1、第三章 概 率 3.1 随机事件的概率 3.1.1 随机事件的概率 必备知识自主学习 1.事件及分类【思考】定义中的“在条件S下”，可以去掉吗？为什么？提示：不能.因为要判断一个事件是哪种事件，首先要看清条件，条件决定事件的种类，随着条件的改变，其结果也会不同.2.频数与频率 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A 出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现 的频率，其取值范围是0，1.3.概率 随机事件发生可能性的大小用概率来度量.对于给定的随机事件A，事件A发生 的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可
2、用频率fn(A)来估计 概率P(A)，即P(A).AnnAnn【思考】(1)频率与试验次数有关吗？概率呢？提示：频率是事件A发生的次数与试验总次数的比值，与试验次数有关.频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同.概率是一个确定的数，是客观存在的，与试验做没做、做多少次完全无关.(2)试验次数越多，频率就越接近概率吗？提示：不是.随着试验次数的增多(足够多)，频率稳定于概率的可能性在增大.但不能说频率越接近概率.在事件的概率未知的情况下，我们常用频率作为概率的估计值.即概率是频率的稳定值，频率是概率的估计值.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“
3、”，错的打“”)(1)当水的温度达到100 时沸腾是必然事件.()(2)一枚骰子投掷10次均正面向上是不可能事件.()(3)“王宁下次的数学成绩在130分以上”是随机事件.()(4)试验的次数越多，获得的数据越多，这时用 来表示P(A)越精确.()Ann2.下列事件是确定事件的是()A.2022年世界杯足球赛期间不下雨 B.没有水，种子发芽 C.对任意xR，有x+12x D.抛掷一枚硬币，正面朝上【解析】选B.A，C，D是随机事件，B是不可能事件，即是确定事件.3.(教材二次开发：练习改编)从5个男生、2个女生中任选3人，则下列事件中是必然事件的是()A.3个都是男生 B.至少有1个男生 C.
4、3个都是女生 D.至少有1个女生【解析】选B.由于只有2个女生，而要选派3人，故至少有1个男生.关键能力合作学习 类型一 事件类型的判断(数学抽象)【题组训练】1.从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗匀后，从中一次随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件事情()A.可能发生 B.不可能发生 C.很可能发生 D.必然发生 2.下列四种说法：“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；“当x为某一实数时，x2b，那么ba；(4)某人购买福利彩票中奖；(5)某人的手机一天接到20次电话.【解析】(1)(4)(5)是随机事件，(2)是不可能事件，
5、(3)是必然事件.类型二 试验结果列举(数学抽象、数据分析)【典例】袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果.(1)从袋中任取1球；(2)从袋中任取2球.步骤内容理解 题意条件：袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球 结论：按所给条件写出随机试验的条件和结果思路 探求按照顺序书写试验结果书写 表达(1)条件为：从袋中任取1球.结果为：红、白、黄、黑共计4种.(2)条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，则结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)共计6种.题后 反思取两个球时要确定好取球的顺序
6、，按照一定的顺序进行.【解题策略】不重不漏地列举试验的所有可能结果的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件.(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决.【跟踪训练】下列随机事件中，一次试验各指什么？写出试验的所有结果.(1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次；(2)从集合A=a，b，c，d中任取3个元素组成集合A的子集.【解析】(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正).(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试
7、验的结果共有4个：a，b，c，a，b，d，a，c，d，b，c，d.类型三 利用频率与概率的关系求概率(数学抽象)【典例】下表是某乒乓球的质量检查统计表：(1)计算各组优等品频率，填入上表.(2)根据频率估计事件“抽取的是优等品”的概率.抽取球数501002005001 0002 000优等品数45921944709541 902优等品频率【思路导引】先计算出每次抽检的优等品的频率，再估计概率值.【解析】(1)根据优等品频率=可得优等品的频率.从左到右依次为 0.9，0.92，0.97，0.94，0.954，0.951.(2)由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故“抽取的是
8、优 等品”的概率约是0.95.优等品数抽取球数【解题策略】估算法求概率(1)用频率估计概率：进行大量的随机试验，求得频数；由频率计算公式fn(A)=得频率；由频率与概率的关系估计概率.(2)注意事项：试验次数n不能太小.只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数 附近摆动，且这个常数就是概率.Ann【跟踪训练】1.(2020贵阳高二检测)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.下列说法中，错误的是()A.服药组的指标x的均值和方差比未服药组
9、的都低 B.未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高 C.以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94 D.这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5【解题指南】根据服药组和未服药组的数据分布可判断A、B选项的正误；观察服药组的指标x大于100的数据个数，可判断C选项的正误；观察未服药组生理指标y的分布，可判断D选项的正误.综合可得出结论.2.某射击运动员进行飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下：(1)求各次击中飞碟的频率.(保留三位小数)(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？射击次数n100120150100150160150击中飞碟数nA81951208
10、1119127121【补偿训练】某人捡到不规则形状的小五面体石块，他在每个面上用数字15进行了标记，投掷100次，记录落在桌面上的数字，得到如下频数表：则落在桌面上的数字不小于4的频率为_.落在桌面上的数字12345频数3218151322课堂检测素养达标 1.下列事件中，不可能事件为()A.三角形内角和为180 B.三角形中大边对大角，大角对大边 C.锐角三角形中两个内角和小于90 D.三角形中任意两边的和大于第三边【解析】选C.若两内角的和小于90，则第三个内角必大于90，故不是锐角三角形，所以C为不可能事件，而A，B，D均为必然事件.2.将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是(
11、)A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定【解析】选B.正面向上恰有5次的事件可能发生，也可能不发生，即该事件为随机事件.3.下列说法正确的是()A.任一事件的概率总在(0，1)内 B.不可能事件的概率不一定为0 C.必然事件的概率一定为1 D.以上均不对【解析】选C.任一事件的概率总在0，1内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.4.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝 上”这一事件，则A的()A.概率为 B.频率为 C.频率为8 D.概率接近于8【解析】选B.做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为 .如 果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才 是事件A的概率，故 =为事件A的频率.45mn45810455.(教材二次开发：练习改编)做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.写出：(1)这个试验的所有结果；(2)这个试验的结果的个数；(3)事件“出现的点数之和大于8”的所有结果；(4)事件“出现的点数相同”的所有结果.