有种选法.故共有=60(种).(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有=360(种).(3)无序均匀分组问题.先分三步,则应是种方法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB, EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有种情况,而这种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有=15(种).(4)有序均匀分组问题.在(3)的基础上再分配给3个人,共有分配方式=90(种).(5)无序部分均匀分组问题.共有=15(种).(6)有序部分均匀分组问题.在(5)的基础上再分配给3个人,共有分配方式=90(种).(7)直接分配问题.甲选1本,有种方法;乙从余下的5本中选1本,有种方法,余下4本留给丙,有种方法,故共有分配方式=30(种).